专题讲座2-一维问题

专题讲座2一维问题

一、自由粒子问题

自由粒子（处处V(x)?0）。 在经典理论中它意味着等速运动，但是在

量子力学中这个问题相当微妙。定态薛定谔方程为: ?2?2d?222mdx?E?,

或者

d?dx2??k?, 其中 k?ikx22mE?

因此自由粒子的能量本征函数为

?(x)?Ae

（很容易看出自由粒子的能量本征函数也是动量算符的本征函数，?k?p）

能量本征值为

E?k?2m22

对自由粒子没有边界条件去限制k的取值（E的取值）；???k??，是连续谱。加上标准的时间因子，exp(?iEt/?)，自由粒子的定态解可以写作

?k(x,t)?Aei(kx??k22mt),

显然，自由粒子的“定态”是传播着的波； k??它们的波长是?动量

?2?/k2mE??k?0?向右传播，, ?

k?0?向左传播.?

，按照德布罗意公式（1.39式）它们具有

p??k.

我们的问题是这样的定态能否表示自由粒子真实的物理态呢？

这些波的速度(t前面的系数除以x前面的系数)是

2m另一方面，一个具有能量E?(1/2)mv（纯动能，既然势能V典自由粒子的速度是

2 v量子??k2m?E.

?0）的经

v经典?2Em?2v量子.

表面看来量子力学波的传播速度只有它所代表的粒子经典速度的一半！我们马上会回到这个佯谬?这里还有一个更严重的问题需要我们首先面对：这个波函数是不可归一化的。因为

??????kdx?A*k2????dx?A(?).

2对自由粒子来讲，分离变量解并不代表物理上可实现的态。一个自由粒子不能存在于一个定态；或者，换句话说，不存在一个自由粒子具有确定能量（确定动量）这样的事情。

但是这个并不意味着分离变量解对我们没有用途，因为它们的数学地位是完全不依赖于它们的物理解释的。含时薛定鄂方程的一般解仍旧是分离变量解的线性迭加（此时对连续变量k的一个积分取代了对分立指标n的求和）：

?(x,t)?12??????(k)ei(kx??k22mt)dk.

(引入因子1/2?是为了方便)现在这个波函数是可以归一化的（对适当的?(k)）。但是必须是对k的一个范围，因此能量和速度也有一个范围。我们称这样的波为波包。

在一般的量子力学问题中，是给出?(x,0)，求?(x,t)。对自由粒子的解，仅有的问题是如何确定匹配初始波函数的?(k)：

?(x,0)?由傅立叶变换

12?????(k)edk.

?(x,0)e?ikx?ikx?(k)?12?????dx.

例题1 一个自由粒子初始时刻是局域在区间?a?x?a，然后在t?0释放：

?A, 若 ?a?x?a, ?(x,0)??

0， 其余地方,?式中A和a是正的实数。求?(x,t)。

解：首先我们需要归一化?(x,0)：

1?????2?(x,0)dx?A2?a?adx?2aA ? A?212a.

其次计算?(k)：

?(k)?12?112a?a?ae?ikxdx?1e?ikxa2?a?ik1?a

?eika?e?ika? ????2ik?a??1sin(ka)ki(kx??k2sin(ka)k

.?a最后把?(k)代回2.100式中： ?(x,t)??2a????e2mt)dk.

探讨极限情况很有启发。如果a非常小，初始波函数为很窄的针

状。在这种情况下，有sin(ka)?ka，因此有

?(k)?a?;

这是不确定原理的一个例子：如果坐标的弥散很小，动量的弥散（因此k的）必须很大。在另一种极限下（a很大），坐标的弥散很大，而 ?(k)?asin(ka)?ka现在，sinz/z的最大值在z?0，并当z???时为零（这对应k???/a）。所以对较大的a，?(k)是以k?0为中心的一个窄峰。此种情况下，有一个较确定的动量，但是坐标不再很好确定。

.

现在我们回到前面提到的佯谬：表示一个粒子的分离变量解

严格来讲，这样的问题是不存在的，?k(x,t)以一个”错误”的速度传播。

因为我们发现?k不代表一个物理上可实现的态。不过，发现自由粒子的波函数

?(x,t)?12??????(k)ei(kx??k22mt)dk.

包含有速度的什么信息是令人感兴趣的。基本的思想是：一个波包是正弦函数的迭加，其振幅由?(k)调制；

在一个“包络线”内含有“波纹”。对应粒子速度的不是一个个别波纹的速度（所谓的相速度），而是包络线的速度（群速度）?这个速度，取决于波包的本质，可以比组成波包的波纹的速度大或小。对一个弦波，群速度等于相速度。对水波，当你向水塘扔进一块石头，也许曾注意到，群速度是相速度的一半（如果你注意一个个别波纹，你会发现它在后部生成，向前运动越过群体，在前面衰减，而群体则以个别波纹的一半速度传播）。

