排队论练习题

第9章 排队论

9.1 判断下列说法是否正确：

（1）若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数

分布；

（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来

的顾客流仍为泊松分布；

（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、

3、5、7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；

（4）对M/M/1或M/M/C的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流；

（5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量

实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；

（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，

系统将进入稳定状态；

（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；

（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平

均等待时间将少于允许队长无限的系统；

（9）在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有

关，当服务时间分别的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看

管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。

M/M/1

9.2、某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时

间服从负指数分布，平均需6小时，求： （1）理发店空闲时间的概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内至少有1个顾客的概率； （4）在店内顾客平均数； （5）在店内平均逗留时间； （6）等待服务的顾客平均数； （7）平均等待服务时间；

（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。

9.3、某修理店只有一个修理工，来修理东西的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4 人，修理时间服从负指数分布，平均需6分钟。求： （1） 修理店空闲时间的概率； （2） 店内有3个顾客的概率； （3） 店内顾客平均数； （4） 店内等待顾客平均数； （5） 顾客在店内平均逗留时间； （6） 平均等待修理时间。

9.4、对M/M/1的排队模型，根据下列等式右侧的表达式分别解释?的含义： （1）?＝Wq? ； （2）?＝P（n?0） ； （3）?＝Ls－Lq ； （4）?＝。 ?Ws

9.5、汽车平均以每5分钟一辆的到达率去某加油站加油，到达过程为泊松过程，该加油站 只有一台加油设备，加油时间服从负指数分布，且平均需要4分钟，求： （1） 加油站内平均汽车数；

（2） 每辆汽车平均等待加油时间；

（3） 汽车等待加油时间超过2分钟的概率是多少？

9.6、设到达一个加工中心的零件平均为60件/h，该中心的加工能力为平均75件/h。问处于稳定状态时刻该加工中心的平均输出率是60还是75件/h？简要说明理由。 9.7、 到达只有一个加油设备的加油站的汽车的平均到达率为60台/h，由于加油站面积比较小又拥挤，到达的汽车平均每4台中 有一台不进入站内而离去。这种情况下排队等待加油的汽车队列（不计 正在加油的汽车）为3.5台，求进入该加油站的汽车等待加油的平均时间。

9.8、某车站候车室在某段时间内旅客以强度为50人／h的泊松流到达，每位旅客在候车室内平均停留时间为0.5h，服从负指数分布。问候车室内的平均候车人数为多少?

9.9、考虑一个单服务台，队长无限的排队系统，它的服务时间及到达的间隔时间均为一般的概率分布。求证：

①Ls?Lq?(1?P0)；②Ls?Lq??；③P0?1??0

9.10、某车间的工具仓库只有一个管理员，平均每小时有4个工人来借工具，平均服务时间为6min。到达为泊松流，服务时间为负指数分布。由于场地等条件限制，仓库内能借工具的人最多不能超过3个，求：

(1)仓库内没有人借工具的概率；(2)系统中借工具的平均人数；(3)排队等待借工具的平均人数；

(4)工人在系统中平均花费的时间；(5)工人平均排队时间。

9.11、汽车按泊松分布到达只有一套加油设备的加油站，平均15辆/h，当加油站已有n台汽车在加油或者等待加油时，新到达的汽车将按n/3的概率离去，又每辆车加油时间为平均4min的负指数分布，试（1）画出上述排队系统的生灭过程发生概率图；（2）求处于稳定系统处于各状态的概率。

9.12、 在工厂的一个工具检测部门，要求检测的工具来自该厂各车间，平均25件/h，服从泊松分布。检测每件工具的时间为负指数分布，平均每件2min。试求： （1） 该检测部门空闲的概率；

（2） 一件送达的工具到检测完毕其停留时间超过20min的概率 （3） 等待检测的工具的平均数

（4） 等待检测的工具在8到10件间的概率

（5） 分别找出在下列情况时等待检测的工具的平均数：a检测速度加快；b送达的检测工

具数降低20％；c送达的检测工具数和检测速度均增大20％。

9.13、某医院有一台心电图机，要求做心电图的病人按照泊松分布到达，平均每小时5人。又为每位病人做心电图的时间服从负指数分布，平均每人10min。设心电图室除正在做的病人外，尚有5把等待的椅子。问（a）到达的病人中有多大比例椅子坐；（b）为使到达的病人至少有95％以上能有椅子坐，则在心电室至少应该设多少把等待的椅子？

9.14、一名机工负责5台机器的维修。已知每台机器平均2h发生一次故障，服从负指数分布。机工维修速度为3.2台/h，服从泊松分布。试求：

（1） 全部机器处于运行状态的概率 （2） 等待维修的机器的平均数

（3） 若该车工负责6台机器的维修，其他各项数据不变，则上述（1），（2）的结果

如何？

（4） 若希望至少50％时间内所有机器能正常运转，求该机工最多负责维修的机器

数。

9.15、 一个有一套设备的洗车店，要求洗车的车辆平均每4min到达一辆，洗每辆车需要3min，以上均服从负指数分布。该店现在有2个车位，当店内无车时，到达车辆全部进入，当有一辆车时，只有80％进入，有两辆车时，到达车辆因为无系统服务而全部离去。要求： （1）对此排队系统画出生死过程发生率。

（2）求洗车设备平均利用率，及一辆进入该店的车辆在该洗车电的平均逗留时间WS？ （3）为减少顾客流失，店里拟扩大租用3个车位，这样当店内已有2辆车时，到达车辆60％进入，有3辆车时，新车辆仍全部经济算当租用第3车位时，该洗衣店内有n辆车的概率Pn如下： n 0 0．416 1 0．312 2 0．187 3 0．085 Pn 若该车店每天营业24小时，新车位租金100元/天，洗一辆车的净盈利为5元，问该第3车位是否值得租用？

