例谈滑动变阻器的两种接法

例谈滑动变阻器的两种接法

在高考物理实验题中，我们多次考查滑动变阻器的两种接法──分压式与限流式。但虽多次考查，仍有很多学生出错。为什么会出现这一现象？主要原因是学生没有掌握好两种连接方式的特点及作用，遇到具体问题时不知道该如何连接。

一、限流式连接方式的特点

滑动变阻器用作限流时，其连接如图1所示。它是把滑动变阻器串联在电路中，用以控制或调节电路中的电流。使用时，连接滑动变阻器的导线应分别接金属杆一端和电阻线圈一端的接线柱。此电路中，待测电阻Rx两端电压的调节范围约为E·Rx/（R+Rx）和E之间。

二、分压式连接方式的特点

滑动变阻器用作分压时，其连接如图2所示。它是从滑动变阻器上分出一部电压在待测电阻上。其优点是当它的滑动触头从a端向b端滑动时，待测电阻Rx上可分得从零开始连续变化的所需电压（限流式不能），电压的调节范围是0和E之间，比用作限流时调节范围要大。

三、两种连接方式的选取

在负载电流要求相同的情况下，限流电路中干路电流比分压电路中的干路电流更小，所以限流电路中消耗的总功率较小，电源消耗的电能就较小，这说明限流具有节能的优点。在实际电路设计时应视实验要求灵活选取分压电路或限流电路。

（一）分压电路的选取

1．若实验要求某部分电路的电压变化范围较大，或要求某部分电路的电流或电压从零开始连续可调，或要求多测几组I、U数据，则必须将滑动变阻器接成分压电路。

例1 测定小灯泡“6V，3W”的伏安特性曲线，要求实验中灯泡两端的电压从零开始连续可调。供选择的器材有：电压表V1（量程6V，内阻20kΩ），电流表A1（量程3A，内阻0．2Ω），电流表A2（量程0．6A，内阻1Ω），变阻器R1（ 0～100Ω，0．5A），变阻器R2（0～20Ω，0．2A），学生电源E（6～8V）、开关及导线若干。选择出符合实验要求的实验器材并设计出实验电路。

分析：不管是从题中要求灯泡两端电压必须从零开始连续可调的角度考虑，从为了最终能较准确画出伏安特性曲线必须多测几组I、U数据的角度考虑，限流电路都难以满足要求，因此必须采用分压电路。实验电路如图3所示。

器材包括：电压表V1、电流表A2、变阻器R2、电源、开关及导线。

若实验中要用小阻值的滑动变阻器控制大阻值负载，或者题中所给电源电动势过大，尽管滑动变阻器阻值也较大，但总电流大于负载的额定电流值，或总电流大于接入电表的量程，此时的滑动变阻器也应接成分压式电路；若负载电阻的额定电流不清楚，为安全起见，一般也连成分压电路。

例2为了较准确地用伏安法测定一只阻值大约是3kΩ的电阻，备用的器材有：A．直流电源，电压12V，内阻不计；B．电压表，量程0～3～15V，内阻10kΩ；C．电流表，量程0～0．6～3A，内阻20Ω；D．毫安表，量程5mA，内阻200Ω；E、滑动变阻器，阻值0～50Ω； G、电键及导线若干。试设计出实验电路。

分析：本题中，由于待测电阻约为3kΩ，而滑动变阻器控制大阻值负载的情况，因此应将滑动变阻器接成分压电路，否则无法调节负载电阻两端的电压及通过负载电阻的电流的有效变化而造成较大的偶然误差。设计电路如图4所示（外接法及电表选取分析略）。

例3用伏安法测一个电阻Rx的阻值。提供器材有：待测电阻Rx（约5kΩ）、电压表（0～3V，内阻100kΩ）、微安表（0～500μA，内阻100Ω）、变阻器（0～20kΩ）、稳压电源（输出电压15V）。试设计出实验电路。

