高考数学第1部分重点强化专题专题3概率及期望与方差专题限时集训7随机变量及其分布

专题限时集训(七) 随机变量及其分布

(对应学生用书第125页) [建议A、B组各用时：45分钟]

[A组 高考达标]

一、选择题 ＝( ) 1．(2017(一))设随机变量X的概率分布表如图，则P(|X－·浙江省新高考仿真训练卷2|＝1) 拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。X P A. C.

7

125 12

1 1 62 1 41B. 21D. 6

3 4 1 3m 1

C [由|X－2|＝1解得X＝3或X＝1，所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝3)＋P(X＝1)＝m＋，又

6111155

由分布列的性质知＋＋m＋＝1，所以m＋＝，所以P(|X－2|＝1)＝，故选C.]

643612122．某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )

【导学号：68334091】

A．100 C．300

B．200 D．400

B [将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故选B.]

3

3．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为；向乙靶射击两次，每次命42

中的概率为.该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击，该射手恰

3好命中一次的概率为( ) A. C.

5 367 36

29B. 361D. 3

1

3?2??2?12?2?1?2?27

C [×?1－?×?1－?＋××?1－?＋×?1－?×＝，故选C.]

3??3?43?3?4?3?3364?

4．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( ) A．0 1

C. 3

1B. 22D. 3

C [由已知得X的所有可能取值为0,1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)，

1

由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.] 3

5．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现在4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( ) A. C.

16 625624 625

96B. 625D.4 625

B [若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故623?2?获奖的情形共6种，获奖的概率为2＝.现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是C4??C65?5?

3

396

·＝.] 5625

二、填空题

1

6．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.

5

【导学号：68334092】

2

[由题意设P(ξ＝1)＝p， 5

ξ的分布列如下：

ξ 0 1 51 2 4－p 5P 3 由E(ξ)＝1，可得p＝，

5

p 1321222

所以D(ξ)＝1×＋0×＋1×＝.] 5555

2

7．(2017·绍兴一中高考考前适应性考试)高一(1)班的假期义工活动小组由10人组成，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4，现要从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会，则选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为________；若设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，则随机变量X的数学期望为________．

1

1 [根据等可能事件的概率，选出的2人参加义工活动次数之和为4的概率为P＝3

C3C4＋C312C3＋C44

＝.由题可得X的所有可能取值是0,1,2，则P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2

C103C1015C3C3＋C3C47C3C44474

＝，P(X＝2)＝2＝，则数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.] 2C1015C10151515158．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图7-2所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次后仍停在A叶上的概率是________．

11

11

11

11

2

2

2

图7-2

11

[设顺时针跳的概率为p，则逆时针跳的概率为2p，则p＋2p＝1，即p＝，由题意可33知，青蛙三次跳跃 的方向应相同，即要么全为顺时针方向，要么全为逆时针方向，故所

?2?3?1?3811求概率P＝??＋??＝＋＝.]

?3??3?27273

三、解答题

9．某单位实行休年假制度三年来，对50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：

休假次数 人数 根据上表信息解答以下问题： (1)从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f(x)＝x－ηx－1在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；

(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．

[解] (1)函数f(x)＝x－ηx－1的图象过点(0，－1)，

2

2

0 5 1 10 2 20 3 15 3

??f在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有?

?f?

，，

??16－4η－1<0，

即?

?36－6η－1>0，?

15

解得

4

35<η<，

6

所以η＝4或η＝5.

C20＋C10C1568

当η＝4时，P1＝＝， 2

C50245C20C1512

当η＝5时，P2＝2＝.

C5049

1

12

1

1

4分

η＝4与η＝5对应的事件为互斥事件，故事件A发生的概率为P＝P1＋P2＝

6812128

＋＝.24549245

6分

(2)从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的所有可能取值是0,1,2,3，

C5＋C10＋C20＋C152

于是P(ξ＝0)＝＝， 2

C507C5C10＋C10C20＋C15C2022

P(ξ＝1)＝＝， 2

C5049C5C20＋C10C1510

P(ξ＝2)＝＝， 2

C5049C5C153

P(ξ＝3)＝2＝.

C5049 从而ξ的分布列为

ξ 0 2 727

2249

1 22 491049

2 10 493514949

3 3 4915分

1111

1

1

11

1

1

1

1

2

2

2

2

8分

10分

P ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

10．甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分．已知甲队3人每人答对的概率3212

分别为，，，乙队每人答对的概率都是.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用

4323ξ表示甲队总得分．

(1)求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)；

(2)求在甲队和乙队得分之和为4的概率. 【导学号：68334093】 [解] (1)ξ的可能取值为0,1,2,3.

4

P(ξ＝0)＝××＝；

314332433243

11212432112124321124

14341132

114312124

14

1分 2分 3分 4分

P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝； P(ξ＝3)＝××＝. 所以ξ的分布列为

ξ 0 1 241 1 4 2 11 243 1 4 11113224

P

7分 10分

1111123

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

24424412 (2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A.

13?2?3112?2?2111?2?1?1?21

则P(A)＝×C3??＋×C3??×＋×C3??×??＝.

4?3?24?3?34?3??3?3

[B组 名校冲刺]

一、选择题

15分

1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( ) 【导学号：68334094】 3

A. 44 C. 5

3B. 5D.7 10

12

3

C2C4＋C44

C [所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P＝＝.] 3

C65

2．从集合M＝{1,2,3,4}中任取三个不同元素组成三位数．记组成三位数的三个数字中偶数的个数为ξ，则ξ的数学期望为( ) 1

A. 23 C. 2

B．1 D．2

13

13

C2A31C2A31

C [由题意知ξ的可能取值为1,2，P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝，所以E(ξ)

A42A42113

＝1×＋2×＝，故选C.]

222

5

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