几何图形在微积分中的作用及在 几何画板下的实现

楚雄师范学院 本科毕业论文（设计）

题 目： 几何图形在微积分中的作用及在几何画板

下的实现

系 院： 数 学 系 专 业： 数学与应用数学 学 号： 姓 名： 指导教师： 职称： 讲 师 论文字数： 5200 字 完成日期 ： 2012 年 5 月

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目录

目录 ............................................................................... II 摘要 .............................................................................. III 关键词 ............................................................................ III Abstract ........................................................................... IV Key words .......................................................................... IV 1 前言 .............................................................................. 1 2 利用几何图形理解抽象概念 .......................................................... 1 2.1 极限的概念 ...................................................................... 1 2.2 两个重要极限 .................................................................... 3 2.3导数的几何意义 ................................................................... 5 2.4 定积分意义的动态演示 ............................................................ 6 2.5 傅里叶级数 ...................................................................... 8 3 几何图形在重积分计算中的作用 ..................................................... 11 3.1 二重积分的计算 ................................................................. 11 3.2 三重积分的计算 ................................................................. 12 4 结语 ............................................................................. 14 参考文献 ........................................................................... 15 致谢 ............................................................................... 16

II

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几何图形在微积分中的作用及在

几何画板下的实现

摘要：微积分是大学中一门重要的学科，但是我们在理解微积分这门课的内容时会遇到一些

困难，特别是其中极限、导数、微分、积分等抽象概念的理解.在微积分中应用几何图形，可以将抽象的概念形象化、具体化，使我们的思维从抽象思维向具体形象思维顺利过渡,数与形完美结合.文章中主要从两方面说明，第一部分阐述几何图形在理解微积分中重要概念的作用；第二部分阐述了几何图形在重积分计算的作用.

关键词：微积分； 几何画板； 数形结合；重积分

III

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Geometry in calculus and the role of

The Geometer's Sketchpad under implementation

Abstract: The calculus is a university important subject, but we understand the content of the

course of calculus will meet with some difficulties, especially the limit, derivative, differential and integral calculus etc abstract concept of understanding. In the calculus in application geometry, can bring the abstract concept of visual and materialize and make our thinking from the abstract thinking thinking to specific image thinking a smooth transition, number and the perfect combination shape. The article mainly from two aspects that, the first part of geometric figure in this understanding of the concept of calculus in important role; The second part describes the geometric figure in multiple integral calculation role.

Key words: Calculus; The geometer's sketchpad; The number shape union; Double integrals

IV

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几何图形在微积分中的作用及在

几何画板下的实现

1 前言

几何画板是一个小巧但功能强大、使用简单的数学作图工具，有简明朴素、短小精干的特点.我们在学习微积分时，利用几何画板辅助学习花时少、收效好，在对各种图形或数量进行变换的操作中，可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系，并能展示其中某些恒定不变的规律.

本文根据微积分相关内容的知识特点，选取了两块内容，利用几何画板阐述了几何图形在其中的作用.一部分是借助几何图形理解微积分中一些重要概念；另一部分是借助几何图形理解重积分的计算方法.

2 利用几何图形理解抽象概念

微积分中很多重要的概念，比如说：极限、导数、定积分等都有很强的几何背景.几何

画板是一个很适用的作图工具，应用它可以作出各种几何图形，并具有动态几何功能.利用几何画板结合上述概念的几何背景，作出几何图形，对于我们理解这些抽象概念是一个很有效的方法.

2.1 极限的概念

极限是微积分中重要的概念，极限也是微积分中的基础，极限在微积分占有重要地位.

但是极限的概念我们不易理解，下面我将从x趋于?时函数的极限，x趋于x0时的函数极限，两种极限进行直观理解.

我们首先讨论x趋于?时函数的极限.

设函数f定义在?a,???上，当x趋于??时函数极限的定义如下： 定义1

[1] 设f为定义在[a,+?)上的函数，A为定数.若对任给的??0，存在正数M（?a），使得当x?M时有

f(x)?A??，

1

楚雄师范学院本科论文（设计） 则称函数f当x趋于+?时以A为极限，记作

x???limf(x)?A或f(x)?A(x???).

