湖北省黄冈中学2013届高三11月月考数学文科

湖北省黄冈中学2013届高三11月月考

数学试题（文）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．sin(?1920)的值为（ ）

?

A．?3 2?B．?1 2??C．3 2??D．

1 2?

解析：sin(?1920)?sin(240?6?360)?sin(180?60)，即原式??sin60，故选A． 答案：A

2．命题“?x?R，x2?0”的否定是（ ）

A．?x?R，x2?0 C．?x?R，x2?0

B．?x?R，x2?0 D．?x?R，x2?0

解析：全称命题的否定是特称命题，易知应选D． 答案：D

3．已知集合P?{正奇数}和集合M?{x|x?a?b,a?P,b?P}，若M?P，则M中

的运算“?”是（ ） A．加法 B．除法

C．乘法 D．减法

*解析：由已知集合M是集合P的子集，设a?2m?1,b?2n?1(m,n?N)，∵a?b?(2m?1)(2n?1)?4mn?2(m?n)?1?2[2mn?(m?n)?1]?1?P，∴M?P，而其它运算均不使结果属于集合P，故选C．

答案：C

4．已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积

是（ ）

4 1 3 俯视图正 视 图 侧视图

A. 8?

B. 7?

C. 2?

2`D.

7? 4解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积V??[2?()]?1?答案：D

3227?，选D． 45．已知幂函数f(x)?x

A．8

2?m是定义在区间[?1,m]上的奇函数，则f(m?1)?（ ）B．4

3[来源:Zxxk.Com]

C．2 D．1

3解析：由已知必有m?1，函数即g(x)?x，∴f(m?1)?f(2)?2?8，选A． 答案：A

????6．已知平面向量a?(1,m),b?(?1,2)，且a//b，则2a?3b=（ ）

A．(5,2)

B．(?1,2)

C．(5,?10)

D．(?1,?10)

?解析：∵a//b，∴1?2?m?(?1)?0，∴m??2，∴a?(1,?2)，

??∴2a?3b?2(1,?2)?3(?1,2)?(5,?10)，故选C.

答案：C

7．已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x?y?0和x?ay?0上，且AB线段的

中点为P(0,

A．11

10)，则线段AB的长为（ ） aB．10

C．9

D．8

[来源学科网ZXXK]

解析：由已知两直线互相垂直得a?2，∴线段AB中点为P(0,5)，且AB为直角三角形AOB的斜边，由直角三角形的性质得|AB|?2|PO|?10，选B．

答案：B

8．已知各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则2a7?a11的最小值

为（ ）

A．16

B．8

2C．22 D．4

解析：由已知a4a14?(22)?8，再由等比数列的性质有a4a14?a7a11?8， 又a7?0，a11?0，2a7?a11?22a7a11?8，故选B．

，f(2)?2，则函数g(x)?f(x)?x?x2?bx?c,x?09．设函数f(x)??，若f(4)?(0f),x?0?1

的零点的个数是（ ）

A．0 B．1

C．2 D．3

?16?4b?c?c?b??42解析：已知即?，∴?，若x?0，则x?4x?6?x，∴x?2，

?4?2b?c?2?c?6或x?3；若x?0，则x?1舍去，故选C．

答案：C

10．设集合A???x,y?||x|?|y|?1?,B???x,y?(y?x)(y?x)?0?，M?A?B，若

22动点P(x,y)?M，则x?(y?1)的取值范围是（ ）

A．[,]

1522B．[25,] 22C．[,1210] 2D．[210,] 22

解析：在同一直角坐标系中画出集合A、B所在区域，取交集后如

图，故M所表示的图象如图中阴影部分所示，而

d?x2?(y?1)2表示的是M中的点到(0,1)的距离，从而易知

所求范围是[,]，选A．

答案：A

二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上．

1522

11．在空间直角坐标系中，点(?1,b,2)关于y轴的对称点是(a,?1,c?2)，则点P (a,b,c)到坐标原点O的距离|PO|?_____________．

解析：由点(x,y,z)关于y轴的对称点是(?x,y,?z)，?a?1，b??1，c?0，故所求距离|PO|?

