四川省遂宁市2018届高三一诊考试试题+数学理+Word版含答案

遂宁市高中2018届一诊考试

数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的。

1．已知集合A?{x?3?x?6},B?{x2?x?7}，则AI(CRB)? A. (2,6) B. (2,7)

C. (?3,2] D. (?3,2)

2．已知复数z?a?i(a?R)，若z?z?4，则复数z的共轭复数z? A. 2?i B. 2?i C. ?2?i D. ?2?i 3．“()?()”是“log2a?log2b”的 A. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件

B. 充要条件

13a13b D. 既不充分也不必要条件

2(?6)?0.15，则4．已知随机变量?服从正态分布N(?,?)，若P(??2)?P?P(2???4)等于

A.

0.3 B. 0.35 C. 0.5

22，则3 C.

D.

0.7

5．已知?满足cos??A.

B.

D.

6．执行如图所示的程序，若输入的x?3， 则输出的所有x的值的和为 A．243 B．363 C．729 D．1092

7．要排出某理科班一天中语文、数学、物理、 英语、生物、化学6堂课的课程表，要求

语文课排在上午(前4节)，生物课排在下午 (后2节)，不同排法种数为

A．144 B．192 C．360 D．720

8．若a?0,b?0,且函数f(x)?4x3?ax2?2bx?2在x?2处有极值，则ab的最大值等于

A．121 B．144

C．72

D．80

9．已知数列?an?的前n项和为Sn，若a1为函数f(x)?3sinx?cosx(x?R)的最大值，且满足

A．1 B．

，则数列?an?的前2018项之积A2018?

1 C．?1 D．2 2x2y210．若双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线被圆x2?y2?4x?0所截得

ab的弦长为2，则双曲线C的离心率为

A．2 B.

3 C. 2 D.

23 3uuuruuuruuur2211．已知O为△ABC的外心，A为锐角且sinA?，若A则???的O??AB?A?C，

3最大值为

1231 B． C． D．

234312．定义在R上的函数f(x)满足f(?x)?f(x)，且对任意的不相等的实数x1，x2?[0,??)f(x1)?f(x2)?0成立，若关于x的不等式有

x1?x2A．

f(2mx?lnx?3)?2f(3)?f(?2mx?lnx?3)在x?[1,3]上恒成立，则实数m的取

值范围 A．[1ln61ln6] ,1?] B．[,2?e32e61eln31ln3] D．[,1?] 32e6C．[,2?

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项： 1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

?2x?3y?3?0?13．设x，y满足约束条件?2x?3y?3?0，则目标函数z?2x?y的最小值是 ▲ .

?y?3?0?614．二项式(2x?)的展开式中常数项为 ▲ . （用数字表达）

1x15．已知点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和

是2，则点M的轨迹方程为 ▲ . 16．设函数f?x??32x?2ax(a?0)与g?x??a2lnx?b有公共点，且在公共点处的切线2方程相同，则实数b的最大值为 ▲ .

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

（1）求数列?an?的通项公式； （2）设cn??n已知数列?an?的前n项和为Sn，向量a?(Sn,2)，b?(1,1?2)满足条件a⊥b

n，求数列?cn?的前n项和Tn. an▲ 18．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?4sinxcos?x??????，在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，6?b，c

（1）当x??0,uuurc?2b?4，（2）若对任意的x?R都有f?x??f?A?，点D是边BC的中点，求AD的值.

▲

19．（本小题满分12分）

1993年，国际数学教育委员会（ICMI）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人）

男同学 女同学 总计 几何题 22 8 30 代数题 8 12 20 总计 30 20 50 ????时，求函数f?x?的取值范围； 2??（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？

（2）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；

（3）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E?X?.

附表及公式

P(k2?k) 0.15 0.10 2.706 20.05 3.841 0.025 0.010 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 k 2.072 n?ad?bc?k2?

?a?b??c?d??a?c??b?d?▲ 20．（本小题满分12分）

1x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率e?，左焦点为F，右顶点为A，过点F的

2ab3直线交椭圆于E,H两点，若直线EH垂直于x轴时，有EH?2

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l：x??1上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为▲ 21．（本小题满分12分）

6，求直线AP的方程. 2p?2lnx x（1）若p?2，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线；

x 已知函数f(x)?e?px?（2）若函数F(x)?f(x)?ex在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；

x（3）设函数g(x)?e?2e，若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，x▲ 求实数p的取值范围.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

?3x??1?t??2已知直线l的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴

1?y?3?t?2?为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为??4cos(??（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）若P(x,y)是直线l与圆面??4cos(??▲ 23．（本小题满分10分）

已知函数f(x)?1?x?a?2a?x （1）若（2）若a?

▲

，求实数a的取值范围；

2?). 32?)的公共点，求3x?y的取值范围. 32,x?R , 判断f(x)与1的大小关系并证明. 3遂宁市高中2018届一诊考试

数学（理科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分） 题号 1 2 3 B C 答案 C 二、填空题（4?5=20分） 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 A 10 A 11 D 12 D 13．-1514．-160 15. x2?xy?1?0(x??1)16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分12分）

1 22e【解析】（1）∵a⊥b,∴Sn?2n?1?2, ????2分

当n?2时，an?Sn?Sn?1?2n，

当n?1时，a1?S1?2满足上式，∴an?2n????6分 （2）cn?n2n 12n?1n1Tn?1?2?L?n?1?n两边同乘，

22222112n?1n得Tn?2?3?L?n?n?1，两式相减得： ????8分222221111nn?2Tn??2?Ln?n?1?1?n?1， 222222n?2?Tn?2?n?n?N??． ????12分

218．（本小题满分12分）

【解析】（1）f?x??2sin2x?23sinxcosx????3sin2x?cos2x?1?2sin?2x???1，

6??????2分

???1????5??????时，，2x???,sin2x??????,1?， ???6??2?6?66???2?所以f?x???0,3?；????6分

当x??0,（2）由对任意的x?R都有f?x??f?A?得：

2A??6??2?2k?,k?Z?A??3?k?k?Z.

