高三数学专题复习--抽象函数题型汇编--2019.7.23

抽象函数常见题型汇编

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

(一)已知的定义域，求的定义域，

解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则

（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______

解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为

（2）由已知，得，解得，故的定义域为

(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。解析：由，得，所以，故填

(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，

，即的定义域是

再求的定义域，，

的定义域是

(四)运算型的抽象函数

求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即

函数的定义域由确定

函数的定义域是

【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，

所以中的满足

从而函数f(x)的定义域是［1，4］

【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在

中，由此可得 所以函数的定义域是

【巩固3】 f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12

定义域是__。 解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-

??-<<-<<+???x a x a a x a a x a (1)当-

≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012

<≤a 时，则x a a ∈-()，1

二、 解析式问题 1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例题5： 已知 (

)211

x f x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x -=-

2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例题6： 已知33

11()f x x x

x +=+，求()f x 解析：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++- 又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例题7： 已知()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解析：设()f x =2ax bx c ++，则

22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=??=?===??=?∴213()22

f x x x =

++

4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.

例题8： 已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。 ∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-

∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0

x x f x x x +≥?=?

--

例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1

g x x =-， 求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换()f x +()g x =

11

x - ………①中的x , ∴1()()1

f x

g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-

5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式 例题10： 设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x

解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =

(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈

【巩固4】 设函数f x ()存在反函数，g x f x h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=

A. -f x ()

B. --f x ()

C. --f x 1()

D. ---f x 1() 解析：要求y h x =()的解析式，

实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系。 点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()， 即-=-x g y 00()。又g x f x ()()=-1，

∴-=-?-=-?=---x f

y y f x y f x 0100000()()()，即h x f x ()()=--，选B 。

【巩固5】设对满足的所有实数x，函数满足

，求f(x)的解析式。

解析：在中以代换其中x，得：

再在(1)中以代换x，得

化简得：

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

三、求值问题

这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；

②，求f(3)，f(9)的值。

解析：取，得

因为，所以

又取，得

例题12： 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=， ∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由

f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=， f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000

【巩固6】 已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。

解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得

f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42

又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1

【巩固7】 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，

f ()11997=，求f (2001)的值。

解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是

f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=+

+

--+-=-412121111111 所以f x f x f x ()()

()+=-+=814，故f x ()是以8为周期的周期函数， 从而f f f (2001)()()=?+==8250111997

四、 值域问题

例题13： 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，

总

成立，且存在，使得，求函数的值域。

解析：令，得

，即有

或。

若

，则

，对任意

均成立，这与存在实数

，使得

成立矛盾，故，必有

。

由于

对任意

均成立，因此，对任意，有

下面来证明，对任意

设存在

，使得

，则

这与上面已证的矛盾，因此，对任意

所以

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

【巩固8】 已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时

f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，

由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210

又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数， 令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-

又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，

∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214

∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，

五、

求参数范围或解不等式

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域

内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例题14： 已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数， 由-<-<-<-

2a a 得35<

，不等式不成立。

（2）当32<

2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<--?

（3）当25<

f a f a ()()-<-24

2

222021(4)041224a f a a a a a <-

例题15： f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++????

?sin cos sin cos

对x R ∈恒成立?-≤-≥++?????m x m x m x

22231sin sin cos 对x R ∈恒成立?m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+????

?sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立，

223115214m m m m ?-≤?∴≤≤?--≥??，

【巩固9】 已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值。

解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k x k x k k x 222222*********-≤-≤-????

??≤+-+≥-?????sin sin sin sin ()(sin )(2)

由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成

立，则有k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=?????????

??=-(sin )(sin )min max

【巩固10】 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。 解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->，

∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->

2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>， 故f x ()为增函数，

又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=，

22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即 因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。

六、 单调性问题

例题16： 设f(x)定义于实数集上，当

时，，且对于任意实数x 、y ，

有，求证：

在R 上为增函数。

证明：在中取

，得

若，令，则，与

矛盾

所以，即有

当时，；当时，

而，所以

又当时，

，所以对任意

，恒有

设，则

∴

，∴

在R 上为增函数

例题17：

已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是

减函数，并证明你的结论。

证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：

任取x x x x 121200<->

因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。

【巩固11】 如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间

[]--73，上是

A. 增函数且最小值为-5

B. 增函数且最大值为-5

C. 减函数且最小值为-5

D. 减函数且最大值为-5

解析：画出满足题意的示意图1，易知选B 。

七、 奇偶性问题

例题18： 已知函数对任意不等于零的实数都有

，试判断函数f(x)的奇偶性。 解析：取得：，所以 又取得：，所以 再取则，即 因为为非零函数，所以

为偶函数。

【巩固12】 若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数。

证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）

y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，

∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，

0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-，

又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00

即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。

八、 周期性问题

几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,

1. ，则是以为周期的周期函数；

2. ，则是以为周期的周期函数；

3. ，则是以为周期的周期函数；

4. ，则是以为周期的周期函数；

5. ，则是以为周期的周期函数.