我们现在要证明的是在量子力学中自由粒子波函数的群速度是相速度的两倍?正好代表经典粒子的速度。

现在的问题是确定一般形式波包

?(x,t)?12??????(k)ei(kx??t)dk

的群速度。（对我们的情况??(?k2/2m)，但是现在讲的对所有种类的波包都适用，无论它的色散关系??对k的依赖关系?如何。）让我们假定?(k)是在某个k0处的一个狭窄分布。（一个宽的分布也是允许的，但是这样的波包波形变化很快?因为不同的组分有不同的速度?所以具有一个很好定义的速度的“群” 的整体概念就会失去意义。）既然除了k0附近外积分可以被忽略，我们可以在这一点对?(k)做泰勒展开，并仅保留到一次项：

?(k)??0??0(k?k0),

式中?是?对k的导数在k0的值。

做变量变换从k到s?k?k0（使积分区间的中心在k0），我们有

?'1i[(k0?s)x?(?0??0s)t)?(x,t)??(k0?s)eds. ?2???在t?0时，

'0' ?(x,0)?在以后时刻

12??'????(k0?s)ei(k0?s)xds,

?(x,t)?除了x变换到(x??'012?t)ei(??0t?k0?0t)?????(k0?s)ei[(k0?s)(x??0t)'ds.

外，这个积分同?(x,0)的积分是一样的。所以

i(??0?k0?0)t'?(x??0t,0). ?(x,t)?e除了前面的一个相因子(它在任何方面都不影响?)外，这个波包显

2'然以速度?0运动：

'

v群?d?dk

（在k?k0取值）。这和普通的相速度

v相??k

是不一样的。在我们情况中，??(?k2/2m)，所以?/k?(?k/2m)，而

正好是相速度的2倍。这证实了与经典粒子速度相匹d?/dk?(?k/m)，

配的是波包的群速度而不是定态的相速度：

v经典?v群?2v相.

二、束缚态和散射态

我们已经遇到定态薛定谔方程的两类非常不同的解：对无限深方势阱和谐振子它们是可归一化的，解由分立的指标n标记；对自由粒子它们是不可归一化的，解用一个连续的变量k标记。前者本身就代表物理上可实现的态，而后者不是；但是在两种情况下含时薛定谔方程的一般解都是定态解的线性迭加——对第一类这种情况迭加是采取求和的形式（对n），而对第二类这种迭加则是一个积分（对k）。这种区别的物理意义是什么？

在经典力学中一个一维不含时的势场可以给出两种很不相同的运动情况。如果V(x)的两边都比粒子的总能（E）高（图2.12(a)），则粒子的运动被限制在势阱内?它在两个拐点之间运动，但是它不能逃逸掉（除非，当然，你给它提供额外的能量源，比如一个马达，但是我们不讨论这种情况）。我们称这种情况为束缚态。

在另一方面，如果E在一边（或两边）超过V(x)，则从“无限远”过来的粒子在势的影响下减速或加速，然后折回无限远处（图2.12(b)）。（它不能被囚禁在势场中，除非存在某种机制，比如说摩擦，引起能量的耗散，但是同样，我们也不

讨论这样的情况。）我们称这种情况为散射态。某些势场仅允许束缚态（例如，谐振子）；某些势场仅允许散射态（例如，一个逐渐升高而没有低谷的势场）；依据粒子的能量，还有一些势两者都允许。

薛定谔方程的两类解恰好对应束缚态和散射态。这种区分在量子的范畴甚至更清晰，因为隧道效应允许粒子“渗透”穿过任何有限的势垒，所以最关键的是无限远处的势（图2.12（c））：

?E?[V(??) 和 V(?)] ? 束缚态， ?E?[V(??) 或 V(?)] ? 散射态.

?在“真实世界”大多数势场在无限远处趋于零（比如氢原子），在这种情况下上面的判据变得更为简化：

?E?0 ? 束缚态，? E?0 ? 散射态.?

由于无限深方势阱和谐振子势在x???趋于无限大，它们仅

允许束缚态；由于自由粒子的势是处处为零，它仅允许散射态。

（图中Classical turning points 经典拐点）

图2.12：（a）束缚态。（b）散射态。（c）一个经典的束缚态，但是是量子的散射态。

三、 ?-函数势阱

狄拉克(Dirak)?函数是原点处一个无限高，无限窄的峰尖，其面积是1：

??0, 如果 x?0? ?(x)???, 如果 x?0?, 且 ?-??(x)dx?1.

??

技术上讲，它根本就不是一个函数，因为它在x?0不是有限的（数学家称它为推广函数，或广义函数）。不过，它在理论物理中非常有用。（例如，在电动力学中一个点电荷的电荷密度就是一个?函数。）注意到?(x?a)是在点a面积为1的一个尖峰。如果你把?(x?a)乘以一个普通函数f(x)，这与乘以f(a)是一样的，

f(x)?(x?a)?f(a)?(x?a),

因为除了点a外乘积处处为零。特别有，

????f(x)?(x?a)dx?f(a)??(x?a)dx?f(a).

???这是?函数最重要的性质：在积分号下它“挑选出”f(x)在a点的值。（当然，积分不必从??到?；重要的是积分要包含点a，所以对任何??0，从a??积到a??就行。） 让我们考虑下列形式的势 V(x)????(x), 其中?为某个正的常数。固然，这是一个模拟势（同无限深方势阱一样），但是它十分简单便于处理，可以以最少的数学来阐明基本理论。?函数势阱的薛定鄂方程为

??2d?222mdx???(x)??E?;

由它可以得到束缚态（E?0）和散射态（E?0）。

首先来看束缚态。在x?0区域，V(x)?0，所以

式中

??d?dx22??2mE?2????,

2?2mE???x.