分析：若接成限流电路，电路中最小电流：I min=E/R=15/（5+20）×103A=0．6×10- 3A=600μA，大于微安表的量程。因此，为了电路安全必须将变阻器接成分压电路，如图2所示。

（二）限流电路的选取

1．一般说来，题目若没有特别的要求，由于限流电路具有节能的优点，并且限流电路的连接较为简便，则优先采用限流接法。由图1和图2不难看出，若用电器正常工作，图2电路中

的总电流必然大于图1电路中的总电流，因而图2分压电路消耗的电功率较大。所以，为了能和电路连接的方便，通常采用限流式接法。

2．若题目中要用较大阻值的滑动变阻器控制阻值较小的负载，在保证负载和电表安全的前提下，一般也将滑动变阻器接成限流电路。

例4在上述的图2电路中，如果Rx较小，R较大，那么在P由a滑到b的过程中，由于Pa电阻与Rx并联的电阻较接近Rx，因此在开始的很长一段距离上Rx上的电压变化较小，而在P接近b端时，因并联值与P电阻迅速接近而使Rx上电压发生突变（即突然增加），故此不易控制，所以此种情况下应把滑动变阻器接成限流电路。

可见，如若切实掌握了分压与限流接法的电路特点和电路选择原则，有关滑动变阻器的连接问题就可迎刃而解。

带电粒子在匀强磁场中的运动问题分析策略

带电粒子在匀强磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。其中圆心的确定最为关键，一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。

以上方法简单明了，但具体求解时，学生对其轨迹的变化想象不出来，从而导致错解习题。如从以上方法出发，再借助圆规或硬币从“动态圆”角度分析，便可快而准的解决问题。此类试题可分为旋转圆、缩放圆和平移圆三大类型，下面以2010年高考试题为例进行分析。

一、旋转圆

模型特征

带电粒子从某一点以大小不变而方向不限定（如0—180°范围内）的速度射入匀强磁场中，这类问题都可以归结为旋转圆问题，把其轨迹连续起来观察可认为是一个半径不变的圆，根据速度方向的变化以出射点为旋转轴在旋转如图1。解题时使用圆规或硬币都可以快捷画出其轨迹，达到快速解答试题的目的。

典例解析

例1（2010·全国1）如图2，在0≤x≤a区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xOy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0°～180°范围内。已知沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P（a，a）点离开磁场。求：

（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；

（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；

（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间

动态分析；由题知沿y轴正方向发射的粒子从磁场边界上P(a，a)点离开磁场，利用圆规或硬币可作出其轨迹图像如图3，由于粒子速度方向在0°～180°范围内，其它方向的轨迹可以通过旋转第一个圆得到（O点为旋转点），如图4。从图中可明显发现第2问第3问所涉及的粒子轨迹所在位置，利用几何关系便可解答此题。

解析：（1）初速度与y轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图5中的弧所示圆心

为C。由题给条件可以得出∠OCP＝①

此粒子飞出磁场所用的时间为t0＝②设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得③由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有④⑤，联立

②③④⑤式，得⑥

(2)依题意，同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧上，如图所示。

设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v P、v M、v N。由对称性可知v P与OP、v M与OM、v N与ON的夹角均为π/3。设v M、v N与y轴正向的夹角分别为θM、θN，由几何关

系有θM＝θN＝⑧，对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所

成的夹角θ应满足⑨

(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图6所示。由几何关系可知，⑩，由对称性可知，?，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间t m＝2t0 ?

