直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题解析、近年高考题及答案

直线与圆、圆与圆位置关系

【考纲说明】

1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

【知识梳理】

一、直线与圆的位置关系

1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法

（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式

??b2?4ac

??0?直线l与圆C相交?直线l与圆C有两交点

??0?直线l与圆C相切?直线l与圆C有一交点

??0?直线l与圆C相离?直线l与圆C无交点

（2）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：

d?r?直线l与圆C相交?直线l与圆C有两交点

d?r?直线l与圆C相切?直线l与圆C有一交点

d?r?直线l与圆C相离?直线l与圆C无交点

2、直线方程形式

（1）点斜式：直线过点(x0,y0)斜率为k，直线方程：y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴直线； （2）斜截式：直线在y轴上的截距为b和斜率k，直线方程：y?kx?b,它不包括垂直于x轴直线； （3）两点式：直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，直线方程：直线；

（4）截距式：直线在x轴和y轴上的截距为a,b,直线方程：

y?y1x?x1，它不包括垂直于坐标轴的?y2?y1x2?x1xy??1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点ab的直线；

（5）一般式：任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式.

3、圆的切线方程

若圆的方程为x?y?r，点P(x0,y0)在圆上，则过P点且与圆x?y?r相切的切线方程为

222222xox?yoy?r2.

经过圆(x?a)?(y?b)?r上一点P(x0,y0)的切线方程为(4、直线与圆相交

222x?xoy?yo?a)2?(?b)2?r2. 22l2直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r?d?，即l?2r2?d2，求弦长或已知422弦长求其他量的值时，一般用此公式。 二、圆与圆的位置关系

1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。 2、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型： ①相切——求切线 ②相交——求距离

③相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值；

3、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：

①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径；

②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等 ③待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程

3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系； ②公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦.

4、判断圆与圆的位置关系常用方法

（1）几何法：设两圆圆心分别为O1,O2，半径为r1,r2(r1?r2)，则

OOOO12?r1?r2?圆1与圆2相离?有4条公切线 OOOO12?r1?r2?圆1与圆2外切?有3条公切线

OO|r1?r2|?OO12?r1?r2?圆1与圆2相交?有2条公切线 OOOO12?|r1?r2|?圆1与圆2内切?有1条公切线 OOOO12?|r1?r2|?圆1与圆2内含?有0条公切线.

（2）代数法：

?x2?y2?D1x?E1y?F1?0方程组?2 2x?y?Dx?Ey?F?0?222有两组不同的实数解?两圆相交；

有两组相同的实数解?两圆相切； 无实数解?两圆外离或内含。

【经典例题】

【例1】（2012广东文）在平面直角坐标系xOy中,直线3x?4y?5?0与圆x2?y2?4相交于A,B两点,则弦AB的

长等于（ ） A．33 B．23 C．3

2D．1

2【例2】（2012重庆理）对任意的实数k, 直线y?kx?1与圆x?y?2的位置关系一定是 （ ）

A．相离

C．相交但直线不过圆心

22【例3】（2012 福建）直线x?3y?2?0与圆x?y?4相交于A,B两点，则弦AB的长度等于( )

B．相切

D．相交且直线过圆心

A．25 B．23 C．3 D．1

【例4】（2012安徽）若直线x?y?1?0与圆(x?a)?y?2有公共点，则实数a取值范围是( )

A．[?3,?1]] B．[?1,3] C．[?3,1] D．(??,?3][1,??)

【例5】（2012 山东）圆(x?2)?y?4与圆(x?2)2?(y?1)2?9的位置关系为( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

22【例6】（2012 江西）过直线x?y?22?0上点P作圆x?y?1的

2222两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．

2222【例7】（2009四川）若⊙O1:x?y?5与⊙O2:(x?m)?y?20(m?R)相交于A、B两点，且两圆在点A

处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 . 【例8】（2011福建）已知直线l：y?x?m,m?R.

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C：x?4y是否相切？说明理由。

222222【例9】已知圆C1:x?y?2mx?4y?m?5?0，圆C2:x?y?2x?2my?m?3?0，m为何值时，

2（1）圆C1与圆C2相外切；（2）圆C1与圆C2内含.

2222【例10】（2011广东）设圆C与两圆(x?5)?y?4，(x?5)?y?4中的一个内切，另一个外切．

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点M(

3545，)，F(5，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标． 55

【课堂练习】

1、（2012 辽宁）将圆x?y?2x?4y?1?0平分的直线是（ ）

A．x?y?1?0 C．x?y?1?0

B．x?y?3?0 D．x?y?3?0

2222

2．（2012重庆）设A,B为直线y?x与圆x?y?1 的两个交点，则|AB|?（ ）

A．1

B．2 22C．3 D．2

3．（2012 陕西）已知圆C:x?y?4x?0，l是过点P(3,0)的直线，则（ ）

A．l与C相交 B．l与C相切

C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能

4．（2012 湖北）过点P(1,1)的直线l，将圆形区域{(x,y)|x?y≤4}分成两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线l的方程为( )

A．x?y?2?0 B．y?1?0 C．x?y?0 D．x?3y?4?0

5．（2012天津理）设m,n?R，若直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)?(y?1)?1相切，则m?n的取值范围是( )

A．[1?3,1?3] B．(??,1?3]?[1?3,??) C．[2?22,2?22] D．(??,2?22]?[2?22,??)

6.（2009辽宁理）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )

A.(x?1)?(y?1)?2 B. (x?1)?(y?1)?2 C.(x?1)?(y?1)?2 D. (x?1)?(y?1)?2 7.（2009重庆理）直线y?x?1与圆x?y?1的位置关系为（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心

2222222222222222 D．相离

8.（2006陕西理）过原点且倾斜角为60?的直线被圆x?y?4y?0所截得的弦长为（ ）

A.3 B.2 C.6 D.23

9．（2011江西）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）

10.（2012江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2?y2?8x?15?0，若直线y?kx?2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ．

11．（2012 浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y?x?a 到直线l:y?x的距离等于曲线C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2到直线l:y?x的距离，则实数a?______．

12．（2012天津文）设m,n?R, 若直线l:mx?ny?1?0与x轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆x?y?4 相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 ．

13.（2010宁夏）过点A(4,1)的圆C与直线x?y?1?0相切于点B(2,1)．则圆C的方程为 ． 14.（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x?y?4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是___________．

15.（2008广东理）经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线是 ． 16.（2011江苏）A?{(x,y)|2222222m?(x?2)2?y2?m2,x,y?R}, B?{(x,y)|2m?x?y?2m?1,x,y?R}, 2若A?B??, 则实数m的取值范围是______________．

17.（2006广东）以点（2，?1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是 ．

18．（2012 全国大纲）已知抛物线C:y?(x?1)与圆M:(x?1)?(y?)?r(r?0)有一个公共点A，且在点

221222A处两曲线的切线为同一直线l. （Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m,n的交点为D，求D到l的距离．

19.（2012湖南理）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x?5)?y?9外，且对C1上任意一点M，

22M到直线x??2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.

（1）求曲线C1的方程；

（2）设P(x0,y0)(y0??3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.

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