?x（由假设E为负值，所以?是正的实数。）方程的一般解是 ?(x)?Ae?Be, 但是当x???时第一项趋于无限大，所以我们必须令A?0：

?(x)?Be, (x?0).

在x?0区域，V(x)同样为零，一般解的形式时Fe??x?Ge?x；不过此时当x???时第二项趋于无限大，所以 ?(x)?Fe?x, (x?0).

现在仅需利用在x?0的适当边界条件把两个函数接合在一起。用?应满足的标准边界条件：

?1. ? 总是连续的；

? 2. d?/dx 除了势是无穷大点外是连续的. ?

在现在的情况下，第一个边界条件告诉我们F?B，所以

??x?Be?x, (x?0),?(x)????x

Be, (x?0);?

第二个边界条件不告诉我们任何事情；这是由于V在结合处为无穷大的例外情况，从图中可以清楚看出函数在x?0处有一个弯折。另外，除了x?0点外，?函数对我们的问题没有任何影响。显然?的导数在x?0的不连续是由?函数决定的。现在来看?函数的作用，作为一个副产物我们将明白为什么通常情况下d?/dx是连续的。

基本思想是对薛定鄂方程从??到?积分，然后取??0的极限： ??2m???2?d?dx22dx???V(x)?(x)dx?E???(x)dx.

????第一个积分是d?/dx，并在两个端点处取值；最后一个积分在??0

极限下为零，因为它是一个高度有限宽度为零的长条的面积。这样

?d???? ?????x?dx???????x???2m?2limVx(?)xdx() . ??0????一般情况下，右边的极限也是零，这就是为什么在通常情况下d?/dx是连续的。但是，当V(x)在边界上是无穷大时，这个结论不再成立。具体有，如果V(x)????(x)，2.113式给出

2m??d???(0). ???2 ????dx?对现在的情况

??x?d?/dx??B?e, (x?0), 所以 d?/dx????xd?/dx??B?e, (x?0), 所以 d?/dx??????B?,??B?,

因此?(d?/dx)??2B?。代入?(0)?B，给出

??2m??22,

m?2?22允许的能量值(2.117式)是 E??最后,我们归一化?：

??2m??.

2????2?(x)dx?2B2??0e?2?xdx?B??1,

所以（方便起见，选择正的实根）： B??显然对?函数势阱，无论它的“强度”?如何，仅有一个束缚态：

2 m ?2m??m?x/?[2.129] ?(x)?e; E??. 2?2?

E?0的散射态如何？当x?0薛定鄂方程为

??m?.

其中

d?dx22??2mE?2???k?,

2k?2mE?ikx

?ikx是实的和正的。一般解是

?Be, ?(x)?Ae这一次两项都不能丢掉，因为它们都不趋于无穷大。类似的，对x?0，

?(x)?Fe?(x)在x?0处的连续性要求 导数为

ikx?Ge?ikx.

F?G?A?B.

ikx?ikx??d?/dx?ik(Fe?Ge), 对(x?0), 所以 d?/dx??ik(F?G),?ikx?ikxd?/dx?ik(Ae?Be), 对(x?0), 所以 d?/dx??ik(A?B),?? 所以

?(d?/dx)?ik(F?G?A?B)。

另外，

?(0)?(A?B)，

所以，第二个边界条件为

(F? ik或者，更紧凑些，

G?2m?A?)B??2?(A? )B ,

F?G?A(1?2i?)?B(1?2i?), 其中 ??m??k2.

考虑边界条件后，我们得到关于4个未知数（A, B, F和G）?

如果k也计入是5个?的两个方程。归一化不会有任何帮助?这不是可归一化的态。我们莱考察一下这些常数的物理意义。我们已经知道

（和含时因子exp(?iEt/?)结合在一起时）一个向右传播的波，exp(ikx)是

exp(?ikx)是向左传播的波。这样A是从左边过来的波的振幅，B是返回左边的波的振幅，F是向右离开的波的振幅，G是从右边过来的波的振幅。在通常的散射实验中，粒子是由一个方向入射的?比如说，从左边。在这种情况下，从右边来的波的振幅将为零：

; G?0, （对从左边入射）A是入射波的振幅，B是反射波的振幅，F是透射波的振幅。对B和F解方程2.133和2.135,我们有

B?i?1?i?A, F?11?i?2A.

现在，在一个特定区域发现粒子的几率是?，所以入射粒子将被反射回的相对几率是

RR?BA22??221??.

被成为反射系数。（如果有一束粒子，它告诉你入射粒子中被反射回的比例。）同样，透射几率由透射系数给出

T?FA22?11??2.