定义1中有很多变量，我们单从定义理解会困难一些.下面将引入一个例题，借助几何画板画出函数图形，直观理解极限概念，更深刻的理解概念. 例1.求极限lim3x?53x?5，用几何画板画出函数f(x)?的图像，如图1所示，从

x???xx图中我们更容易理解定义1.

图1

从图1中看出，x趋于??时，f(x)无限接近于3.对任给的??0，在坐标平面上平行于x轴的两条直线y?3??与y?3??，围成以直线y?3为中心线、宽为2?的带形区域；定义中的“当x?M时有f(x)?A??”表示：在直线x?M的右方，曲线y?f(x)全部落在这个带形区域之内.如果正数?给得小点，即当带形区域更窄一点，那么直线

x?M一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数M，使得曲线

y?f(x)在直线x?M的右边部分全部落在这更窄的带形区域内.

上面讨论了x趋于?时函数的极限，下面将讨论x趋于x0时的函数极限. 定义2

[2] （函数极限的???定义) 设函数f在点x0的某个空心邻域U(x0;?)内

'0'有定义，A为定数.若对任给的??0，存在正数?(??)，使得当0?x?x0??时有

2

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f(x)?A??，

则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作

x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A(x?x0).

x2?1x2?1例2. 求极限lim，用几何画板画出函数f(x)?的图像，如图22x?12x2?x?12x?x?1所示，从图中我们更容易理解定义2.

图 2

2 从图2中看出，x趋于1时，f(x)无限接近于.对任给的??0，在坐标平面上画

32y?为中心线、宽为2?的横带，则必存在以直线x?1为中心线、宽为2?的竖带，使函

3数y?f(x)的图像在该竖带中的部分全部落在横带内，但点(x0,f(x0))可能例外.

2.2 两个重要极限

1? 在微积分中有两个重要极限，它们是limsinx ，lim??1??，在数学分析中，应用两

x??x?0x?x?边夹法则证明极限的过程不好理解，但是我们借助图形理解极限，我们就能直观的把握这两个极限，下面将用几何画板画出它的图形，根据图形理解这两个重要极限. 对于极限y?xsinxsinx，我们利用几何画板画出函数y?图象，如图3所示，由图3xx可以看出，当x?0时，f(x)?1.

3

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图3

?1??1? 对于极限f(x)??1??，利用几何画板画出函数f(x)??1??图象，如图4所示.

?x??x?xx

图4

从图4看出，函数g(x)?e是函数f(x)?(1?1x)的一条渐近线，当x趋于??时，x函数f(x)无限接近常数e，当x趋于??时，函数f(x)也无限接近常数e，也即函数的左、

右极限相等， 即有

11lim(1?)x?e，lim(1?)x?e. x???x???xx1lim(1?)x?e. x??x

4

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通过对上面两个重要极限的认识，我们可以看出，几何图形在微积分中的重要作用，在直觉思维起了很好的引导作用.若单从两个重要极限的证明来分析，会比较抽象、晦涩，难于理解，但是通过几何图形来认识，我们对两个重要极限更容易理解掌握.

2.3导数的几何意义

在微积分中，除了极限是微积分中的一个重要概念，导数也是微积分中的一个重要概

念，在微积分中离不开导数的理解及求法.同样导数的概念也抽象，不易理解，导数的应用非常广，在物理学，生物学等都有重要应用，应用导数能迅速、快捷地讨论函数极值，函数单调性，拐点等. 定义3

[1] 设函数y?f(x)在点x0的某领域内有定义，若极限

x?x0limf(x)?f(x0)

x?x0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f'(x0).

在一般微积分中，导数的定义是通过一些实际问题，如切线斜率、瞬时速度等抽象出来的概念.我们在理解这一概念时，如果从几何意义来认识，会理解更深刻.下面我们通过一个例子来说明导数的几何意义.

例3. 求曲线y?x3?2x2?x在任意点处的切线. 制作

[3]：

(1) 绘制新函数y?x3?2x2?x.