6. ，则是以为周期的周期函数.

7. ，则是以为周期的周期函数.

8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.

9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以

为周期的周期函数；

10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；

11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；

()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =()()

1f x a f x +=±()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()()1()

f x f x a f x -+=+()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=-

+()x f 4T a =1()()1()

f x f x a f x ++=-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -

例题19： 设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期。

解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T 。 证明： f x f x f x ()()()()=+-+121

∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232

()()12+得f x f x ()()()=-+33

由（3）得f x f x ()()

()+=-+364 由（3）和（4）得f x f x ()()=+6。

上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6。

例题20： 设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有

f x y f x y f x f y ()()()()++-=?2，并存在正实数c ，使f c ()2

0=。试问f x ()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，且cos π20=，

猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数。 f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()

++++-=+=∴+=-∴+=-+=2222222

02

故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期。

【巩固13】 设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。对任意

x x 12012

，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=?。证明f (x )是周期函数。 证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2，

又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，

∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，

这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期

f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称

又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期

由此进行一般化推广，我们得到

思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期。

证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2，

又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2，

将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，

∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期

思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称。证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。

证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称

()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，，

将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，

∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222，

∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期

若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到 思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称。证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。，

证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2，

又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，， 将上式的-x 以x 代换，得(2)()f x f x x R +=-∈，

(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈，

∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期

f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称。证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期。 证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2，

f x ()关于直线x b =对称，

()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，，

将上式中的-x 以x 代换，得

(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x R

f x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R

+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，

∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期

由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数。进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称。证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期。

证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称

∴-=-∈-=-∈∴-=-∈f a x f x x R

f b x f x x R

f a x f b x x R

()()()()()()2222，，，

将上式中的-x 以x 代换，得 (2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R

+=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期

九、 对称性问题

（1）对称性的概念及常见函数的对称性

1、对称性的概念

①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）

①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;

⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这

也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d

+=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c

-。

（2）抽像函数的对称性

1、函数)(x f y =图像本身的对称性（自对称问题）

（1）轴对称

①)(x f y =的图像关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=-

②)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =的图像关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-.

（2）中心对称

①)(x f y =的图像关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ ?b x a f x f 2)2()(=-+

?b x a f x f 2)2()(=++-。

②c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图像关于点),2

(c b a +对称. 特别地，函数)(x f y =的图像关于原点(0,0)对称的充要条件是()()0f x f x +-=.

（3）对称性与周期性之间的联系

①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-；

特别地：若)(x f y =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2a 的周

期函数；

②若函数()f x 既关于点(,0)a 对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2T b a =-； ③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(,0)b 对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为b a -，相邻对称轴或中心的距离为2b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4T b a =-。

特别地：若)(x f y =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为a 4的周期函数。

2、两个函数图像的对称性（互对称问题）

（1）函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图像关于直线0=x 对称。

（2）函数)(x f y =与)2(x a f y -=图像关于直线a x =对称

（3）函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图像关于直线a x -=对称

（4）函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图像关于直线0)()(=--+x b x a 对称即直线2

a b x -=对称（5）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于x 轴对称。 （6）函数)(x f y =与)(x f y -=图像关于y 轴对称。

（7）函数)(x f y =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称。

（8）函数)(x f y =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称。

（9）函数()y f x =与()1y f x -=的图像关于直线y x =对称。

（10）函数()y f x =与()1y f x -=--的图像关于直线y x =-对称。

（11）函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和()1y f a x -=+的图像关于直线

y x a =+对称。

（12）函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图像关于点),(b a 成中心对称。特别地，函

数)(x f y =与)(x f y --=图像关于原点对称。

例题21： 函数满足，求

值。 解析：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数

的图象关于点（2002，0）对称。 所以

将上式中的x 用代换，得

评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数对一切实数x 都满足，则函数

的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。

十、 综合问题

1) 比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例题22： 已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______。

解析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-

又x <0时，f x ()是增函数，∴-

f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11，故f x f x ()()->-12

2) 讨论方程根的问题

例题23： 已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，并且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______。

分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴。又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=?=，故x x x 1233++=。

3) 研究函数的图象

这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。

例题24：

若函数y f x =+()2是偶函数，则y f x =()的图象关于直线_______对称

解析：y f x =()的图象右移个单位

左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是偶函数，对称轴是x =0，故y f x =()的对称轴是x =2。

例题25：

若函数f x ()的图象过点（0，1），则f x ()+4的反函数图象必过定点__

解析：f x ()的图象过点（0，1），从而f x ()+4的图象过点()-41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-。

【巩固14】 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n

，总有

，且当x >0时，0

（1）判断f (x )的单调性；（2）设

，

，若

，试确定a 的取值范围。 解析：（1）在中，令

，得，因

为，所以。在中，令

因为当时，

，所以当时

而

，所以

又当x =0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。

设，则

所以

，∴在R 上为减函数。

（2）由于函数y =f (x )在R 上为减函数，所以 即有，又，由单调性，有 由

，所以直线

与圆面

无公共点。

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