当然，这两个几率之和应当为1?也就是：

R?T?1. 注意到R和T是?的函数，从而是E（2.130和2.135式）的函数： 11R?, T?. 2222[2.141] 1?(2?E/m?)1?(m?/2?E)

可以看出，能量越高，透射几率就越大（这当然是合理的）。 这些结果非常不错，但是还有一个原则上的棘手问题我们不能忽略：这些散射波函数是不可归一化的，所以它们实际上不代表可能的粒子态。但是我们知道如何解决这个问题：我们必须构造定态解的可归一化的线性迭加，正如我们对自由粒子做的那样?真实的物理粒子是由迭加成的波包所表示的。尽管原理上直截了当，但是在实际中做起来却不太容易，此时使用计算机也许是最好的方法. 另外，如果不涉及能量的一个范围，构造可归一化的自由粒子波函数是不可能的，R和T应当被理解为粒子的能量在E附近时的近似的反射和透射系数。

顺便提及，你们可能感到奇怪，我们怎么能够用定态去分析一个本质上是含时的问题（粒子入射过来，被势散射，然后又回到无限远处）。首先，?（只是一个复的、不依赖时间的正弦函数，在两个方向上都扩展（有着常数振幅）到无限远。其次，对这个波函数加上适当的边界条件，我们能够决定一个粒子（由一个局域化的波包表示）被势反射或透射的几率。隐藏在背后的数学秘密是，事实上，由分布在整个空间态的线性迭加以及通常的行波时间依赖关系，我们可以构造局域在一（运动着的）点有相当完善的时间行为的波函数。

只要我们已经理解了相关问题，让我们来简短讨论一下?函数势垒情况。形式上,我们只需要改变?前的?号为+号。当然，这样一来束缚态就不存在了。另一方面，由于反射和透射系数仅依赖于?2,它们是不改变的。说也奇怪，粒子越过势垒就像它通过势阱一样！当然，经典上，一个粒子无论其能量如何是不能越过一个无限高势垒的。事实上，经典的散射问题相当单调：如果E?Vmax则T?1,R?0?粒子越过势垒；如果E?Vmax则T?0,R?1?它爬上山坡动能耗尽，然后按原路返回。而量子散射现象却非常丰富：即使是在E?Vmax情况下，粒子也有

越过势垒的几率。我们称这种现象为隧道效应；这是许多现代电子学技术成为可能的基础?更不用说在电子显微镜方面的进展。反过来也一样，即使E?Vmax，也存在粒子被反射的几率.

四. 谐振子问题的代数解法

让我们把谐振子定态薛定鄂方程写作

?p2?(m?x)2???E?,

?2m?引入算苻

1a??(?ip?m?x) 2?m?

可以计算出积a?a?

a?a?? ?12?m?12?m?(ip?m?x)(?ip?m?x)[p?(m?x)?im?(xp?px)].12?m?221

a?a??[p?(m?x)]?22i2?[x,p].

利用上面式子，方程2.49可写为

11a?a??H?,

??21??H????a?a???.

2??注意a?和a?次序非常重要，如果a?在左边，则有

a?a??1??H?12.

特别有

[a?,a?]?1.

所以哈密顿量还可以等价的写成：

1?? H????a?a???.

2??利用a?，谐振子的薛定谔方程可写为如下形式：

1?? ???a?a?????E?.

2??现在，下面是关键步骤：如果?能够满足能量为E的薛定谔方程

（即H??E?），则a??满足能量为（(E???)）的薛定谔方程：H(a??)?(E???)(a?。) ?证明：

1?H(a??)????a?a??2?1???(a?)???aaa?a?????????2???1??1???? =??a??a?a?????a?????a?a??1????2?2????? =a?(H???)??a?(E???)??(E???)(a??).

同样可证，a??是能量为(E???)的解：

1?1???H(a??)????a?a???(a??)???a??a?a????2?2????1??? ?a?????a?a??1????=a?(H???)??a?(E???)?2???? ?(E???)(a??). 所以这是一种生成新解的极好方法，如果我们得到了一个解，通过升降能量就可以得到其它的解。我们把a?叫作阶梯算符，因为它们能使我们升降能级；a?是升阶算符，a?是降阶算符.

如果反复应用降阶算符，那又会怎样呢？最终，我们会到达一个低于零的能量状态，而（根据一般定理E?Vmin）这根本是不存在！在某个地方这个机制必定是失效的。为什么会出现这种情况？我们知道

是薛定谔方程的一个新解，但这并不能保证它是归一化的?它可能是零或者它的平方积分可能是无限大的。事实上它是前者：有一个

最低的阶梯（称为?0）使得

a?? a??0?0. 我们可以利用这个确定?0(x)：

1?d???m?x???0?0,

2?m??dx?或

d?0m???x?0.

dx?这个微分方程很容易解：

d?0m?m?2 ?dx????xdx ? ln?0??2?x?常数，所以

?m?2?x2. ?0(x)?Ae我们现在对它进行归一化：

1?A22m?所以A?m?/??，因此

????e?m?x/?2dx?A2??,

?m??x ) ? ? 0 ( ? ? e????

1/4?m?2?x2.

我们把它代入薛定谔方程以确定相应的能量（以方程2.57的形式），

??(a?a??1/2)?0?E0?0，利用a??0?0，有：

E0?1?? 2现在我们安全地站在梯子的最底部（量子谐振子的基态），从而我们

可以反复应用升阶算符生成激发态, 每一步增加能量??：

?n(x)?An(a?)?0(x),n1??En??n????, 2??