(2) 在曲线上任意取两点A，B，度量它们的横纵坐标XA，YA，XB，XB.计算

(YB?YA)/(XB?XA)，作为割线AB的斜率.

(3) 选中A，B，构造直线AB，得割线AB，接着度量其斜率和方程. (4) 右键单击函数y?x3?2x2?x，求出其导函数f'(X). (5) 度量函数在XA的导数f'(XA).

(6) 绘制新函数YA?f'(XA)?(X?XA)，得到曲线上任意点A的切线. 我们可以演示的操作以及观察如下：

5

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(1) 拖动A，得曲线在任意点的切线.

(2) 拖动B向点A靠近，观察的斜率与f?(XA)之间的关系.

图5

从图5看出函数在点A的导数等于在该点的切线的斜率，若在区间?a,b?,有f'(x)?0时，函数在区间单调递增，若在区间?a,b?,有f'(x)?0时，函数在区间单调递减. 当

f'(x)?0，函数存在极值.

2.4 定积分意义的动态演示

定积分也是微积分中的一个重要概念，也是比较抽象的一个概念. 定积分概念涉及近代

微积分思想———“以直代曲，以有限逼近无限”.

定义4

[2] 设f是定义在?a,b?上的一个函数，J是一个确定的实数.若对任给的正数?，

总存在某一正数?，使得对?a,b?的任何分割T，以及在其上任意选取的点集??i?，只要

T??，就有

?f(?)?xii?1ni?J??，

则称函数f在区间?a,b?上可积或黎曼可积；数J称为f在?a,b?上的定积分或黎曼积分，记作

6

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J??f(x)dx.

ab其中，f称为被积函数，x称为积分变量，?a,b?称为积分区间，a,b分别称为这个定积分的下限和上限.

在微积分中，定积分的定义是通过求曲边梯形的面积、变力做功等几何学与物理学中抽象出来的概念.定积分定义给出了一种解决问题的模型，其核心就是微元法，利用微元法我们可以解决几何学、物理学、经济学中的很多问题.为了便于理解这个方法，我们借助几何画板做出几何图形，从几何的角度来认识这个方法和定积分的本质. 例4. 计算函数y?2在区间[a,b]上的曲边梯形的面积.

制作

[4]x：

x(1) 绘制新函数y?2，在X轴上任意取两点A，B. (2) 新建参数t作为区间[A,B]的等分线段数.计算t?1和1/t.

(3) 标记比值1/t，双击A以其为缩放中心，选中B，选<变换/缩放>，得B'. (4) 度量A，B'的横坐标X，再计算这两点对应的函数值Y，根据这两点的坐标绘制曲线y?2上的两个点E，F.

(5) 分别作线段AE，FB'，过点E作X轴的平行线，交FB'于点G，隐藏平行线，作线段EG，选中点A，E，G，B'，单击<作图/四边形内部>.

(6) 选中点A，参数t，和度量值t?1，按住Shift键，选择<变换/带参数迭代>，在迭代对话框中，依次单击B'和t?1.

x

7

楚雄师范学院本科论文（设计） 当t?12时，函数图象如下图6所示.

图6

当t?100时，函数图象如下图7所示.

图7 从图中我们看出，当t值越大，无限多个小矩形的面积之和将近似等于曲边梯形的面积.

2.5 傅里叶级数

傅里叶级数是一种重要级数，级数在微积分中也是重要的一部分.傅里叶级数在物理学

有广泛的用途，比如信号的处理，傅里叶变换为我们提供了一种新的观察、分析事物的角度，而且在很多时候，这一角度比变换前更接近事物的本质.我们将深入了解傅里叶级数,学会它的应用,傅里叶级数概念

[2]如下：

8

楚雄师范学院本科论文（设计） 如果函数f(x)是以2?为周期的函数，且积分

an?f(x)cos(nx)dx , (n?0,1,2,?), ????1?bn?f(x)sin(nx)dx , (n?0,1,2,?). ????1?都存在，由上面式子所确定的常数a0,an,bn(n?1,2,?)，称为函数f(x)的傅里叶系数，并称具有傅里叶系数的三角级数

a0???(ancosnx?bnsinnx) 2n?1为函数f(x)的傅里叶级数，记为

a0?f(x)～??(ancosnx?bnsinnx).

