【南方新课堂】2019高考新课标数学(理科)二轮专题复习检测 专题五第3讲圆锥曲线的综合问题 含解析

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题 专题五 解析几何

第3讲 圆锥曲线的综合问题

一、选择题

1．(2016·韶关模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于( ) A.6 B.233 C.10 D. 3 解析：由于双曲线的一条渐近线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则双曲

线的渐近线方程为y ＝±3x ，可得b a

＝3，可得b 2＝9a 2，即c 2－a 2＝9a 2. ∴c 2＝10a 2

，故离心率为e ＝c a ＝10. 答案：C

2．(2016·衡水模拟)已知椭圆x 225＋y 2

16

＝1内有两点A (1，3)，B (3，0)，P 为椭圆上一点，则|PA |＋|PB |的最大值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．15

解析：在椭圆中，由a ＝5，b ＝4，得c ＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B 是右焦点，记左焦点为C (－3，0)．

由椭圆的定义得|PB |＋|PC |＝10，

∴|PA |＋|PB |＝10＋|PA |－|PC |，

∵||PA |－|PC ||≤|AC |＝5，∴当点P ，A ，C 三点共线时，|PA |＋|PB |取得最大值15.

答案：D

3．已知椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题 A.x 28＋y 26

＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24

＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)． 由点(2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1. 又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，

则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，

即2a ＝2·2c ，c a ＝12

. 又c 2＝a 2－b 2，所以综上可得a 2＝8，b 2＝6. 答案：A

4．(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( )

A.? ????1，62 B ．(2，＋∞)

C ．(1，2)

D.? ????62，＋∞ 解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b a x ， 联立???y 2＝x ，

y ＝b a

x 消去y ，得b 2a 2x 2＝x . 由x 0>1，知b 2

a

2<1，b 2<a 2. ∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2<2，因此1<e < 2. 答案：C

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题 5．已知椭圆x 24＋y 2

b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为( )

(导学号 55460136)

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析：不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，

∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2（4－b 2）≤b 2＋4－b 22

＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.

答案：B

6．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过的点的坐标为( )

(导学号 55460137)

A ．(0，1)

B ．(0，2)

C ．(2，0)

D ．(1，0)

解析：设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14

x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12

x 1(x －x 1)，化简得y ＝－12x 1

x －y 1， 同理，在点B 处的切线方程为y ＝－12

x 2x －y 2， 又点Q (t ，－2)的坐标适合这两个方程，

代入得－2＝－12x 1t －y 1，－2＝－12

x 2t －y 2， 这说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝－12

xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝－12

tx ，因此直线AB 恒过点(0，2)．

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题 答案：B

二、填空题

7．已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M 、N 两点，则弦|MN |的长为________．

解析：由?

????y ＝2（x －1），8x 2＋9y 2＝72得11x 2－18x －9＝0. 由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝1811，x M ·x N ＝－911

. 由弦长公式|MN |＝1＋k 2|x M －x N |＝

5× ? ????18112＋4×911＝ 3 600112＝6011

. 答案：6011

8．(2016·山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．

解析：由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2

a

， |BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .

∵2|AB |＝3|BC |，∴4b 2

a

＝6c ，2b 2＝3ac . ∴2b 2a

2＝3c a ，则2(e 2－1)＝3e . 又e >1，解得e ＝2? ??

??e ＝－12舍去. 答案：2

9．(2016·安徽安庆二模)已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，动点

Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FP →·FQ

→的最小值为________．

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题 解析：如图，FP →·FQ →＝|FP →|2＝|FQ →|2－1.

由抛物线的定义知：|FQ →|＝d (d 为点Q 到准线的距离)，易知，抛物

线的顶点到准线的距离最短，∴|FQ →|min ＝2，

∴FP →·FQ →的最小值为3.

答案：3

三、解答题

10．(2016·珠海调研)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22

.

(导学号 55460138)

(1)求椭圆E 的方程；

(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值．

(1)解：由题设知c a ＝22

，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，

∴椭圆的方程为x 22

＋y 2＝1.

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题 (2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22

＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0， 由已知Δ>0，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，

则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2

. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和

k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2

＝2k ＋(2－k )? ??

??1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2.

因此，直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2.

11．(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．

(导学号 55460139)

(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．

解：(1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，

或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．

又y ′＝x 2，故y ＝x 24

在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.

y ＝x 24

在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题

故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.

(2)存在符合题意的点．证明如下：

设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.

将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.

故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .

从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－b x 2

＝ 2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2

＝k （a ＋b ）a . 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，

故∠OPM ＝∠OPN ，∴点P (0，－a )符合题意．

12．(2016·佛山质检)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率为32

，左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(导学号 55460140)

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b

2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .

①求|OQ ||OP |

的值； ②求△ABQ 面积的最大值．

解：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32

，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，

试题习题，尽在百度

百度文库，精选试题 ∴椭圆C 的方程为x 24

＋y 2＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24

＝1. ①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |

＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)． ∵x 204

＋y 20＝1， 又（－λx 0）216＋（－λy 0）24＝1，即λ24? ????x 204＋y 20＝1， ∴λ＝2，即|OQ ||OP |

＝2. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，

可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*)

则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2

. ∴|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 2

1＋4k 2

. ∵直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )， ∴△OAB 的面积

S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2

＝ 2（16k 2＋4－m 2）m 2

1＋4k 2

＝2? ????4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2. 设m 2

1＋4k 2

＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，

可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**)

试题习题，尽在百度

由(*)(**)可知0<t≤1，

因此S＝2（4－t）t＝2－t2＋4t，故S≤2 3.当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2 3.由①知，△ABQ的面积为3S，

∴△ABQ面积的最大值为6 3.

百度文库，精选试题

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ek8i.html