答案：2 2．

12．定义运算

acbdzi1i?ad?bc，复数z满足

zi1i?1?i，则复数z? _______________．

解析：由

?1?i得zi?i?1?i?z?1?2i?2?i． i答案：2?i

13．已知A?{x|

11 ?2?x?}，B?{x|log2(x?2)?1}，则A?B?_________________。

82131x11解析：A?{x|()?()?()}?{x|1?x?3}，

222B?{x|0?x?2?2}?{x|2?x?4}，∴A?B?{x|1?x?4}．

答案：{x|1?x?4}

22214．已知方程x?y?kx?2y?k?0所表示的圆有最大的面积，则直线y?(k?1)x?2的倾斜角??_______________．

解析：r?12k?4?4k2?1，当有最大半径时圆有最大面积，此时k?0，r?1，2∴直线方程为y?x?2，设倾斜角为?，则由tan??1，且??[0,?)得??

答案：

?4．

? 415．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数1 2 列，则a?b?c的值为________________．

0.5 1 1111 解析：由题意易得第一列的五个数依次为1,,,,， a 24816 b 1111 c 第三列的五个数依次为2,1,,,，即a?，

2482

由于第四、五两行均成等差数列，故其公差分别为

11和， 1632115113??，c???2?， 4161683216153故a?b?c????1．

21616∴可得b?H A

答案：1

16．四棱锥ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G

分别是CB、CD的中点，若AC＋BD=3，AC·BD=1，则EG2＋FH2=___________． 解析：易知四边形EFGH是平行四边形，而平行四边形

对角线的平方和等于各边的平方和，

D G C E F B

11∴EG2?FH2?2(HG2?EH2)?2[(AC)2?(BD)2]

221117?(AC2?BD2)?[(AC?BD)2?2AC?BD]?(32?2?1)?． 2222答案：

7 2ex?e?xex?e?x17．在工程技术中，常用到双曲正弦函数shx?和双曲余弦函数chx?，

22双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，

请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．

ex?e?xey?e?yex?e?xey?e?y???解析：由右边? 2222

?1x?y(e?ex?y?e?x?y?e?x?y?ex?y?ex?y?e?x?y?e?x?y)41ex?y?e?(x?y)x?y?(x?y)?(2e?2e)??ch(x?y)?左边，故知． 42

答案：填入ch?x?y??chxchy?shxshy，ch?x?y??chxchy?shxshy，

sh?x?y??shxchy?chxshy，sh?x?y??shxchy?chxshy四个之一即可．

三．解答题：本大题共5小题，共65分，请给出详细的解答过程． 18．（本小题满分12分）已知函数f(x)?1?sinxcosx．

（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间； （2）若tanx?2，求f(x)的值．

12?解答：（1）已知函数即f(x)?1?sin2x，∴T???，………………………3分

223??3??2k?(k?Z)，则?k??x??k?(k?Z)，

2244?3?即函数f(x)的单调递减区间是[?k?,?k?](k?Z)；………………………6分

44令

??2k??2x?sin2x?sinxcosx?cos2xtan2x?tanx?1（2）由已知y?，……………………9分 ?222sinx?cosxtanx?122?2?17∴当tanx?2时，y??． ………………………12分

522?119．（本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE

E 中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1． F （1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直B 线BF∥平面ACD，并证明这一事实； （2）求直线EC与平面ABED所成角的正弦值． A D E

C

B

F

G D A

H

C

解答：如图， （1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED， 设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

[来源学科网][来源学*科*网]

//1ED，∴FH?//AB， 连接FH，则FH?……………3分

2∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF//AH，

由BF?平面ACD内，AH?平面ACD，?BF//平面ACD； （2）取AD中点G，连接CG、EG，则CG?AD， 又平面ABED?平面ACD，∴CG?平面ABED， ∴?CEG即为直线CE与平面ABED所成的角， 设为?，则在Rt?CEG中， 有sin??……………6分