跟踪练习

1．（2010·新课标）如图7所示，在0≤x≤a、0≤y≤范围内垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内。已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的

（1）速度的大小；

（2）速度方向与y轴正方向夹角的正弦。

答案：

二、缩放圆

模型特征

带电粒子从某一点以速度方向不变而大小在改变（或质量改变）射入匀强磁场，在匀强磁场中做半径不断变化的匀速圆周运动。把其轨迹连续起来观察，好比一个与入射点相切并在放大（速度或质量逐渐增大时）或缩小（速度或质量逐渐减小时）的运动圆，如图8。解题时借助圆规多画出几个半径不同的圆，可方便发现粒子轨迹特点，达到快速解题的目的。

典例解析

例2（2010·广东）如图10（a）所示，左为某同学设想的粒子速度选择装置，由水平转轴及两个薄盘N1、N2构成，两盘面平行且与转轴垂直，相距为L，盘上各开一狭缝，两狭缝夹角θ可调(如图10（b）；右为水平放置的长为d的感光板，板的正上方有一匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度为B。一小束速度不同、带正电的粒子沿水平方向射入N1，能

通过N2的粒子经O点垂直进入磁场。O到感光板的距离为，粒子电荷量为q，质量为m，不计重力。

（1）若两狭缝平行且盘静止，如图9（c），某一粒子进入磁场后，竖直向下打在感光板中心点M上，求该粒子在磁场中运动的时间t；

（2）若两狭缝夹角为θ0，盘匀速转动，转动方向如图9（b）。要使穿过N1、N2的粒子均打到感光板P1P2连线上，试分析盘转动角速度ω的取值范围（设通过N1的所有粒子在盘旋转一圈的时间内都能到达N2）。

动态分析

通过审题可知，此题是通过粒子轨迹的变化求粒子速度范围进而求圆盘角速度范围。粒子以不同的速率沿水平方向从O点射入磁场，做半径不同的匀速圆周运动，由左手定则确定这些圆的圆心都在OP1连线上，且以O点为切点，利用圆规任画一个圆，设想半径不断变大，很容易发现可以打在感光板上的粒子轨迹，找到两个边界轨迹，从而解答题目。

解析

（1）粒子运动半径为R＝①，由牛顿第二定律qvB＝m②，匀速圆周运动周期T

＝③，粒子在磁场中运动时间（2）如图11，设粒子运动临界半径分别为R1和R2，⑥，设粒子临界速度分别为v1和v2，由②⑤⑥式，得若粒子通过两转盘，由题设可知，联立⑦⑧⑨，得对应转盘的转速分别为：，。所以粒子要打在感光板上，需满足条件：。

跟踪练习

2.（2010·全国2）图12中左边有一对平行金属板，两板相距为d，电压为U；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B0，方向平行于板面并垂直于纸面朝里，图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG(EF边与金属板垂直)，在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面朝里．假设一系列电荷量为q的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域，并经EF边中点H 射入磁场区域，不计重力。

（1）已知这些离子中的离子甲到达磁场边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量。

（2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的I点(图中未画出)穿出磁场，且GI长为a，求离子乙的质量。

（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达。

思路点拨

此题是通过改变粒子质量实现轨迹的变化,求解粒子运动过程中的临界条件。

答案：

三、平移圆

模型特征

带电粒子在两个或更多个并列匀强磁场中运动，粒子从一个匀强磁场进入另一个匀强磁场后，若磁场方向相反，根据左手定则得粒子旋转方向相反，轨迹在交界处必外切，轨迹可认为是圆的平移所得，如磁感应强度大小也变再结合缩放圆处理；若磁感应强度大小变化，根据洛伦兹力提供向心力得粒子运动半径改变，轨迹在交界处必内切，轨迹可认为两个半径不同的圆通过交替平移所得。如图13所示。

典例解析

例3（2010·浙江）有一个放射源水平放射出α、β和γ三种射线，垂直射入如图14所示磁场。区域Ⅰ和Ⅱ的宽度均为d，各自存在着垂直纸面的匀强磁场，两区域的磁感应强度大小B相等，方向相反(粒子运动不考虑相对论效应)。

（1）若要筛选出速率大于v1的β粒子进入区域Ⅱ，求磁场宽度d与B和v1的关系。

（2）若B＝0.0034 T，v1＝0.1c（c是光速），则可得d；α粒子的速率为0.001c，计算α和γ射线离开区域Ⅰ时的距离；并给出去除α和γ射线的方法。

（3）当d满足第(1)小题所给关系时，请给出速率在v1＜v＜v2区间的β粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向。