又QA?(0,?)

?A??uuur所以AD?7.????12分

19．（本小题满分12分）

【解析】（1）由表中数据得K的观测值

23uuur1uuuruuuruuur21uuur2uuuruuuruuur2QAD?AB?AC?AD?AB?2AB?AC?AC?

241212c?b2?2cbcosA?c?b2?cb?7，????10分 44????8分

????????50?(22?12?8?8)250K???5.556?5.024

30?20?30?2092所以根据统计有97.5%和空间能力与性别有关. ????3分

（2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为x,y分钟，则基本事件满足的区域为

，如图所示

?5?x?7??6?y?8

设事件A为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x?y

1?1?1112?，即乙比甲先解答完的概率为?由几何概型，得P?A??8 2?28????7分

（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C8?28种，

其中甲、乙两人没有一个人被抽取到有C6?15种；恰有一人被抽到有

112C2?C6?12；两人都被抽到有C2?1种.

151231?X可能取值为0,1,2，P?X?0???，P?X?2??，P?X?1??

282872822X的分布列为 X 0 1 2 1531 2872815311?1??2??． ????12分 所以E?x??0?287282

20本小题满分12分）

P 132b23?， 【解析】（1）设F(?c,0)(c?0)，因为e?所以有a?2c，又由EH?得

22a24y2322222且a?b?c，得a?1,b?，因此椭圆的方程为：x??1?4分

43（2）设直线AP的方程为x?my?1(m?0)，与直线l的方程x??1联立，可得点

4y2222P(?1,?)，故Q(?1,).将x?my?1与x??1联立，消去x，整理得

mm3(3m2?4)y2?6my?0， ????6分

?6m解得y?0，或y?.

3m2?4由点B异于点A，

?3m2?4?6m2Q(?1,)，可得直线BQ的方程为 ,)可得点B(.由

m3m2?43m2?4?6m2?3m2?42(2?)(x?1)?(?1)(y?)?0，令y?0， 3m?4m3m2?4m2?3m22?3m2,0). ????9分 解得x?，故D(223m?23m?22?3m26m2?所以|AD|?1?.

3m2?23m2?216m2266又因为△APD的面积为，故?， ??223m2?2|m|266，所以m??. 33所以，直线AP的方程为3x?6y?3?0，或3x?6y?3?0.???12分

整理得3m2?26|m|?2?0，解得|m|? 21．（本小题满分12分）

x【解析】已知函数f(x)?e?px?p?2lnx. x2x（1）当p?2时，f(x)?e?2x??2lnx，f(1)?e，

x22f?(x)?ex?2?2?，f?(1)?e?2，

xx则切线为：y?e?(e?2)(x?1)，即(e?2)x?y?2?0. ????3分

pp2px2?2x?px（2）F(x)?f(x)?e?px??2lnx，F?(x)?p?2??

xxxx2由F(x)定义域(0,??)内为增函数，所以F?(x)?0在(0,??)上恒成立，

2x，对任意x?0恒成立， 2x?12x2x2?2?4x22?2x2设h(x)?2 (x?0),h?(x)??2222x?1(x?1)(x?1)易知，h(x)在?0,1?上单调递增，在?1,???上单调递减，

则h(x)max?h(1)?1，所以p?h(1)?1，即p?[1,??). ????7分

p?2e?2lnx，x?[1,e]， （3）设函数?(x)?f(x)?g(x)?px?x则原问题?在[1,e]上至少存在一点x0，

所以px2?2x?p?0即p?使得?(x0)?0??(x)max?0(x?[1,e]).

p?2e2px2?2x?(p?2e)， ????8分 ??(x)?p???22xxx?2x?2e10当p?0时，??(x)??0，则?(x)在x?[1,e]上单调递增，

x2?(x)max??(e)??4?0，舍；

12e20当p?0时，?(x)?p(x?)??2lnx，

xx12e?0，lnx?0，则?(x)?0，舍； ∵x?[1,e]，∴x??0，

xxp(x2?1)?2(e?x)0?0， 3当p?0时，??(x)?x2p则?(x)在x?[1,e]上单调递增，?(x)max??(e)?pe??4?0，

e4e整理得p?2， ????11分

e?14e,??). ????12分 综上，p?(2e?1

请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分10分） 【解析】（1）∵圆C的极坐标方程为??4cos(??2?)， 32?31∴?2?4?cos(??)?4?(sin??cos?)，

322又∵?2?x2?y2，x??cos?，y??sin?， ????5分

∴x2?y2?23y?2x，

∴圆C的普通方程为x2?y2?2x?23y?0；

（2）设z?3x?y，

故圆C的方程x2?y2?2x?23y?0?(x?1)2?(y?3)2?4， ∴圆C的圆心是(?1,3)，半径是2，

?3x??1?t??2代入z?3x?y得z??t， 将??y?3?1t?2?又∵直线l过C(?1,3)，圆C的半径是2，

∴?2?t?2，∴?2??t?2，即3x?y的取值范围是[?2,2].??10分

23．（本小题满分10分） 【解析】（1）因为，所以

① 当a?0时，得② 当③ 当

时，得时，得

. ，解得

，所以

; ; ;

，解得a??2，所以，解得

，所以

综上所述，实数a的取值范围是（2）f(x)?1 ，因为a?. ????5分

2,x?R, 3????10分

所以f(x)?1?x?a?2a?x?(1?x?a)?(2a?x)?1?3a?3a?1?1

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