概率论与数理统计期末应用题专项训练

应用题专项训练

1. 一工厂生产化学制品的日产量(以吨计)近似服从正态分布,当设备正常时一天产800吨,

现测得最近5天的产量分别为:785,805,790,790，802，问是否可以认为日产量显著不为

t(4)?2.7764。

800吨。（取??0.05），此题中0.02522N(u,?),?,u未知,现他声称他2. 设温度计制造厂商的温度计读数近似服从正态分布

的温度计读数的标准差为不超过0.5, 现检验了一组16只温度计,得标准0。7度，试检

?(15)?24.996。

验制造商的言是否正确（取??0.05），此题中0.053. 某人钥匙丢了，他估计钥匙掉在宿舍里、教室里以及路上的概率分别为0.4、0.35和0.25，而钥匙在上述三个地方被找到的概率分别为0.5、0.65和0.45．如果钥匙最终被找到，求钥匙是在路上被找到的概率． 4. 某加油站每周补给一次汽油，如果该加油站每周汽油的销售量X（单位：千升）是一

随机变量，其密度函数为

4?1?x??1??0?x?100f?x???20??100???0其它?2

试问该加油站每次的储油量需要多大，才能把一周内断油的概率控制在5%以下？ 5. 某射手射击，他打中10环的概率为0.5，打中9环的概率为0.3，打中8环的概率为0.1，

打中7环的概率为0.05，打中6环的概率为0.05．他射击100次，试用中心极限定理（附表：标准正态分布分布函数??x?的部分数值表：

近似计算他所得的总环数介于900环与930环之间的概率．

x ??x? 1.25 1.30 1.35 1.40 0.8944 0.90230 0.91149 0.91924 6. 两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X和Y，假设X与Y相互

独立，都服从参数为??5的指数分布．X的密度函数为

?5e?5xf?x????0x?0x?0

现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：

T：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T的概率密

度函数．

7. 一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。（1）从中不放回地任取2只，则第一次、

第二次取红色球的概率为：。（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：。（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：。

8. 甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15．现有一批

样本，其中甲厂生产的产品占60%，乙厂生产的产品占40%，从中任意抽取一件： （1）抽到次品的概率为：;

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：．

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9. 某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概

率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。如果你是顾客，你对于是否购买此彩票的明智选择为：（买，不买或无所谓）。

10. 甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2，0.1，

0.3．现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%，80%，5%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品为甲厂生产的概率． 11. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死

亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.0064。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率。已知

?(1)?0.8413，?(2)?0.9772。

22N(u,?),u,?未知,该校校长声12. 某地区参加外语统考的学生成绩近似服从正态分布

称学生平均成绩为70分，现抽取16名学生的成绩，得平均分为68分，标准差为3分，请在显著水平??0.05下，检验该校长的断言是否正确。（此题中0.025）

13. 某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随

机抽取100件，经检验发现有84件为一级品,试以5%的显著性水平下，检验这个供应

商提供的元件的一级品率是否达到该厂方的的要求。（已知Z0.05?1.645，提示用中心极限定理）

14. 设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标

被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：

（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；

（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。

15. 规定某种药液每瓶容量的为?毫升，实际灌装时其量总有一定的波动。假定灌装量的

方差?＝1，每箱装36瓶，试求一箱中各瓶的平均灌装量与规定值?相差不超过0.3

2t(15)?2.1315毫升的概率？（结果请用标准正态分布函数表示） 16. 某人下午5：00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 乘地铁到家的概率 乘汽车到家的概率 5：35~5：39 5：40~5：44 5：45~5：49 5：50~5：54 迟于5：54 0．1 0．3 0．25 0．35 0．45 0．2 0．15 0．1 0．05 0．05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5：47到家的，求他此日坐地铁回家的概率。

??1.15，17. 某厂用自动包装机装箱，额定标准为每箱重100kg，设每箱质量服从正态分布，

某日开工后，随机抽取10箱，称得质量(kg)为

99.3,98.9,101.0,99.6,98.7,102.2,100.8,99.8,100.9,101.5

现取显著水平??0.05，试检验下面假设

H0:??100，H1:??100是否成立.