（4）请设计一种方案，能使离开区域Ⅱ的β粒子束在右侧聚焦且水平出射。

已知：电子质量m e＝9.1×10－31 kg，α粒子质量mα＝6.7×10－27 kg，电子电荷量q＝1.6×10－19C，

。

动态分析；此题是缩放圆和平移圆的结合应用。根据洛伦兹力提供向心力，β粒子顺时

针旋转，当速度逐渐增大，轨迹半径在Ⅰ区域不断变大，当与交界处相切时，速度再增大则进入Ⅱ区域，由于两区域仅磁场方向相反，所以轨迹在两区域交界处外切，可通过圆的平移得到粒子运动轨迹，如图15所示。

解析：

（1）根据带电粒子在磁场中受洛伦兹力作用后做圆周运动的规律：①

由临界条件得d、B和v1的关系为：②

（2）由①式可得α粒子的回旋半径：由②式得：

，竖直方向的距离为：。可见通过区域Ⅰ的磁场难以将α射线与γ射线分离．可用薄纸挡去α射线，须用厚铅板挡掉γ射线。

（3）在上述磁场条件下，要求速率在v1＜v＜v2区间的β粒子离开区域Ⅱ时的位置和方向，

先求出速度为v2的β粒子所对应的圆周运动半径：，该β粒子从区域Ⅰ磁场射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理可得从区域Ⅱ射出时，垂直方向偏离的距离为：；同理可得，与速度为v1对应的β粒子垂直方

向偏离的距离为：。速率在v1＜v＜v2区间射出的β粒子束宽为Y1－Y2，方向水平向右。

（4）由对称性可以设计出如图18所示的磁场区域，最后形成聚焦，且方向水平向右。

小结

从以上分析可知，利用圆规、硬币从动态圆角度可快捷的解决复杂的带电粒子在匀强磁场中运动的相关问题，如临界值、多解等常见问题。这种方法简单易学，学生也能容易掌握规律。教学中发现学生对这种借助简单的道具解决问题的方法不仅充满了好奇心，解决问题的过程中充满新鲜感，而且在解决完问题后又一片惊叹：原来问题可以这样来解决！寓教于乐，给人以深刻的思维启迪。

电磁感应现象中的几种常见图象

高考《考试说明》中关于能力要求中，要考核的能力的第4点是“应用数学处理物理问题的能力”中，指出“能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析。”因此在每年高考中，关于图象的考查备受高考命题专家的青睐，而电磁感应现象的中图象更是高考的热点。在电磁感应现象中，涉及磁感应强度B．磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图象，即B—t图象、Φ—t图象、E—t图象I—t图象。对于导体切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况，还涉及感应电动势E和感应电流I随位移x变化的图象即E—x和I—x 图象。由于感应电流的产生，导体受到安培力作用，其运动情况又会发生动态变化，又有v—t、v—x和a—x等图象。

一、E—t图象

例1（2007全国卷Ⅱ）如图1所示，在PQ、QR区域中存在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场、磁场方向均垂直于纸面。一导线框abcdef位于纸面内，框的邻边都相互垂直，bc边与磁场的边界P重合，导线框与磁场区域的尺寸如图所示。从t＝0时刻开始，线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中的电动势E的正方向，以下四个E－t 关系示意图中正确的是（）

解析：bc边进入PQ区域的磁场时，切割磁感线的导线有效长度为l，感应电动势方向为负；bc边进入QR区域的磁场时，de边同时也进入PQ区域磁场中，它们切割磁感线的导线产生的感应电动势大小相等、方向相反，总电动势为零；bc边离开磁场时，de边进入QR区域磁场中，af边同时也进入PQ区域磁场中，它们切割磁感线产生的感应电动势方向均为正，总感应电动势相加；以后便只有af边在QR区域切割磁感线，产生的感应电动势方向为负，故正确的选项为C。

