2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

2014挑战中考数学压轴题_3.1代数计算及通过代数计算进行说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

例1 2013年南京市中考第26题

已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m为常数，且a≠0）．

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点D． ①当△ABC的面积等于1时，求a的值

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

动感体验

请打开几何画板文件名“13南京26”，拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值，拖动点A可以改变m的值．分别点击按钮“m1”、“m2”、“m3”，再改变实数a，可以体验到，这3种情况下，点C、D到x轴的距离相等．

请打开超级画板文件名“13南京26”， 拖动点A可以改变m的值，竖直拖动点C可以改变a的值．分别点击按钮，可得到△ABC的面积与△ABD的面积相等的三种情形。 思路点拨

1．第（1）题判断抛物线与x轴有两个交点，容易想到用判别式．事实上，抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m＋1,0)，AB＝1．

2．当△ABC的面积等于1时，点C到x轴的距离为2．

3．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，C、D到x轴的距离相等．

4．本题大量的工作是代入计算，运算比较繁琐，一定要仔细．

满分解答

（1）由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－m)( x－m－1)，

得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m＋1,0)．

因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．

（2）①由y＝a(x－m)2－a(x－m) a(x m )2

得抛物线的顶点坐标为C(m , a)．

因为AB＝1，S△ABC＝121a， 4121411AB a 1，所以a＝±8． 24

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，点C与点D到x轴的距离相等． 第一种情况：如图1，C、D重合，此时点D的坐标可以表示为(0, a)， 1

4

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将D(0, a)代入y a(x m )2 解得m 14121111a，得 a a(m )2 a． 44241．

2

图1

第二种情况：如图2，图3，C、D在x轴两侧，此时点D的坐标可以表示为(0,a)， 将D(0,a)代入y a(x m )2 141

4121111a，得a a(m )2 a．

4424

解得m ．

图2 图3

考点伸展

第（1）题也可以这样说理： 由于由y a(x m )2 1

2111a，抛物线的顶点坐标为C(m , a)． 424

当a＞0时，抛物线的开口向上，而顶点在x轴下方，所以抛物线与x轴由两个交点； 当a＜0时，抛物线的开口向下，而顶点在x轴上方，所以抛物线与x轴由两个交点． 因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．

第（1）题也可以用根的判别式Δ说理：

由y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a[x2－(2m＋1)x＋m2＋m]，

得 a2[(2m 1)2 4(m2 m)] a2＞0．

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因此不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点．

这种方法是同学们最容易想到的，但是这种方法的运算量很大，一定要仔细．

例2 2013年南昌市中考第25题

已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜ ＜an）与x轴的交点为An－1(bn－1,0)和An(bn,0)．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0)，其他依此类推

（1）求a、b的值及抛物线y2的解析式；

（2）抛物线y3的顶点坐标为(_____，_____)；

依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____，_____)（用含n的式子表示）； 所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________；

（3）探究下列结论：

①若用An－1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，直接写出A0A1的值，并求出An－1 An；

②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．

备用图（仅供草稿使用）

动感体验

请打开几何画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，

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可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．

请打开超级画板文件名“13南昌25”，拖动抛物线的顶点P在射线y＝x(x＞0)上运动，可以体验到，经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等．

思路点拨

1．本题写在卷面的文字很少很少，可是卷外是大量的运算．

2．最大的纠结莫过于对字母意义的理解，这道题的复杂性就体现在数形结合上．

3．这个备用图怎么用？边画边算，边算边画．

满分解答

（1）将A0(0,0)代入y1＝－(x－a1)2＋a1，得－a12＋a1＝0．

所以符合题意的a1＝1．

此时y1＝－(x－1)2＋1＝－x(x－2)．所以A1的坐标为(2,0)，b1＝2．

将A1(2,0)代入y2＝－(x－a2)2＋a2，得－(2－a2)2＋a2＝0．

所以符合题意的a2＝4．

此时y2＝－(x－4)2＋4＝－(x－2)(x－6)．

（2）抛物线y3的顶点坐标为(9，9)；

第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)；

所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y＝x．

（3）①如图1，A0A1＝2．

由第（2）题得到，第n条抛物线yn＝－(x－an)2＋an的顶点坐标为(n2，n2)． 所以yn＝－(x－n2)2＋n2＝n2－(x－n2)2＝(n－x＋n2)(n＋x－n2)．

所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An－1(n2－n,0)和An(n2＋n,0)．

所以An－1 An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n．

②如图1，直线y＝x－2和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等．

图1

考点伸展

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我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用． 第一步，由yn＝－(x－an)2＋an，得抛物线的顶点坐标为(an, an)．顶点的横坐标和纵坐标相等，而且已知an＞0，因此先画出顶点所在的射线y＝x(x＞0)．

第二步，计算出y1，画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点． 第三步，计算出y2，画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点．

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