2n?1 例5

[7]. 讨论函数

??1,???x?0, f(x)??0?x??.?1,的傅里叶级数的收敛情况.

由题意知，函数f(x)是区间???,??上的奇函数（忽略函数在x?0点的值）.将函数f(x)周期延拓到区间???,??上，得到以2?为周期的函数f(x).

~an?bn?1?2??f(x)cosnxdx?0 ?n?0,1,2,??，

?????0f(x)sinnxdx?2???0sinnxdx?2(1?cosn?)n?

?0,当n为偶数时,2?n?1?(?1)??4,当n为奇数时.n???n???于是

~

f(x)~4?sin3xsin5x??????sinx???35?.

由狄里克莱收敛定理可知，当x?k?(k?0,?1,?2,?)时，傅里叶级数收敛于零；当

x?k?(k?0,?1,?2,?)时，傅里叶级数收敛于f(x).特别地，当0?x??时，有

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f(x)?用几何画板画出函数

4?(sinx?sin3xsin5x???). 354sin3x??1,???x?0,4)， 及S1(x)?sinx，S2(x)?(sinx?f(x)???31,0?x??.??S3?4?(sinx?sin3xsin5x?) 35

的图像，如图8所示.

4y4321π5π62π3π2π3π6Oπ6π3π22π312344y4S1(x)=()?sinxπ4sin(3x)S2(x)=()?(sinx+())π332y=S2(x)1y=S1(x)π5π62π3π2π3π6Oπ6π3π22π31234

x (a)

x (c)

5π6π5π6π4S1(x)=()?sinxπyy=S1(x)321π5π62π3π2π3π6OAπ6π3π22π35π6xπ123(b)y4344S1(x)=()?sinxπ4sin(3x)S2(x)=()?(sinx+())π34sin(3x)sin(5x)S3(x)=()?(sinx+()+()π35π5π62π3π2π3π621Oπ6π3π22π35π6xπ123(d) 图8

从图8中看出，方波可以用一系列的正弦波、余弦波叠加起来表示.我们把级数的部分和逐渐趋近于这个函数的过程通过几何图形展示出来（图8）.显然可见项数取得越多，近似程度越好.这里，周期为2?，角频率??1，(a)图是基波和矩形波.(b)图是一项的正弦波，(c)图是两项的正弦波，(d)图是三项的正弦波.

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3 几何图形在重积分计算中的作用

3.1 二重积分的计算

在微积分中，二重积分的计算方法是一种重要的计算方法，在物理学中也有重要应用，

但是我们不容易理解二重积分的计算.接下来我将结合几何画板来理解二重积分的计算.先了解一下二重积分的定义： 定义5

[2]设f(x,y)是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，

若对任给的正数?，总存在某个正数?，使对于D的任何分割T，当它的细度T??时，属于T的所有积分和都有

?f(?,?)??iii?1ni?J??,

则称f(x,y)?0在D上可积，数J称为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作

J???f(x,y)d?，

D其中f(x,y)称为二重积分的被积函数，x,y称为积分变量，D称为积分区域. 当f(x,y)?0时，二重积分

??f(x,y)d?在几何上就表示以z?f(x,y)为曲顶，D为

D底的曲顶柱体的体积.当f(x,y)?1时，二重积分面积.

??f(x,y)d?的值就等于积分区域D的

D二重积分的计算方法是一种重要的计算方法，数学分析中证明了以下公式：

??f(x,y)d???dx?Daby2(x)y1(x)f(x,y)dy.

等式的左边

??f(x,y)d?是D上以曲面z?f(x,y)为顶的曲顶柱体?的体积，如图

D9(a)所示，在[a,b]上任取x,过点(x,0,0)作垂直于x轴的平面，它截曲顶柱体?所得的截面（图9(a)中阴影部分）是一个曲边梯形，此曲边梯形在坐标平面Oxy上的正投影如图(b)所示，其面积为

A(x)??y2(x)y1(x)f(x,y)dy.

