2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(二)
更新时间:2023-08-26 05:26:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(二)
例3
如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MAB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
图1 图2
解析
(1) 因为抛物线与x轴交于A(-4,0)、C(2,0)两点,设y=a(x+4)(x-2).代入点B(0,-4),求得a 1112.所以抛物线的解析式为y (x 4)(x 2) x x 4. 222
(2)如图2,直线AB的解析式为y=-x-4.过点M作x轴的垂线交AB于D,那么
11MD ( m 4) (m2 m 4) m2 2m.所以 22
1S S MDA S MDB MD OA m2 4m (m 2)2 4. 2
因此当m 2时,S取得最大值,最大值为4.
(3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形,那么PQ//OB,PQ=OB=4. 设点Q的坐标为(x, x),点P的坐标为(x,12x x 4). 2
①当点P在点Q上方时,(x x 4) ( x) 4.解得x 2 .
此时点Q的坐标为( 2 (如图3),或( 2 (如图4). ②当点Q在点P上方时,( x) (x x 4) 4.
解得x 4或x 0(与点O重合,舍去).此时点Q的坐标为(-4,4) (如图5). 122122- - 1
图3 图4 图5
考点伸展
在本题情境下,以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗?
如图6,Q(2,-2);如图7,Q(-2,2);如图8,Q(4,-4).
图6 图7 图8
例4
在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
- -
2
图1 图2
解析
(1)如图2,作BH⊥x轴,垂足为H,那么四边形BCOH为矩形,OH=CB=3. 在Rt△ABH中,AH=3,BA=,所以BH=6.因此点B的坐标为(3,6).
(2) 因为OE=2EB,所以xE 22xB 2,yE yB 4,E(2,4). 33
设直线DE的解析式为y=kx+b,代入D(0,5),E(2,4),得 b 5,1 解得k ,2 2k b 4.
b 5.所以直线DE的解析式为y
(3) 由y 1x 5. 21x 5,知直线DE与x轴交于点F(10,0),OF=10,DF= 2
55),点N的坐标为(-5,). 22①如图3,当DO为菱形的对角线时,MN与DO互相垂直平分,点M是DF的中点.此时点M的坐标为(5,
②如图4,当DO、DN为菱形的邻边时,点N与点O关于点E对称,此时点N的坐标为(4,8).
③如图5,当DO、DM为菱形的邻边时,NO=5,延长MN交x轴于P.
由△NPO∽△DOF,得NPPONONPPO ,即.解得NP,DOOFDF510PO N的坐标为( .
图3 图4
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3
考点伸展
如果第(3)题没有限定点N在x轴上方的平面内,那么菱形还有如图6的情形.
图5 图6
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