因式分解技巧

因式分解技巧

因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．

※ 多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法等其他方法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

一、 提公因法

①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.

②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。

32例1、 分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)

解：x3-2x2-x=x(x2-2x-1)

二、 应用公式法

①平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2

※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.

③立方和公式：a3+b3＝ (a+b)(a2-ab+b2).

3322立方差公式：a-b＝ (a-b)(a+ab+b).

④完全立方公式： a3±3a2b＋3ab2±b3＝(a±b)3

⑤an-bn=(a-b)[a(n-1)+a(n-2)b+ +b(n-2)a+b(n-1)]

am+bm=(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+ -b(m-2)a+b(m-1)](m为奇数)

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。

22例2、分解因式a+4ab+4b (2003南通市中考题)

解：a2+4ab+4b2 =（a+2b）2

三、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式：m2+5n-mn-5m

2解：原式=m-5m -mn+5n

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-n)(m-5)

例4、分解因式：mn(x2+y2)+xy(m2+n2)

分析：分展开再重新组合。

解：原式= mnx2+mny2+xym2+xyn2

=(mnx2+xym2)+(mny2 +xyn2)

=mx(nx+ym)+ny(my+xn)

=(mx+ny)(nx+my)

例5、分解因式：(mx+ny) 2+(nx-my) 2

解：原式=m2x2+2mnxy+n2y2+n2x2-2mnxy+m2y2

=(m2x2+n2x2)+(n2y2+m2y2)

=x2(m2+n2)+y2(n2+m2)

=(x2+y2)(m2+n2)

四、十字相乘法

①x2＋（p+q）x＋pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2＋（p+q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

2②kx＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么

kx2＋mx＋n＝（ax+b）（cx+d）

2例6、分解因式：7x-9x-6

分析：7=ab=7×1，（-6）=cd=（-3）×2；ac+bd=7×（-3）+1×2＝-19

解：原式=(ax+d)(bx+c)

=(7x+2)(x-3)

五、配方法

对于那些不能直接利用公式法的多项式，有的可以将其配成完全平方式，再利用公式法，就能将其因式分解。

例7、分解因式：x2+3x-40

解：原式= x2+3x+()2-(

3

2

3=(x+2

3=(x+2332)-40 22169 )2-413)2-()2 231313+)(x+-) 222=(x+

=(x+8)(x-5)

六、拆项、补项法

把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形。

例8、分解因式：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：原式=bc(b+c+a-a)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(a+b)+bc(c-a)+ca(c-a)-ab(a+b)

=(bc-ab)(a+b)+(bc+ca)(c-a)

=b(c-a)(a+b)+c(a+b)(c-a)

=(b+c)(c-a)(a+b)

44 例9：分解因式：x+4y

解：原式=x4+4y4+4x2y2-4x2y2

=(x2+2y2)2-(2xy)2

=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy)

=(x+y)2(x-y)2

七、换元法

在某些多项式的因式分解过程中，可以把多项式中的相同部分换成另一个部分，然后进行因式分解，最后再转换回来。这样使形式复杂的多项式变形为形式简单、易于分解的多项式，使问题化繁为简。

432例10：2x-x-6x-x+2

解：原式=2(x4+1)-x(x2+1)-6x2

=x2[2(x2+

令y=x+，则x2+1

x1x21x2)-(x+)-6] =y2-2。于是： 1x

原式=x2[2(y2-2)-y-6]

=x2(y+2)(2y-5)

=x2(x++2)(2x+-5)

=(x2+1+2x)(2x2+2-5x)

=(x+1)2(2x-1)(x-2)

例11：(x2+3x-4)(x2-x-6)+24

解：原式=(x+4)(x-1)(x-3)(x+2)+24

=(x-1)(x+2)(x+4)(x-3)+24

=(x2+x-2)(x2+x-12)+24

22令y=x+x-2,则x+x-12=y-10。于是：

原式=y(y-10)+24

=y2-10y+24

=(y-4)(y-6)

=(x2+x-2-4)(x2+x-2-6)

=(x2+x-6)(x2+x-8)

=(x+3)(x-2)(x2+x-8)

八、主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母的次数从高到低排列，再进行因式分解。 例12：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

22222 解：原式=a(b-c)+bc-ab+ac-bc

=a2(b-c)-a(b2-c2)+bc(b-c)

=a2(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c)

=(b-c)[a2-a(b+c)+bc](根据十字相乘法可得)

=(b-c)(a-b)(a-c)

2例13：ab+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2+2abc

222解：原式=a(b+c)+a(b+c+2bc)+bc(b+c)

=a2(b+c)+a(b+c)2+bc(b+c)

=(b+c)[a2+a(b+c)+bc]

=(b+c)(a+b)(a+c)

九、利用特殊值法

将2或10代入x,求出数p，再对p分解质因数，将质因数适当组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，再将2或10还原成x,即成因式分解式。

例14：x3+9x2+23x+15

解：令x=2，则

原式=8+36+46+15=105.将105分解成质因数的积，即105＝3×5×7.

1x2x

因为最高项的系数为1，而且3、5、7分别为x+1、x+3、x+5,在x=2时的值，则

原式=(x+1)(x+3)(x+5)

十、待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应的字母系数，求出字母系数的值，从而进行因式分解。

例15：x4-x3-5x2-6x-4

（分析：最高项系数为1，而且没有一次因式，所以只能分解成两个二次因式）

解：设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bc

a c 1, a 1, ac b d 5, b 1, 所以 解得 ad bc 6,c 2, bc 4. d 4.

则原式=(x+x+1)(x-2x-4)

十一、求根法

十二、图像法

经典例题：

1.分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2

解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)

222=[(1+y)+x(1-y)]-(2x)

=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]

=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)

2222=[(x+1)-y(x-1)][(x-1)-y(x-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33

543245x+3xy-5xy+4xy+12y

解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)

=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)

=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)

2222=(x+3y)(x-4y)(x-y)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cyli.html