利用已知平行截面面积为A(x)(x??a,b?)的立体体积公式，得

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楚雄师范学院本科论文（设计） 所求曲顶柱体体积为

V??A(x)dx??(?aabby2(x)y1(x)f(x,y)dy)dx.

故等式成立.

(a) (b)

图9

3.2 三重积分的计算

三重积分的计算方法也是微积分中重要的计算方法，可以帮助其它学科求解计算问题，但是我们根据定义不好理解这种计算的方法及过程，我们借助几何画板理解这种方法，就容易理解一些.首先来了解三重积分的定义. 定义6

[2] 设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区间V上的函数，J是一

个确定的数.若对任给的正数?，总存在某一正数?，使得对于V的任何分割T，只要

T??，属于分割T的所有积分和都有

?f(?,?,?)?V?Jiiiii?1n??.

则称f(x,y,z)在V上可积，数J称为函数f(x,y,z)在V上的三重积分，记作 J????f(x,y,z)dV或J????f(x,y,z)dxdydz.

VV其中f(x,y,z)称为被积函数，x,y,z称为积分变量，V称为积分区域.

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楚雄师范学院本科论文（设计） 特别的，当f(x,y,z)?1时，

??dV在数值上表示V的体积.

V 三重积分计算比二重积分计算更复杂，它的基本思想也是转换为累次积分来计算.一般我们采用先一后二的方法，也就是先对其中一个变量积分，积完之后转化为一个二重积分.由于三重积分的积分区域V是由空间当中的曲面围成，所以三重积分的计算会比较复杂，但是利用几何画板作出相关图形，我们就比较容易理解和接受三重积分的计算方法.

如图11所示，设?是由母线平行于z轴的柱面和曲面z?z1(x,y)、z?z2(x,y)所围成的区域，且z1(x,y)、z2(x,y)是Dxy上?在坐标平面Oxy上的投影区域为有界闭域Dxy，的连续函数，满足z1(x,y)?z2(x,y).它可以表示为

??(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),(x,y)?Dxy.

又有

??Dxy??(x,y)y1(x)?y?y2(x),a?x?b?，

则有

???(x,y,z)z1(x,y)?z?z2(x,y),y1(x)?y?y2(x),a?x?b?.

于是，三重积分可以转换为三次积分：

f(x,y,z)dv??????ba?y2(x)?z2(x,y)f(x,y,z)dz?dy?dx???. ?????y1(x)??z1(x,y)图11

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4 结语

通过以上讨论，我们可以看到几何图形在微积分中起着重要作用，几何画板是一个简单而实用的软件，它在学习数学中起着重要作用，使数学简单明了，微积分的相关知识也在图形中得到体现，充分体现数形结合思想.

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参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001. [2] 华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京：高等教育出版社，2001. [3] 刘胜利·几何画板课件制作教程[M]·北京：科学出版社，2005.

[4] 朱俊杰，缪亮,周传高·几何画板课件制作百例[M]·北京：清华大学出版社，2005. [5] 陶庆林·几何画板实用范例教程[M]·北京：清华大学出版社，2003.4. [6] 杨华侨·关于几何画板辅助数学教学的思考[J]·北方经贸，2001年02期. [7] 华东师范大学数学系.高等数学下册[M].上海：华东师范大学出版社，2003.

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致谢

本课题在选题及研究过程中得到邓老师的悉心指导.邓老师多次询问研究进程，并为

我指点迷津，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励.邓老师一丝不苟的作风，严谨求实的态度，踏踏实实的精神，不仅授我以文，而且教我做人，虽历时三载，却给以终生受益无穷之道.对邓老师的感激之情是无法用言语表达的.

感谢邓燕林老师、黄英老师、刘鹏老师、张小乐老师等对我的教育培养.他们细心指导我的学习与研究，在此，我要向诸位老师深深地鞠上一躬.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r8sw.html