……………9分

CG36??． CE224 ……………12分

*20．（本小题满分13分）已知数列?an?的前n项和为Sn，且4Sn?an?1(n?N)．

（1）求a1，a2；

（2）设bn?log3|an|，求数列?bn?的通项公式． 解答：（1）由已知4S1?a1?1，即4a1?a1?1，∴a1?又4S2?a2?1，即4(a1?a2)?a2?1，∴a2??（2）当n?1时，an?Sn?Sn?1?1， ………………3分 31； ………………6分 911(an?1)?(an?1?1)， 44即3an??an?1，易知数列各项不为零(注：可不证不说)， ∴

an1??对n?2恒成立， an?13

∴?an?是首项为∴an?11，公比为?的等比数列， ………………10分 3311n?1(?)?(?1)n?13?n， 33?n∴log3|an|?log33??n，即bn??n． ………………13分

21．（本小题满分14分）已知?ABC的两边长分别为AB?25，AC?39，且O为?ABC外接圆的圆心．

（1）若外接圆O的半径R?65，且角B为钝角，求BC边的长； 2????????（2）求AO?BC的值．

BCABAC???2R） sinAsinCsinBABAC解答：（1）由正弦定理有??2R，

sinCsinB253935∴??65，∴sinB?，sinC?， ………………3分 sinCsinB513（注：39?3?13，65?5?13，且

且B为钝角，∴cosC?124，cosB?? 1353125416???(?)?， 51313565∴sin(B?C)?sinBcosC?sinCcosB?又

BC?2R，∴BC?2RsinA?65sin(B?C)?16； ………………7分 sinA????????????????????2????2（2）由已知AO?OC?AC，∴(AO?OC)?AC，

????2????????????2????22即|AO|?2AO?OC?|OC|?|AC|?39 ………………9分

????????????????2????????????2????22同理AO?OB?AB，∴|AO|?2AO?OB?|OB|?|AB|?25， …………11分 ????????????????两式相减得2AO?OC?2AO?OB?(39?25)(39?25)?896，

????????????????即2AO?BC?896，∴AO?BC?448． ………………14分

22．（本小题满分14分）已知函数f(x)?ax?x?ax(a,x?R)．

（1）当a?1时，求函数f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[0,??)上单调递增，试求a的取值或取值范围； （3）设函数h(x)?32118f?(x)?(2a?)x?a?1，x???1,b?，(b??1)，如果存在333a????,?1?，对任意x???1,b?都有h(x)?0成立，试求b的最大值．

解答：（1）当a?1时，f(x)?x?x?x，∴f(x)?3x?2x?1， 令f(x)?0，则x1?源学&科&网Z&X&X&K]32/2/

1，x2??1， 3 ………………2分

[来

x、f/(x)和f(x)的变化情况如下表 x

f/(x)

(??,?1)

+

?1

0 极大值

1(?1,)

3?

1 30 极小值

1(,??) 3+

f(x)

?

f(?1)?1

?

15f()?? 327?

即函数的极大值为1，极小值为?2（2）f?(x)?3ax?2x?a，

5； ………………5分 27

若f(x)在区间[0,??)上是单调递增函数， 则f?(x)在区间[0,??)内恒大于或等于零， 若a?0，这不可能，

若a?0，则f(x)?x符合条件，

若a?0，则由二次函数f?(x)?3ax?2x?a的性质知

22

?2?a?0???0，即，这也不可能， 3a??a?0???f(0)??a?0综上可知当且仅当a?0时f(x)在区间[0,??)上单调递增； ……………10分 （3）由f?(x)?3ax?2x?a，h(x)?22

118f?(x)?(2a?)x?a?1， 333∴h(x)?ax?(2a?1)x?(1?3a)，x???1,b?,(b??1)， ……………10分 当?1?x?b时，令ax?(2a?1)x?(1?3a)?0，………………①， 由a????,?1?，∴h(x)的图象是开口向下的抛物线， 故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得， 又h(?1)??4a?0，

∴不等式①恒成立的充要条件是h(b)?0，即ab?(2a?1)b?(1?3a)?0，

22……………11分

b2?2b?31??， ∵b??1，∴b?1?0，且a?0，∴

b?1a依题意这一关于a的不等式在区间???,?1?上有解，

b2?2b?31b2?2b?3∴?(?)max，即?1，b2?b?4?0，

b?1ab?1∴

?1?17?1?17?1?17?b?，又b??1，故?1?b?， 222

从而bmax??1?17． ………………14分 2

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