（附:Z0.05?1.645,Z0.025?1.96,t0.05(9)?1.8331,t0.025(9)?2.2622,t0.05(10)?1.8125,t0.025(10)?2.2281）

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参考答案

1. 解: 按题意日产量X~N(u,?2),u,?2未知,现取??0.05检验假设:

H0:u?800, H1：u?8001’

用t检验,现有n?5，??0.05，t0.025(4)?2.7764,拒绝域为:

?x?800t??2.7767, 1’ ?s/5?算得:x?794.4,s?8.6169,t?x?800s/5??1.4527, 2’

t值不在拒绝域内,故接受H0,认为日产量没有显著变化. 1

222. 解: 按题意温度计读数X~N(u,?),u,?未知,现取??0.05检验假设:

H0:??0.5, H1：??0.51’

用?2检验,现有n?5，??0.05，t0.025(4)?2.7764,拒绝域为:

(n?1)s22??>?)?24.9961’ 0.05(1520.52(n?1)s215?0.72??29.4?24.9962’ 算得:??0.520.522在拒绝域内,故拒绝H0,认为温度计读数的标准差为显著超过0.5. 1 3. 设B?“钥匙被找到”．

A1?“钥匙掉在宿舍里”，A2?“钥匙掉在教室里”，A3?“钥匙掉在路上”．

由Bayes公式，得

P?A3B??P?A3?P?BA3??P?A?P?BA?iii?13

?0.25?0.45?0.2083．

0.4?0.5?0.35?0.65?0.25?0.454. 设该加油站每次的储油量为a．则由题意，a应满足0?a?100，而且

P?X?a??0.02．

而P?X?a?????f?x?dx??aa1001?x?a??f?x?dx??f?x?dx????1??dx??1??．

20100100????100a??10045第3页共7页

a??所以，应当有，?1???0.02．

100??所以，得1?5aa?50.02，即1?50.02?， 100100因此有a?100?1?50.02?54.26949481．因此可取a?55（千升），即可使一周内断油的概率控制在5%以下．

5. 设Xk表示该射手射击的第k发时所得的环数?k?1,为

??2,?,100?，则Xk的分布律

Xk P 10 9 8 7 6 0.5 0.3 0.1 0.05 0.05 所以，E?Xk??10?0.5?9?0.3?8?0.1?7?0.05?6?0.05?9.15，

E?Xk2??102?0.5?92?0.3?82?0.1?72?0.05?62?0.05?84.95，

所以，D?Xk??EXk??E?Xk???84.95?9.15?1.2275．

222??因此，X1,X2,?,X100是独立同分布的随机变量，故

?Xk??E?Xk?930??E?Xk????k?1k?1k?1?? 100100D?Xk?D?Xk?????k?1k?1?100100100100??900??E?X?k100???k?1P?900??Xk?930??P??100k?1???D?Xk???k?1?100??X?100?9.15???k900?100?9.15930?100?9.15? ?P??k?1??100?1.2275100?1.2275100?1.2275????????P??1.35388?????Xk?1100??? ?1.35388?100?1.2275??k?100?9.15???1.35?????1.35??2??1.35??1?2?0.91149?1?0.82289．

6.

?5e?5xX的密度函数为fX?x????0x?0， x?0?5e?5yY的密度函数为fY?y????0y?0 y?0第4页共7页

由题意，知T?X?Y，设T的密度函数为fT?t?，则

fT?t???????fX?x?fY?t?x?dx??5e?5xfY?t?x?dx

0??作变换u?t?x，则du??dx，

当x?0时，u?t；当x???时，u???．代入上式，得

fT?t????5et???5?t?u?fY?u?du?5e?5t??5ue?fY?u?du

t当t?0时，由fY?y??0，知fT?t??0； 当t?0时，

fT?t??5et?5t5u?5u?5t e?5edu?25te???综上所述，可知随机变量T的密度函数为

?25te?5tfT?t????0t?0． t?07. 1/3，9/25，21/55 8. 0.12，0.5 9. 买

10. 解：设A1,A2,A3分别表示产品取自甲、乙、丙厂，

有：p(A1)?15%,P(A2)?80%,P(A3)?5% 2’

B 表示取到次品，p(BA1)?0.2,P(BA2)?0.1,P(BA3)?0.3， 2’ 由贝叶斯公式：p(A1B)=p(A1)?P(BA1)（/?p(Ak)?P(BAk)?0.24 4’

k?1311. 解:设X为该保险公司一年内的投保人死亡人数,则X∽B(10000,0.0064)。 该保险公司的利润函数为：L?120000?1000?X。 2‘

所以P{L?48000}?P{120000?1000?X?48000}?P{X?72}

?P{X?6410000?0.0064?0.9936?72?64}用中心极限定理 7.996??(1)?0.8413 3‘

答：该保险公司一年内的利润不少于48000元的概率为0。8413. 12. 解: 按题意学生成绩X~N(u,?2),u,?2未知,现取??0.05检验假设:

H0:u?u0?70, H1：u?u0?70 2’

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