2013-2014学年高中数学（人教B版）选修2-1（备课资源）模块检测

模块检测

(时间：100分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

11

1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则a

( )．

B．2 C．3 D．4

解析 命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真． 答案 B

π1

2．“α＝6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝2”的 A．充分不必要条件 C．充要条件

( )．

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

πππ1解析 当α＝6＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋3)＝cos 3＝2. ππ1

反之当cos 2α＝2时，有2α＝2kπ＋3(k∈Z)?α＝kπ＋6(k∈Z)，或2α＝ ππ

2kπ－3(k∈Z)?α＝kπ－6(k∈Z)，故应选A. 答案 A

3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是( )． A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)

解析 若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确． 答案 D

πx2y2

4．已知A为椭圆16＋12＝1的右顶点，P为椭圆上的点，若∠POA＝3，则P点坐标为

( )．

A．(2，3) ?13?

C.?，±?

2??2

?45415?

B.?，±5? ?5?D．(4，±83)

x2y2

解析 由y＝±3x及16＋12＝1(x>0)得解． 答案 B

5．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是

( )．

A．90° B．60° C．30° D．0°

解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.故向量a＋b与a－b的夹 角是90°. 答案 A

6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1

＋x2＝6，那么|AB|等于 A．10

B．8

( )．

C．6 D．4

解析 由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 答案 B

7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1

＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )． 6A.3 15C.5

25B.5 10D.5 解析 建立如图所示坐标系，

得D(0，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，1)，B1(2， 2，1)，D1(0，0，1)，

→＝(2，2，0)，DD→＝(0，0，1)， 则DB1

→

BC1＝(－2，0，1)．

设平面BD1的法向量n＝(x，y，z)． →＝2x＋2y＝0，??n·DB∴?

→?DD1＝z＝0，?n·∴取n＝(1，－1，0)．

设BC1与平面BD1所成的角为θ，

→·n|

|BC2101→

则sin θ＝cos〈n，BC1〉＝＝＝5.

→|·|n|5·2|BC1答案 D

8．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 A．y2＝±4x C．y2＝4x

B．y2＝±8x D．y2＝8x

( )．

a

解析 y2＝ax的焦点坐标为(4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x aa1|a||a|

－4)，令x＝0得y＝－2.∴2×4×2＝4，∴a2＝64，∴a＝±8. 答案 B

9．三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，→·CD→等于 ∠BAC＝60°，则ABA．－2

B．2 D．23

( )．

C．－23

→·CD→＝AB→·(AD→－AC→)＝AB→·AD→－AB→·AC→

解析 AB

→||AD→|cos 90°－2×2×cos 60°＝－2. ＝|AB答案 A

x2y2x2y2

10．两个焦点在x轴上的椭圆C1：4＋3＝1和C2：9＋m＝1，C1比C2要扁，则m的取值范围是 ?27?A.?4，＋∞? ??

( )．

?33?

B.?，＋∞? ?2?

?27?C.?4，9? ??

?33?

? D.?，9

?2?

解析 因椭圆越扁其离心率越大， ∴

9－m127

<，化简得m>924.

又∵椭圆C2焦点在x轴上， 27

∴m<9.因此4

x2y2

11．设双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 A.3

( )．

B．2 C.5 D.6

x2y2b2

解析 双曲线a2－b2＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x＋1与渐近线相

ac2－a2bb2c2

切，故x＋1±ax＝0只有一个实根，∴a2－4＝0，∴a＝4，∴a2＝5，

2

∴e＝5. 答案 C

x2y2x2y2

12．双曲线a2－b2＝1与椭圆m2＋b2＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是 A．锐角三角形 C．直角三角形

2

( )．

B．钝角三角形 D．等腰三角形

22

a2＋b22m－b解析 双曲线的离心率e1＝a2，椭圆的离心率e2＝m2，由已知e12e22

a2＋b2m2－b2

＝1，即a2×m2＝1，化简，得a2＋b2＝m2. 答案 C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

1

13．已知命题p：?x∈R(x≠0)，x＋x≥2，则綈p：________． 11

解析 首先将量词符号改变，再将x＋x≥2改为x＋x<2. 1

答案 ?x∈R(x≠0)，x＋x<2 14．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为______________．

解析 连接虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角 形的两直角边分别是b，c(b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30°， bc36即得c＝tan30°，所以c＝3b，a＝2b，离心率e＝a＝＝2.

26

答案 2 15．给出下列结论：

①若命题p：?x∈R，tan x＝1；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧ 綈q”是假命题；

a

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是b＝ －3；

③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋ 2≠0”．

其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题， 故①正确；对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所 以正确结论的序号为①③. 答案 ①③

x2y2

16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：25＋9＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______． 解析 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3， ∴c＝4，

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