这里An是归一化常数。通过将升阶算符（反复）作用于?0，我们能够（原则上）得出谐振子所有的定态。同时，不用另外计算，就可以确定所允许的能量. 例题 求出谐振子的第一激发态。 解：利用方程

?1(x)?A1a??0?1/4d???m???m?x??????dx??2?m?????A1m?x21/4e?m?2?x2?2m??m??2? =A1?xe?????? 我们可以直接“手算”对它进行归一化：

. ??12dx?A12m??2m???2??????xe?????m??x2dx?A1,

2

恰好，A1?1。

我们甚至可以用代数的方法得到归一化常数，不过需要一些精巧的步

骤，请留意。我们知道a??n是正比于?n?1的.

a??n?dn?n?1 a??n?cn?n?1,但是比例因子cn和dn是什么？首先注意到a?是a?的厄密共轭。

所以有：

????(a??n)(a??n)dx?*????(a?a??n)?ndx.

*

但是：

a?a??n?(n?1)?n, a?a??n?n?n,所以：

?

??????(a??n)(a??n)dx?cn(a??n)(a??n)dx?dn**2???????2?n?1dx?(n?1)?2???22?ndx,?2??n?1dx?n?????ndx.

但是由于?n和?n?1已是归一化的，可知cn2?n?1，dn2?n，因此：

a??n?n?1?n?1,a??n?n?n?1.

这样

112??a?,??a??(a)?0, ?02?1? 122

?3?13a??2?13?2(a?)?0,3?4?14a??3?14?3?2(a?)?0,

4

依此类推。显然有

1 n

?n?(a?)?0,[2.67]

n!

例题求出谐振子第n态势能的期待值。 解：

V?12m?x22?12m?2?????nx?ndx.

*2

计算这类积分有非常简洁的办法（有关x和p的幂次的）：根据定义（方

程2.47）利用升降阶算符来表示x和p：

x??2m?(a??a?);p?i?m?2(a??a?).

在目前这个例子中，我们对x2感兴趣：

x?所以

V但是(a2?n2?2?(a?)2?(a?a?)?(a?a?)?(a?)2?. ?2m??????4*22???ndx. ?(a)?(aa)?(aa)?(a)n?????????，它和?n是正交的，同样

(a)?正比于?n?2是。所以这些项被去除，我们可以利用方程2.65计

算余下的两项：

n?2)?n（除了归一化常数外）等于?

V???4(n?n?1)?11?????n??. 22??

可以看出，势能的期待值正好是总能量的一半（另一半当然是动能），

这是线性谐振子的一个特征，后面我们还会看到。 4. 有限深方势阱

考虑有限深方势阱：

?x?a,???V0, ? aV(x)?? 0, x?a,??

其中V0是(正的)常数。和δ函数势阱一样，这个势允许有束缚态（E以及散射态（E?0）。我们首先来看束缚态。

在x??a区域，势为零，所以薛定谔方程为：

??2?0）

d?222mdx?E?, 或

d?dx22???,

2其中

?是正的实数。一般解是?(x)?Aexp(??x)?Bexp(?x)，但是，当x???时，解的第一项趋于无穷大，所以物理所许可的解是

?(x)?Bexp(?x), x??a

在?a?x?a区域，V(x)??V，薛定谔方程为：

0???2mE??2d?222mdx?V0??E?, 或

d?dx22??l?,

2其中

l?2m(E?V0)?.

尽管E是负的，但对于束缚态，它必定大于?V0；因此，l是一个正的实数。一般解是

?(x)?Csin(lx)?Dcos(lx), ?a?x?a,

其中C和D是任意常数。最后，在x?a区域，势仍然为零；其一般解是?(x)?Fexp(??x)?Gexp(?x)，但是当x??，第二项趋于无穷大，所以解为

?(x)?Fe??x, x?a.

下一步是加上边界条件：但是注意?和d?/dx在?a和a处连续。到势能是一个偶函数，不失一般性，我们可以假设解要么是奇函数要么是偶函数来简化问题。这样做的优点是我们仅需要考虑一侧的边界条件（比如说在?a处）即可；由于?(?x)???(x)，另一侧自动满足边界条件。这里我们仅讨论偶函数解，你们可自己讨论奇函数解。由于余弦是偶函数（正弦是奇函数），所以我们要求的解可以写为：

?Fe??x, x?a,??(x)??Dcos(lx), 0?x?a,

??(?x), x?0.?由波函数?(x)在x?a处的连续性可得， 由d?Fe?Dcos(la),/dx连续性可得，

??x

??Fe??x??lDsin(la).

两式相除，我们得到

??ltan(la).

由于?和l都是E的函数，这是一个关于所允许能量的公式。要求出E，我们首先采用一些简洁的记号：令 z?la, 及 z0?有(?2a?2mV0.

ka?z0?z22?l)?2mV0/?22，所以 ，而2.154式可写为

2 tanz?(z0/z)?1.

这是一个z（因此E）的作为z0函数的一个超越方程（z0描述势阱“大小”）。它可以用计算机求出数值解，或者也可以用作图法求解，在同一坐标系中画出tanz和(z0/z)2?1曲线，找到它们的交汇点。

下面讨论两种极限情况：

1、 宽深势阱。如果z0非常大，交汇点在略小于zn奇数）处；所以有

?n?/2（n为

En?V0?n??22222m(2a).

