高三数学试卷中函数专题复习策略

高三数学试卷中函数专题复习策略

江苏省前黄高级中学 高三数学备课组

一、《考试说明》对函数部分的要求

1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性，了解函数的单调性、周期性、最大值、最小值；

2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象，理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质，理解指数及对数的运算.

3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系，能够用二分法求相应方程的近似解. 4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用.

5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值. 二、函数部分命题特点

近3年高考函数题考查情况 年份 题型题号 考点 2010年 函数的奇偶性；分段函数的单调性；函数的最值；函数填空题5,8,11,14；解答题20 的切线方程； 函数的导数及其应用 填空题2,8，11,12；解答题17,19 函数的单调性；函数的概念和性质；导数及其应用 函数的定义域，值域；函数的周期性；函数的概念和性质；导数及其应用；函数的零点 2011年 2012年 填空题5, 10，13,14； 解答题17,18 函数是高中数学的核心内容，是学习高等数学的基础，作为高中数学中最重要的知识模块，贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况，函数命题呈现如下特点：

1.知识点覆盖面全.近几年高考题中，函数的所有知识点基本都考过，特别是函数的图象性质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考.

2.题型难度涉及面广.在每年高考题中，低档、中档、高档难度的函数题都有，且填空、解答题型都有.

3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位，近几年来高考强化了函数对其他知识的渗透，例如，解析几何中经常涉及函数的值域的求法，三角、数列本质上也是函数问题. 三、函数复习中关注方面

（一）关注函数的定义域

定义域的求法实际上就是解不等式，考生必须能够做到以下两点：一是熟知定义域常见要求，如分式的分母不为零；偶次根号下非负；对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；零次幂的底数不为零；三角函数中的正切、余切的定义域等等；二是熟练掌握常见不等式的解法，如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不等式.

例1.（2012年江苏卷）函数f(x)?1?2log6x的定义域为 ． 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

?x>0?x>0?x>0?????0

域. 例如研究函数的单调性和奇偶性，函数的最值等都需要首先确定定义域.另外，在进行换元时，应先确定“新元”的范围，然后再在其范围内讨论各种问题，这也是定义域优先的具体体现.

（二）拓展求函数值域最值的方法

求函数值域一直是函数的重要考查方向，它的丰富多样的求解方法和数学思想，将函数所有的性质融为一体，具有很强的综合性.常见两种题型，一种题型是具体函数求值域问题，另一种是将其他问题转化为求函数值域（或最值）问题，例如不等式恒成立求参数范围的问题，最后都是转化为函数的最值的问题.因此，考生一定要在复习当中重视不同结构的求值域问题.

4，x?[2,4]的最大值是 . log2x4【解析】x?[2,4]，?log2x?[1,2]，设t?log2x，则y?t?，

t求导可得函数在t?[1,2]时单调递减，故t?1时，y取得最大值5.

例2．（ 2012年上海春季高考）函数y?log2x?例3.关于x的方程22x?m2x?4?0在[0,1]内有解，求实数m的取值范围.

2【解析】令2x?t,t?[1,2]，原问题转化为t?mt?4?0在[1,2]上有解，这属于二次方程根的分布问题，需要结合二次函数图象，利用分类讨论进行求解，但是计算繁琐.事实上，

4=g(t)，所谓方程有解，t即m在函数g(t)的值域内，注意到函数g(t)在[1,2]上递减，?g(t)?[4,5],即m?[4,5].

求参变量范围的问题.我们还可以考虑“分离参变量”，即m?t?（三）灵活应用函数的性质

函数性质是函数的重点内容，包括函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性。对于函数的各种性质的定义，考生必须完全知晓并深刻理解。除了能够判断函数的各种性质以外，还要能够灵活应用函数的性质，灵活应用的前提是能够识别函数的四大性质，并能自如应用，要有应用函数性质的意识。

1]上， 例4.（2012年江苏卷）设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1，?1≤x?0，?ax?1，?f(x)??bx?2b?R．若其中a，，0≤x≤1，??x?1则a?3b的值为 ．

?1??3?f???f??， ?2??2?【解析】∵f(x)是定义在R上且周期为2的函数，∴f??1??f?1?，即?a?1=b?2①. 21?3??1? 又∵f???f???=?a?1，

2?2??2? ∴?a?1=?1??3?f???f??， ?2??2?12b?4②。 3 ?=。∴a?3b=?10 联立①②，解得，a=2.b.

x?x例5.（2010年江苏卷）设函数f(x)?x(e?ae)(x?R)是偶函数，则实数a=________

【解析】考查函数的奇偶性的知识.g(x)?ex?ae?x为奇函数，由g(0)?0，得a??1.

(x?1)2?sinx例6.（2012年新课标卷）设函数f(x)?的最大值为M,最小值为m，则

x2?1M?m?