二、i—t图象

例2（2008年全国卷Ⅱ）如图2所示，一个边长为l的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场；一个边长也为l的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直；虚线框对角线ab与导线框的一条边垂直，ba的延长线平分导线框。在t＝0时，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿ab方向移动，直到整个导线框离开磁场区域。以i表示导线框中感应电流的强度，取逆时针方向为正。下列表示i—t关系的图示中，可能正确的是（）

解析：从正方形线框下边开始进入到下边完全进入过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐增大，感应电流也逐渐增大，如图2的初位置→图3的位置Ⅰ；从正方形线框下边完全进入至下边刚穿出磁场边界，切割磁感线的有效长度不变，感应电流不变，如图3的位置Ⅰ→Ⅱ；当正方形线框下边部分离开磁场，上边尚未进入磁场过程中，线框切割磁感线的有效长度逐渐减小，感应电流也逐渐减小，如图3的位置Ⅱ→Ⅲ；当正方形线框下边部分继续离开磁场，上边也进入磁场过程中，上下两边线框切割磁感线产生的感应电动势方向相反，感应电流减小得更快，当上下两边在磁场中长度相等，感应电动势为零，如图3的位置Ⅲ→Ⅳ；以后的过程与上述过程相反，故正确的选项为C。

三、E—x图象

例3（2008年上海卷）如图4所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右做匀速直线运动，经过半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势E与导体棒位置x关系的图像是（）

解析：如图5所示，设导体棒运动到位置x处，由几何关系可得导体棒切割磁感线的有效长度为，产生的感应电动势为，整

理后可得

从方程可以看出，感应电动势E与导体棒位置x关系的图像是一个椭圆，故正确的选项为A。

四、I—x图象

例4（2005年上海卷）如图6所示，A是长直密绕通电螺线管，小线圈B与电流表连接，并沿A的轴线Ox从O点自左向右匀速穿过螺线管A。能正确反映通过电流表中电流I随x变化规律的是（）

解析：小线圈B从O点自左向右匀速穿过螺线管A的过程中，穿过小线圈的磁通量先是增加然后是不变最后是减小，且进入和穿出产生的感应电流方向相反，则正确反映通过电流

I随x变化规律的是C图。

五、B—t图象

例5两条彼此平行间距为l=0．5m的光滑金属导轨水平固定放置，导轨左端接阻值R=2Ω的电阻，右端接阻值R L=4Ω的小灯泡，如图7（a）所示。在导轨的MNQP矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，MP的长d=2m，MNQP区域内磁场的磁感应强度B随时间t的关系如图7（b）

所示。垂直导轨跨接一金属杆，金属杆的电阻r=2Ω，两导轨电阻不计。在t=0时刻，用水平恒力F拉金属杆，使金属杆由静止开始从GH位置向右运动，在金属杆从GH位置运动到PQ位置的过程中，小灯泡的亮度一直没有变化。求：