但是E?V0是比势阱底部能量高的一个值，在上式右边正好是阱宽为2a的一维无限深势阱能级?或者它们中的一半，因为现在n仅为奇数。（当然另一半来自于奇函数。）因此，当V0??时，有限深势阱转化为无限深势阱；但是，对任何有限的V0，仅有限多个束缚态。

2、浅窄势阱。 当z0降低时，束缚态越来越少，直到最后（当z0??/2时，最低奇态消失）仅存在一个束缚态。尽管如此，值得注意的是无论势阱多么“浅小”，总是至少存在一个束缚态。

现在要讨论散射态（E?0）。在势阱左边，V(x)?0，我们有

?(x)?Ae?Be, （x??a） 其中（和通常一样）

k?2mE?.

ikx?ikx在势阱内，V(x)??V0，

?(x)?Csin(lx)?Dcos(lx) （?a?x?a）

其中，和前面一样

l?2m(E?V0)?.

在势阱右边，假设在此区域没有入射波。我们有， ?(x)?Feikx.

这里A是入射波振幅，B反射波振幅，F是透射波振幅。

有四个边界条件： ?(x)在?a连续应满足

Ae?Be??Csin(la)?Dcos(la),

d?(x)/dx在?a处连续应满足，

ik[Ae?ika?ikaika?Beika]?l[Ccos(la)?Dsin(la)],

ika?(x)在?a处连续应满足，

Csin(la)?Dcos(la)?Fed?(x)/dx,

在?a处连续应满足

l[Ccos(la)?Dsin(la)]?ikFeika.

我们可以用其中的的两个方程消去D和C，然后用剩余的两个解出B和F（见习题2.32）：

B?iF?sin(2la)2kle(l?k)F,

A222?2ika2cos(2la)?i(k?l)2kl2.

sin(2la)

透射系数（T?F2/A2），用最初的变量可表示为：

2?2asin?4E(E?V0)??T?1?1?V0?2m(E?V0)?.?

注意当上式中的正弦函数为零时，即

时，其中n为任意整数， 的能量为：

2a?2m(En?V0)?n?,

。完全透射时T?1（势阱成为“透明”的）

En?V0?n??22222m(2a),

这恰好是一维无限深方势阱所允许的能量。

五、周期性势场与能带带结构

我们考虑固体内规则的排列、带正电和基本固定不动的核子会对电子产生力的作用。定性来看，电子的行为，很大程度上决定于势场的周期性?势场的具体形状仅对细节有关。我们以一个最简单的例子：一维狄拉克梳来说明，它由无数平均分布的狄拉克函数峰组成（图5.5）。

周期势的定义是每经过一个固定的距离a就会重复自身的势场：

V(x?a)?V(x). 布洛赫定理告诉我们，对于含周期势的薛定谔方程， ??2d?222mdx?V(x)??E?

它的解必定满足如下条件

iKa ?(x?a)?e?(x)

其中，K为某些适当的常数（这里我们称之为常数是因为它和x无关；但是它有可能和E有关系）。

图5.5：狄拉克梳，方程5.57。 证明：令D为“位移”算符： Df(x)?f(x?a). 对于一个周期势（方程5.47），D和哈密顿算符对易： [D,H]?0, 因此，我们可以任意选择H的本征函数使它同时是D的本征函数：D????，或者，

?(x?a)???(x).

现在，λ显然不为零（因为方程5.52适用于所有的x——我

们马上可以得到?(x)?0，它显然不是允许的波函数）；同其它非零复数一样，λ可以写为指数式：

?=e,

（其中K为某些适当的常数）。证毕。

所以虽然?(x)本身不是周期性的，但?(x)满足：

2iKa

[5.54] 这正同我们所预期的一样。

当然，某个固体物不可能无限大，它的边界一定会破坏周期势V(x)，进而导致布洛赫定理不再适用。但是，对于任何宏观的晶体，它都具有阿伏加德罗常数量级的原子数目，很难想象，边界效应会对对位于固体内部深处的电子有明显影响。这就启示我们可以用下面的方法来修正布洛赫定理： 以N?10为周期，我们把x轴首尾相连弯成一个园；这样，形式上我们可以加上边界条件

?(x?Na)??(x).

由它可以推出：

23所以eiNKa?(x)??(x),

=1，或者NKa?2?n，因此有，

eK?2?nNa,(n?0,?1,?2,...).

iNKa

特别地，对于这种排列方式，K一定是实数。布洛赫定理的优点就是我们仅需求解一个晶格内的薛定谔方程（比如，区间0?x?a）；利用递推方程5.49就可以得到固体各处的解了。 现在，我们假设势场是一系列狄拉克函数峰（狄拉克梳）：

V(x)????(x?ja).

j?0N?1[5.57]

（在图5.5中，我们需要把x轴想象成被弯成了一个园，所以第N个峰实际上将出现在x??a处。）不会有人认为这是一个实际的模型，但是请记住，周期性的影响是我们现在唯一考虑的因素。

在0?x?a内势能为零，所以：

??2d?222mdx?E?,

或者，

d?dx22??k?,

2和前面一样，其中，

k?其一般解为

2mE?,

?(x)?Asin(kx)?Bcos(kx),(0?x?a).

根据布洛赫定理，紧邻原点左侧晶胞的波函数为

?iKa?(x)?e[Asink(x?a)?Bcosk(x?a)],(?a?x?0).