2x?sinx(x?1)2?sinx2x?sinxg(x)??1?【解析】f(x)?，令，则g(x)为奇函数，222x?1x?1x?1对于奇函数来说其最大值与最小值之和为0，即g(x)max?g(x)min?0,所以

f(x)max+f(x)min?2

（四）强化识图、画图能力以及用图意识

函数的图象是最直观反映函数性质的方式，要能够通过函数的性质以及图象变换画出函数的草图。此外，还要有应用图象的意识，养成函数问题画图的习惯。

例7.（2012年高考辽宁理）设函数f(x)(x?R)满足f(?x)?f(x)f(x)?f(2?x) ,且当

13x?[0,1]时,f(x)?x3.又函数g(x)?|xcos(?x)|,则函数h(x)?g(x)?f(x)[?,]上

22的零点个数为 .

x?[0,1]时，f(x)?x3，

（2?x)?[0,1],f(x)?f(2?x)?(2?x)3 ?当x?[1,2]，112当x?[0,]时，g(x)?xcos(?x),当x?[,]时，注意到函数f(x),g(x)都是偶函数，

22313且f(0)?g(0),f(1)?g(1),g()?g()?0，作出函数f(x),g(x)的大致图象，函数h(x)221113除了0、1这两个零点之外，分别在区间[?,0]、[0,]、[,1]、[1,]上各有一个零

2222【解析】

点，共有6个零点.

（五）熟练掌握二次、指数、对数、幂函数等基本函数的知识

在高中阶段，考生主要学习的具体函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及它们之间进行的四则运算和复合，我们必须熟练掌握这些基本函数的各种性质、图象以及相互之间的关系。 例8.（2012年新课标卷）设点P在曲线y?小值为

1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则|PQ|最21xe与函数y?ln(2x)互为反函数，图象关于直线y?x对称，所以只需21x求点P到直线y?x的最小距离即可，即y?e的平行于直线y?x的切线与直线y?x21x的距离，令y?=e?1，得xp?ln2,?P(ln2,1),可求得点P到直线y?x的距离为

22(1?ln2)，所以PQ的最小值为（21?ln2). 2【解析】函数y?例9.已知图1是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．

图1

图2

①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|；③y＝f(－|x|)；④y＝－f(－|x|)．

【解析】由图象的变化知，原图保留了y轴左边的部分，并把y轴左边的部分关于y轴对称到y轴右边．①中，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，当x<0时，y＝f(－x)，所以应是把y轴右边部分对称到y轴左边，故①错．

②中是把x轴下边部分对称到x轴上边，故②错． ③项中当x>0时，y＝f(－|x|)＝f(－x)，当x<0时，

y＝f(－|x|)＝f(x)，因此保留了y轴左边部分，并作y轴左边部分关于y轴对称的图象，故③对．

8

例10.(2012年湖南改编)已知两条直线l1：y?m和l2：y＝(m>0)，l1与函数y＝|log2x|的

2m＋1

图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC

b

和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为________．

a

1m?1?m【解析】由题意得xA?(),xB?2，xC???2?2?82m?1,xD?282m?182m?1.

?1??1??a?xA?xC???????2??2?8b2?2???22m?1 8?a?m2?22m?1m82m?1m82m?1,b?xB?xD?2?28?m2m?1m.

m?

∵

8181

＋m＝(2m＋1)＋－≥2

22m＋12m＋121817

(2m＋1)×－＝， 22m＋122

2m＋183

当＝，即m＝时取等号．

222m＋1

7b的最小值为22?82 a(六)稳健用好导数工具

导数最重要的价值，在于导数是一种方便研究函数性质的工具，比如求曲线的切线，求函数的单调区间，求函数的极值和最值，不等式恒成立问题等等。作为一个重要的工具，导数运算一定要准确，要对已知函数进行正确求导。同时，准确掌握导数与单数单调性以及极值之间的关系.

例11（2012年福建卷文）f(x)?axsinx?（1）求函数f(x)的解析式；

（2）判断函数f(x)在(0,?)内零点的个数，并加以证明.

【分析】当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该等式恒成立，从而把函数最值问题转化为恒成立问题，而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法．零点个数的判定主要是依据零点存在定理．

【评析】给定含有参数的函数以及相关的函数性质，求解参数的值或范围，需要我们灵活运用导数这一工具，对问题实施正确的等价转化，列出关于参数的方程或不等式． 在此类含参问题的求解过程中，逆向思维的作用尤为重要．

3???3(a?R)且在[1,]上的最大值为. 222an例12（2012年四川理）已知a为正实数,n为自然数,抛物线y??x?与x轴

2正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.

2(Ⅰ)用a和n表示f(n);

f(n)?1n3(Ⅱ)求对所有n都有成立的a的最小值; ?f(n)?1n3?1(Ⅲ)当0?a?1时,比较

?k?1n27f(1)?f(n)1与的大小,并说明理由.

4f(0)?f(1)f(k)?f(2k)【分析】本题第（Ⅰ）问较基础常规，而第（Ⅲ）问貌似不等式问题，但其实质还是函数

问题，我们可以借助函数的图象和性质，比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题． 【评析】本题属于高档题，难度较大，需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力．主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识；考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法．

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