M/M/C模型

9.16、某银行有三个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一 队，出纳员与顾客的交易时间服从平均数为0.5分钟的负指数分布，试求： （1） 银行内空闲时间的概率；

（2） 银行内顾客数为n时的稳定概率； （3） 平均队列长Lq； （4） 银行内的顾客平均数Ls；

（5） 在银行内的平均逗留时间Ws； （6） 等待服务的平均时间Wq。

9.17、某电话亭有一部电话，来打电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达间的平均时

间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。求： （1）顾客到达电话亭要等待的概率； （2）等待打电话的平均顾客数；

（3）当一个顾客至少要等待3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速

度增加多少时，装第二台电话机才是合理的？ （4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？

（5）第二台电话机安装后，顾客的平均等待时间是多少？

9.18、某商店收款台有3名收款员，顾客到达率为每小时504人，每名收款员服务率为每小 时240人，设顾客到达为泊松输入，收款服务时间服从负指数分布，求解：P0,Lq,Ls,Wq,Ws。

9.19、某食堂有两个窗口，用餐人员以平均到达间隔时间是8分钟的泊松流大大，服务时间 服从负指数分布且平均服务时间为5分钟，试求： （1） 窗口不空而耽搁的概率；

（2） 至少有一个服务台都空闲的概率； （3） 两个服务台都空闲的概率。

9.20、某工具间管理相当差，平均为一个机械工服务就要12min。现有5个机械工，平均每15min有一个机械工来领取工具，到达为泊松分布，服务时间为负指数分布。求：

①工具保管员空闲的概率；②五个机械工都在工具间的概率；⑤系统中的平均人数；④排队的平均人数；⑤每个机械工在工具问的平均逗留时间；⑧每个机械工的平均排队时间；⑦对上述结果进行评价。

9.21、某厂医务室共有同样医疗水平的大夫2名。已知职工按泊松流来到医务室就诊，平均每小时来15人；诊病时间平均每人为6min，并服从负指数分布。现在要问：

(1)医务室空闲的概率；(2)在医务室逗留的病人及排队等待就诊的病人各为多少? (3)平均每一病人在医务室逗留的时间为多少？

（中）9.22、一个由两名服务员的排队系统，该系统最多容纳4名顾客。当系统处于稳定状态时，系统中恰好有n名顾客的概率是：

P0?1/16,P1?4/16,P2?6/16,P3?4/16,P4?1/16.

试求：（1）系统中的平均顾客数Ls；（2）系统中平均排队的顾客数Lq；（3）某一时刻正在被服务的顾客的平均数；（4）若顾客的平均到达率为2人/h，求顾客在系统中的平均逗留时间Ws；（ 5）若两名服务员有相同的服务效率，利用(4)的结果求服务员服务一名顾客的平

均时间1/u。

9.23、某排队系统中有两个服务员，顾客到达为泊松流，平均1人/h，服务员对顾客的服务时间服从负指数分布平均每人1h。假如有一名顾客于中午12点到达该排队系统情况下，试求：（1）下一名分别于下午1点前，1～2点间，2点之后到达的概率，（2）若下午1点前无别的顾客到达，下一名顾客于1~2点间到达的概率；（3）在1～2点间到达顾客数分别为0，1或不少于2的概率；（4）假定两个服务员于下午1点整都为顾客服务，则两个被服务的顾客于下午2点前，1：10前，1：01前均未结束服务的概率。

9.24、一个顾客来到有2名并联服务员统，服务员的服务时间平均值10min的负指数分别，分别求下列的概率：（1）到达时2名服务员均忙碌，则该顾客需要等待时间t1的概率分布（2）若该顾客已等了5分钟，则需要等待时间为t2的期望值E?t2?及标准差；（3）f?t1?；

若该顾客到达时前面已有2人在等待，则轮到其他被服务时所需的时间t3的期望值E?t3?及标准差。

9.25、某停车场又10个停车位置。汽车到达服从泊松分布，平均10辆/h，每辆汽车停留时间服从负指数分布，平均10min。试求：

（2） 停车位置的平均空闲数

（3） 到达汽车能找到一个空停车位的概率 （4） 在该场地停车的汽车占总到达数的比例

（5） 每天24小时在该停车场找不到空闲位置停放的汽车的平均数。

9.26、某航空售票处有3台订票电话和2名服务员，当2名服务员在接电话处理业务时，第3台电话的呼叫将处于等待状态。若3台电话均占线，新的呼叫因不通（忙音）而转向其他售票处订票，设订票顾客的电话呼叫服从泊松分布，?＝15/h，服务员对每名顾客的服务时间服从负指数分布，平均时间为4min。试回答： （1）一名顾客呼叫时立即得到服务的概率

（2）8小时营业时间内转向其他售票所订票的顾客数 （3）服务员用于为顾客服务时间占全部时间的比例

9.27、一个具有4个状态的生灭过程的有关数据如表所示，求处于稳定状态的概率。 n 0 2 0 1 3 3 2 2 4 3 1 1 4 0 2 ?n ?n 9.28、一个计算中心有三台电子计算机，型号和计算能力都是相同的。任何时间在中心的使用人数等于10。对每一个使用人，书写（和穿孔）一个程序的时间是服从于平均率为每小时0.5的指数分布。每当完成程序后，就直接送到中心上机。每一个程序的计算时间是服从

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