在x?0处，?必须连续，所以

B?e[Asin(ka)?Bcos(ka)];

波函数的微分是不连续的，不连续的程度和狄拉克函数的强度成比例（方程2.125，但须将α变号，因为现在是峰，而不是势阱）：

kA?e?iKa?iKak?Acos(ka)?Bsin(ka)??2m??2B

求解方程5.61中的Asin(ka)得到

Asin(ka)?[e?cos(ka)]B.

把上式代入方程5.62，消去kB，我们得到：

2m??eiKa?cos(ka)??1?e?iKacos(ka)??e?iKasin2(ka)?2sin(ka) ?????kiKa化简后可以得到：

cos(Ka)?cos(ka)?m??k2sin(ka)

这是一个重要的结果，其它都可以由此导出。

上方程决定了k的可能值，也因此决定了能量的允许值。简单起见，令

z?ka, ??m?a?2,

这样，方程的右边可以写为

f(z)?cos(z)??sin(z)z.

常数?是表征狄拉克函数“强度”的一个无量纲量。在图5.6中画出了?=10情况下的f(z)。需要特别注意的是f(z)超出了(－1,+1)的范围，在这些超出的范围内，方程5.64是不可解的，因为cos(Ka)不可能比1大。这些间隙表示被禁戒的能量，称为能隙；它们被允许能量的能带所分离。在一个给定的能带中，实际上所有能量都是允许的，因为根据方程5.56，Ka?2?n/N, N是一个很大的数，n为任意整数。你可能会想要在图5.6中画上N条水平线，取值是cos(2?n/N)从(+1，－1)的所有值（即从n=0到n?N/2），之后再到 +1（n?N?1）?在这一点，布洛赫因子e完成一个振荡周期，因此不会因为n继续增加而产生新解。这些线与f(z)的每个交点表示一个允许的能量。显然，每个能带中有N个态。因为这些线相距很近，在很多情况下，它们都可以被视为是连续的（图5.7）。

iKa

图5.6：?=10时f(z)（方程5.66）的图像，可以看出允带被

禁带（此处f(z)?1）所分割。

图5.7：周期势所允许的能量基本形成了连续带。

目前为止，我们仅在势场中放入了一个电子。在实际中，这个值将是Nq，其中q是每个原子具有的“自由”电子数。因为泡利不相容原理的存在，只有两个电子可以占据一个相同的空间态，所以，如果q=1，它们将填充第一个能带的一半，如果q=2，它们将完全填满第一个能带，如果q=3，它们将填充第二个能带的一半，依此类推?这都是在基态时的情况。（在三维中，对于实际当中具有的势能，能带结构会更加复杂，但仍满足禁带分割允带——这种能带结构正是周期性势场的标志。）

现在，如果一个能带被完全填满，此时如果要激发一个电子就需要一个较大的能量，因为电子需要跳过一个禁带，这样的材料称之为绝缘体。相反地，如果一个能带是部分填充的，激发一个电子只需要一个很小的能量，这种材料通常为导体。如果我们对绝缘体进行掺杂，加入一些q偏小或偏大的原子，这些杂质原子将会产生一些“多余”电子进入高一能带，或者在原来被填满的能级中产生一些空穴，这两种情况都会在绝缘体中产生微弱的电流；这种材料我们称之为半导体。在自由电子模型中，所有的固体都应当是很好的导体，因为在允带间中没有很大的带隙。只有应用了能带理论我们

才成功地解释了固体中电子的导电性。

例题1 证明下列三个定理 （a）定态波函数?(x)总可以取作实数的，（不像?(x,t)一定是复数的）。这里并不是说任何定态薛定谔方程的解一定都是实数的，它的意思是说，如果你得到解不是实数的，总可以用这些解(具有相同能量)的线性组合得到实数的解。所以可以说解总可以取作实数。提示：对于一个给定的E，如果?(x)满足２.５式，那么它的共轭复数也满足，这样它们的线性组合????和i(????)是实数的解，它们也满足２.５式。 证: 由

H(x)?(x)?E?(x)

方程两边取复共轭, 注意到H(x)*?H(x), E*?E,有

** H(x)?(x)?E?(x)

*?(x)和?(x)满足同一个方程, 所以他们的线性组合?也满足方程

???和i(???)?** H(x)(?(x)??(x))?E(?(x)??(x)) 所以定态波函数?(x)总可以取作实数

（b）如果V(x)是偶函数（也就是说，V(?x)?V(x)）那么?(x)总可以取作偶函数或奇函数。提示：对于一个给定的E如果?(x)满足2.5式，那么?(?x)也满足方程，因此它们的奇偶组合?(x)??(?x)也满足。 证: 由于

H(x)???2d222mdx?V(x)

所以

H(?x)?H(x)

H(x)?(x)?E?(x)

?H(x)?(?x)?E?(?x)

?(x)和?(?x)满足同一个方程, 所以他们的线性组合?(x)??(?x)和?(x)??(?x)也满足方程.