（1）通过小灯泡的电流I L；

（2）水平恒力F的大小；

（3）金属杆的质量m。

解析：（1）在力F的作用下，棒未运动到磁场区域时，磁场变化导致电路中产生感应电动势，此时感应电动势为

V

电路结构为r与R并联，再与R L串联，总电阻R总=5Ω，则通过小灯泡的电流

A ①

（2）在力F的作用下，棒运动到磁场区域时，导体棒切割磁感线产生电动势，此时电路的结构是R与R L并联为外阻，r为内阻，由于小灯泡中电流不变，则流过导体棒的电流为

A ②

导体棒所受的安培为

N

小灯泡中电流不变，可知导体棒必定做匀速运动，则F=F A=0．3N

（3）导体棒切割磁感线产生的为

③

由①②③式得导体棒的进入磁场时的速度v=1m/s

由动量定理有

得金属杆的质量kg。

六、v—t图象

例6如图8甲所示，空间存在B=0．5T、方向竖直向下的匀强磁场。MN、PQ是处于同一水平面内相互平行的粗糙长直导轨，间距L=0．2m，R是连在导轨一端的电阻，ab是跨接在导轨上质量m=0．1kg的导体棒。从零时刻开始，通过一小型电动机对ab棒施加一个牵引力F，方向水平向左，使其从静止开始沿导轨做加速运动，此过程中棒始终保持与导轨垂直且接触良好。图8乙所示的是棒的v—t图象，其中OA是直线，AC是曲线，DE是曲线图的渐进线。小型电动机在12s末达到额定功率，P额=4．5W，此后功率保持不变，除R以外其余部分电阻不计，g=10m/s2。

（1）求导体棒在0～12s内的加速度大小；

（2）求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ及电阻R的阻值；

（3）若t=17s时，导体棒ab达到的最大速度，0～17s内共发生位移100m，试求12～17s内，R上产生的热量是多少？

解析：（1）由图8乙可知12s末的速度为v1=12m/s，故导体棒在0～12s内的加速度大小为

m/s2

（2）设导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，在A点时有，，

由牛顿第二定律有

而

导体棒在C点达到速度最大，有m/s，，

由牛顿第二定律有

而

联立以上各式代入数据得μ=0．2，R=0．4Ω

（3）在0～12s内通过的位移为m，

AC段过程发生的位移为x2=100m－x1=46m，

由以能量守恒定律有，

代入数据可得Q R=12．35J。

七、v—x图象

例7如图9甲所示，在质量为M=1kg的小车上，竖直固定着一个质量为m=0．2㎏、宽L=0．05m、总电阻R=100Ω，n=100匝的矩形线圈。线圈和小车一起静止在光滑水平面上，现有一子弹以v0=110m/s的水平速度射入小车中，并立即与小车（包括线圈）一起运动，速度为v1=10m/s，随后穿过与线圈平面垂直、磁感应强度B=1．0T的水平有界匀强磁场、方向垂直纸面向里。已知子弹射入小车后，小车运动的速度随车的位移变化的图象，如图9乙所示，求：

（1）子弹的质量m0；

（2）小车的位移x=10cm时线圈中的电流大小I；

（3）在线圈进入磁场的过程中通过线圈某一截面的电荷量q；

（4）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q。

解析：（1）子弹射入小车的过程中，由动量守恒定律有

解得子弹的质量kg。

（2）当x=10 cm时，由图9乙可知线圈右边切割磁感线的速度v2=8m/s，由闭合电

路欧姆定律得线圈中的电流为，代入数据可得I=0．4A。

（3）由图9乙可知，从x=5cm开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度v随位移x减小，当x=15cm时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动，因此线圈的长为Δx=10cm，在此过程中通过线圈某一截面的电

荷量为，代入数据可得C。

（4）由图9乙可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度v3=2m/s，线圈进入和离开磁场时，克服安培力做功，线圈的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热，有

，代入数据可得线圈电阻发热量Q=63．36J。

八、a—x图象

例8如图10所示，abcd为一边长为l、质量为m的刚性导线框，位于水平面内，bc边中串接有电阻为R，导线的电阻不计。虚线表示一匀强磁场区域的边界，它与线框的ab边平行，磁场区域的宽度为2l，磁感应强度为B，方向竖直向下，线框在一垂直于ab边的水平恒定拉力F作用下，沿光滑水平面运动，直到通过磁场区域。已知ab边刚进入磁场时，线框变为匀速运动。从导线框刚进入磁场到完全离开磁场的过程中，导线框的加速度a随ab边的位置坐标x变化的图象可能是（）

