2014挑战中考数学压轴题2.1由比例线段产生的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2013年宁波市中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作

⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时．

①求证：∠BDE＝∠ADP；

②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三

角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存

在，请说明理由．

动感体验

请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．

请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△DEF保持等腰直角三角形的形状．观察BD∶BF的度量值，可以体验到，BD∶BF可以等于2，也可以等于0.5．

答案

（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4．

（2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；

②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A，

因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．

所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF

是等腰直角三角形．于是得到y．

图2 图3 图4

（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下：

由△DMB∽△BNF，知BN 1DM 2． 2

2． 3设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得m

因此D(0,)．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)．

②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．

43

图5 图6

例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB 3，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动5

点．

（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；

（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；

（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．

图1 图2 图3

动感体验

请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．

请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．

思路点拨

1．∠B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱．

2．分三种情况探究等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单．

3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 满分解答

（1） 在Rt△ABC中，AC＝6，sinB 3，

5

所以AB＝10，BC＝8．

过点M作MD⊥AB，垂足为D．

在Rt△BMD中，BM＝2，sinB MD 3，所以MD 6． BM55

因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4

（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．

②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形．

在Rt△BOM中，BM＝2，cosB BO 4，所以BO 8．此时OA 42． BM555

③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．

在Rt△BOE中，BE＝3，cosB BE 4，所以BO 15．此时OA 65．

2BO588

图5 图6

（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．

当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．

在Rt△BNF中，BN＝y，sinB 3，cosB 4，所以NF 3y，BF 4y． 5555

在Rt△ONF中，OF AB AO BF 10 x 4y，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2． 5

于是得到(x y)2 (10 x 4y)2 (3y)2． 55

整理，得y 250 50x．定义域为0＜x＜5．

x 40

图7 图8

考点伸展

第（2）题也可以这样思考：

如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，MF 6，BF 8． 55

在Rt△OMF中，OF＝10 x 8 42 x，所以OM2 (42 x)2 (6)2． 5555

在Rt△BPQ中，BP＝1，PQ 3，BQ 4． 55

在Rt△OPQ中，OF＝10 x 4 46 x，所以OP2 (46 x)2 (3)2． 5555

①当MO＝MP＝1时，方程(42 x)2 (6)2 1没有实数根． 55

②当PO＝PM＝1时，解方程(46 x)2 (3)2 1，可得x OA 42 555

③当OM＝OP时，解方程(42 x)2 (6)2 (46 x)2 (3)2，可得x OA 65． 55558

例3 2012年连云港市中考第26题

如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；

（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并

求甲、乙两人之间距离的最小

值． 图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在MNB上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．

请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在MNB上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．s与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

答案 （1）当M、N都在O右侧时，OM

OA

所以 2 4tON6 4t2 1 2t， 1 t， 2OB63OMON．因此MN与AB不平行． OAOB

（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．

②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．

ONOA③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么． OMOB

4t 62所以 ．解得t＝2．

4t 26

图2 图3 图4

（3）①如图2，OM 2 4t，OH 1

2t，MH 2t)．

NH ON OH (6 4t) (1 2t) 5 2t．

②如图3，OM 4t 2，OH 2t

1，MHt 1)．

NH ON OH (6 4t) (2t 1) 5 2t．

③如图4，OM 4t 2，OH 2t

1，MHt 1)．

NH OH ON (2t 1) (4t 6) 5 2t．

综合①、②、③，s MN2 MH2

NH2

(5 2t)2 16t2 32t 28 16(t 1)2 12． t 1)

所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米． 2

例4 2011年上海市中考第25题

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin EMP

（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

12． 13

图1 图2 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，从图象中可以看到，y是x的一次函数．观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E在AC和BC上，各存在一个时刻，△AME∽△ENB．

请打开超级画板文件名“11上海25”，拖动点P在AB上运动，当点E与点C重合时， CM 26．点E在边AC上时，y是x的一次函数．当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。

思路点拨

1．本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐．反复解直角三角形，注意对应关系．

2．备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E在BC上的图形画在备用图中．

3．第（3）题当E在BC上时，重新设BP＝m可以使得运算简便一些．

满分解答

33（1）在Rt△ABC中，BC＝30，AB＝50，所以AC＝40，sin A ，tan A ． 54

3在Rt△ACP中，CP AC sin A 40 24． 5

在Rt△CMP中，因为sin CMP CP121313 ，所以CM CP 24 26． CM131212

（2）在Rt△AEP中，EP AP tan A

在Rt△EMP中，因为sin EMP

因此MP 3x． 4EP12EP12 ，所以tan EMP ． EM13MP555351313313EP x x，EM EP x x． 12124161212416

5x． 16

521于是y BN AB AP NP 50 x x 50 x． 1616已知EM＝EN，PE⊥AB，所以MP＝NP

定义域为0＜x＜32．

513xxAMEN （3）①如图3，当E在AC上时，由，得． MENB1321x50 x1616x

解得x＝AP＝22．

②如图4，当E在BC上时，设BP＝m，那么AP＝50－m．

4在Rt△BEP中，EP m． 3

在Rt△EMP中，MP 5545131313EP m m，EM EP 4m m． 12123912129

51454所以AM AB BP MP 50 m m 50 m，BN BP NP 5m m m． 9999

这时由AMEN，得 MENB50 1413mm ．解得m＝BP＝8．所以AP＝50－m＝42．

134mm99

图3 图4 图5

考点伸展

如果第（3）题没有条件“△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应”，那么还存在图5所示的一种情况，∠EAM＝∠EBN，此时PE垂直平分AB，AP＝25．

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