?(x)??(?x)是偶函数, ?(x)??(?x)是奇函数

(c) 证明对于定态薛定谔方程的每一个归一化的解，E必定要大于V(x)的最小值。

证: 在任意态中求 H?T?V

由于 T?0 V?Vmi n所以 H?T?V?Vmin 若态取为能量本征态

H?En?T?V?Vmin 例题2

A beam of electrons with energy 1 eV approaches a potential barrier shown in the figure below. Estimate the fraction of electrons that tunnel through the barrier. 5 eV 2 eV e-

0.05 nm 0.05 nm

解: 这是一道标准的透射题,只不过多了一个势垒,按步骤 做就行 把势垒表示为

0,x?0??0?x?a?0.05nm?U1,U??U2,a?x?2a??0,2a?x?

在每个区写出薛定鄂方程

d?dx222????2?????2E??0,x?00?x?ad?2?2

dx22(E?U1)??0,(E?U2)??0,E??0,2a?xd?dx222?2

a?x?2ad?dx22?2有题给E设k0??1eV?U2?2eV?U1?5eV

k2?2?(U2?E)?22?E?2,k1?2?(U1?E)?2,

得到解为

??Ae??Ce??Fe??Keik0xk1xk2xik0x?Be?De?Ge,?ik0x,x?00?x?aa?x?2a(此区域只有透射波(向右的))?k1x?k2x,,

2a?x用波函数连续及导数连续的条件把K和A联系起来, 透射几率为 在x=0处

A?B?C?D,ik0(A?B)?k1(C?D)

T?KA22

在x?a处

?A??(1?k1/ik0)/2?????B??(1?k1/ik0)/2(1?k1/ik0)/2??C???? (1?k1/ik0)/2??D?

Cek1a?De?k1a?Fek2a?Ge?k2a,k1(Cek1a?De?k1a)?k2(Fek2a?Ge?k2a)

/2??F???? /2??G? 在x?2a处

Fe?C??(1?k2/k1)e21/2????(k2?k1)a/2?D??(1?k2/k1)e(k?k)a(1?k2/k1)e(1?k2/k1)e?(k1?k2)a?(k2?k1)a2k2a?Ge?2k2a?Kei2k0a,k2(Fe2k2a?Ge?2k2a)?ik0Kei2k0a

(ik?k)2a?F??(1?ik0/k2)e02/2????0?G??0(1?ik0/k2)e(ik0?k2)2a??K????/2??0?

所以

?A??(1?k1/ik0)/2?????B??(1?k1/ik0)/2?(1?ik0/k2)e??0?(ik0?k2)2a(1?k1/ik0)/2??(1?k2/k1)e(k2?k1)a/2??(1?k1/ik0)/2??(1?k2/k1)e(k2?k1)a/2/20(1?ik0/k2)e(ik0?k2)2a(1?k2/k1)e(1?k2/k1)e?(k1?k2)a?(k2?k1)a/2??/2???K????/2??0?(1?k2/k1)e(1?k2/k1)e?(k1?k2)a?(k2?k1)a

?A??(1?k1/ik0)/2?????B??(1?k1/ik0)/2?(1?ik0/k2)e??0?(ik0?k2)2a(1?k1/ik0)/2??(1?k2/k1)e(k2?k1)a/2??(1?k1/ik0)/2??(1?k2/k1)e(k2?k1)a/2K/2???/2??/2?

?A??(1?k1/ik0)/2?????B??(1?k1/ik0)/2(1?k1/ik0)/2??(1?k2/k1)e(k2?k1)a(1?ik0/k2)e(ik0?k2)2aK/4????(1?k1/ik0)/2??(1?k2/k1)e(k2?k1)a(1?ik0/k2)e(ik0?k2)2aK/4?

(ik?k)2a(ik(k?k)a(k?k)a?A??(1?k1/ik0)(1?k2/k1)e21(1?ik0/k2)e02K/8?(1?k1/ik0)(1?k2/k1)e21(1?ik0/k2)e????(ik?k)2a(ik(k2?k1)a(k?k)a(1?ik0/k2)e02K/8?(1?k1/ik0)(1?k2/k1)e21(1?ik0/k2)e?B??(1?k1/ik0)(1?k2/k1)e

A?K8(1?ik0/k1)eik0ae?k2a?(1?k1/ik0)(1?k2/k1)e?k1a?(1?k1/ik0)(1?k2/k1)ek1a???

透射系数

T?KA?22?64(1?k0/k1)e2?2k2a22?2k2a1?(1?k1/ik0)(1?k2/k1)e?k1a?(1?k1/ik0)(1?k2/k1)ek1a??(1?k1/ik0)(1?k2/k1)???1/k)(1?k/k)?(1?k/k)?(1?k/k)e222222?2k1a64(1?k/k)e2?2(1?k2?(1?k/k)e22k1a??01211210?21代入

k2?E2?(U1?E)U2?E)0??2,k1??2,k2?2?(?2

E?1eV,U1?5eV,U2?2eV

k0/k1?1/2,k2/k1?1/2

2k2aT?64?4e15?9

?2k???92?5(4e1a?14e2k1a)???k2?(U21?E)E)1??2?2?a(U1??2a2?1U1?Ea13.6057EV

?1414a13.6057?5.29177?10?1113.6057/m?10/nm

k2?1U2?Ea13.6eV?5/nm

(a是波尔半径,

?22?a2?13.6057eV是氢原子基态能的值)

T?64?4e2k2a1?505??40?e

??9?5(9e?2k1a12ka??24?4e1)??

21?

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