解析：x在0～l距离内，线框以某速度v0作匀速运动，加速度为0；x在l～2l距离内，

线框中无感应电流，不受安培力，作匀加速运动，加速度为，在x=2l处的速度v1＞v0；x在2l～3l距离内，线框产生的感应电流比进入时大，所受的安培力大于拉力F，作变减速运动，加速度方向与x轴方向相反，有两种可能情形：一种情形是，在到达x=3l之前速度减到v0然后作匀速运动，另一种情形是，一直减速，速度始终未减小到v0，故正确的选

项为AD。

九、B—t与i—t图象组合

例9（2008全国卷Ⅰ）矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直。规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图11所示。若规定顺时针方向为感应电流I的正方向，下列各图中正确的是（）

解析：在0～1秒内，垂直纸面向里的磁场均匀增强，磁通量均匀增加，感应电流为逆时针方向，大小不变；在1～3秒内，垂直纸面向里的磁场均匀减小（或垂直纸面向外的磁场增强），感应电流为顺时针方向，大小不变；在3～4秒内，垂直纸面向外的磁场均匀减弱，磁通量均匀减小，感应电流为顺时针方向，大小不变。因此正确的选项为D。

十、B—t与f—t图象组合

例10在水平面桌上，一个面积为S的圆形金属框置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，磁感应强度B1随时间的变化关系如图12所示，0～1s内磁场方向垂直平面向里，圆形金属框与一个平行金属导轨相连接，导轨上放置一根导体棒，导体棒的长为l，电阻为R且与导轨接触良好，其余各处电阻不计，导体棒处于另一匀强磁场中，其磁感应强度恒定为B2，方向垂直导轨平面向里，如图13所示，若导体棒始终保持静止，则其所受的静摩擦力f随时间变化的图象是下图的哪个？（设向右的方向为正方向）

解析：在0～1秒内，穿过圆形金属框中的磁场均匀增强，磁通量均匀增加，感应电流为逆时针方向，大小不变，安培力大小不变方向向左，静摩擦力f大小不变方向向右，为正值；在1～2秒内，穿过圆形金属框中的磁通量不变，无感应电流，无安培力，无静摩擦力；在2～3秒内，穿过圆形金属框中的磁场均匀减弱，磁通量均匀减少，感应电流为顺时针方向，大小不变，安培力大小不变方向向右，静摩擦力f大小不变方向向左，为负值，因此正确的选

项为A。

数学归纳法在物理解题中的应用

在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下可以用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数n的命题，由n＝1命题成立，可推知n＝2命题成立，继而又可推出n＝3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n>＝1的自然数都成立，下面略举几例说明这一方法的应用，供同行参考。

例1（2010年北京高考）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴

的；初始质量为，初速度为，下降距离后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为。此后每经过同样的距离后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为、．．．．．．．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响，

求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度和；

（2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能。

解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒

第1次碰撞前

第1次碰撞后，

（2）第2次碰撞

第2次碰撞后，利用（2）式得

同理，第3次碰撞后，…………

第n次碰撞后速度为

故第ｎ次碰撞后雨滴的动能为

例2（2007年全国高考）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。

解析：由题意知每次碰撞都发生在最低点，且为弹性正碰设小球m的摆线长度为L，向

左为速度的正方向，第一次碰撞前后绝缘小球的速度分别、，金属球的速度为由动量守恒得：

由机械能守恒得：

且，解得，

第二次碰撞前后有，由动量守恒得：

由机械能守恒得：

联立上式解得，

同理可得第三次碰撞前后有，

解得，

由此可知…………

第n次碰撞后，绝缘小球的速度为,金属球的速度

设第一次碰前绝缘球的动能为，其中

第n次碰后绝缘球的动能为，其中，则得，因为，

所以2

例3（2009年北京高考）

（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为的小球从高位处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为

的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球的速度大小；

解析：（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律

①

设碰撞后与的速度分别为和，根据动量守恒定律

②

由于碰撞过程中无机械能损失

③

②、③式联立解得

④

将①代入得④

（2）碰撞过程中的能量传递规律在屋里学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如

图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为、、．．．．．．、．．．．．．的若

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