二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式片段教学设计

（人教A版本必修4 第三章第一节）

教材的地位及作用:

1.本节内容是三角函数中最基础的知识之一。它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。

2.本节在本章中处于承上启下的地位。

3.三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。

本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。

教学目标：

1、知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公

式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。

2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般

到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。

3、德育目标：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和

及时解决问题的态度。

教学重点：二倍角公式推导及其应用.

教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.

教学方法和手段

（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；

（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，

（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼。

多媒体平台

教学流程：

复习引入，创设情境

观察探究、推进新课

引导探究、

深化认识

例题讲解、归纳步骤

课堂练习、巩固提高

课堂小结、构建体系课后作业、深化拓展

1

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

2

?

D C B

A

100米

50米

教学过程 教学 步骤

教学过程

设计意图 一、复习引入

1.（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式 （学生回答，教师板书）

2.创设情境

如图,为了得到塔的高度,某人在距塔的竖直山脚B 100米的A 处测得塔底的仰角为α、塔顶的仰角为2α,并测得山高为50米,求塔高?

将实际问题转化为数学问题,并进行分析

:

温旧知新，让学生明确学习的内容，通过复习公式，使学生熟练掌握公式，深刻理解公式的本质内涵，为顺利的推导二倍角公式垫定基础。

创设问题情境，激发学生学习兴趣，产生求知欲望。

CD BD →tan 2100tan 2BD AB αα

==2

1

10050tan =

=α?

2tan =α

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

二、公式的推导

3、（探索性提问）当两角和的公式中角β

α、具有特殊化关系α

β=时，

公式变为什么形式？

α

α

α

α

α

α

α

α

α

2

2

2

tan

1

tan

2

2

tan

sin

cos

2

cos

cos

sin

2

2

sin

-

=

-

=

=

α

α

α

2

2

2

T

C

S

→

→

→

即为我们今天要学习的二倍角公式

（深化性提问）：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢？

思考：这个二倍角公式要不要注意些什么？

引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的

条件。

公式

α

α2

2

,C

S具有一般性，即角α是任意角；

足：

也具有一般性，但要满

公式

α

2

T

)

(

2

4

2

2

2

tan z

k

k

k∈

+

≠

?

+

≠

?

π

π

α

π

π

α

α要有意义

)

(

2

4

1

tan

tan

12z

k

k

∈

+

≠

?

±

≠

?

≠

-

π

π

α

α

α

)

(

2

tan z

k

k∈

+

≠

?

π

π

α

α要有意义

综上所述二倍角的正切公式成立的条件z

k

k

k

∈

+

≠

+

≠,

2

2

4

π

π

α

π

π

α且

细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？

1、公式左边角是右边角的2倍；

2、左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式；

3、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.

加深对公式结

构特征的了解,

并从中体会数

学中从一般化

特殊的数学思

想。

使学生掌握二

倍角公式的适

用范围，以加深

对公式的认识

和理解，才能更

好,更准确的运

用公式，培养严

谨的数学思维

品质。

记住每个公式

的特点，尤其是

“倍角”意义是

相对的.

三、公式的深化理解探究一：

（1）问：对于能否有其它表示形式？

结合二倍角的余弦公式的变形：

α

α

α

α

α

α

α

α

2

2

2

2

2

2

sin

2

1

sin

)

sin

1(

2

cos

1

cos

2

)

cos

1(

cos

2

cos

-

=

-

-

=

-

=

-

-

=

2

2

cos

1

sin

2

2

cos

1

cos

2

2

α

α

α

α

-

=

+

=}降幂扩角公式

α

α

α

α

2

2

sin

2

2

cos

1

cos

2

2

cos

1

=

-

=

+}升幂缩角公式

这两个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形式的转

化．这些公式是解决三角问题的重要技巧和方法之一，在学习过程中，要注意应

用。

让学生熟悉公

式的各种变形，

增强公式运用

的灵活性。

α2

C

3

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

4

探究二：？之间是否存在某种关系与a a a 2cos ,2sin tan a a a a a a a 2cos 12cos 122cos 122cos 1cos sin tan 222+-=+-==由a a a a a a a a 2cos 12sin cos 2cos sin 2cos sin tan 2+===a a a a a a a a 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2cos sin tan 2-=== 探究三: 探究四: 在二倍角的正切公式中，当 z k k ∈+=,2ππα时，虽然 αtan 不存在，但 α2tan 是存在，能否用二倍角的正切 公式求？该怎样求？ 引导学生：改用诱导公式： 注意： （1）这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去。 （2）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题。 （3）二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况。 （4）公式中 的角 没有限制，但公式 须在 引导学生对特殊情形，另辟蹊径，寻找求解依据，培养学生细致、灵活的探索习惯. 0tan )2tan()2(2tan 2tan ==+=+=πππππαk k α时才成立。，且Z k k k ∈+≠+≠ππαππα224)(2αT )(),(22ααC S a a a a a a a a a 222tan 1tan 2cos sin cos sin 2cos sin 22sin +=+==表示？能否分别用a a a tan 2cos ,2sin a a a a a a a a a 22222222tan 1tan 1cos sin sin cos sin cos 2cos +-=+-=-=

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

四、例题讲解、归纳步骤

（5）二倍角公式不仅限于是的二倍的形式，其它

如是的两倍，是的两倍, 是的两

倍，是的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。

请思考以下问题：

能成立吗？)

30

sin

2

60

sin

(0

0≠

举一个例子：

提示：一般情况下

若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,

此时α=kπ(k∈Z).

若cos2α=2cosα,则

即 cosα=

2

3

1-

(cosα=

2

3

1+

舍去).

若tan2α=2tanα,则

a

a

2

tan

1

tan

2

-

=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k∈Z).

例1、已知sin2α=

13

5

，

2

4

π

α

π

<

<,求sin4α，cos4α，tan4α的

值．

引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公

式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含

义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由

于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.

例2、求下列各式的值:

（1）0

3

22

cos

3

22

sin0

0'

'（2）1

8

cos

22-

π

（3）

6

sin

6

cos4

4

π

π

-（4）

12

cos

24

cos

48

cos

48

sin

8

π

π

π

π

例3、在△ABC中，cosA＝

5

4

，tanB＝2，求tan（2A＋2B）的值.

问：2A+2B与A，B之间能构成怎样的关系?

先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生

思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不

同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角

公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.

提示：思路一：)

2

2

tan(

2

tan

tan

2

tan

tan

cos

B

A

B

B

A

A

A

+

→

?

?

?

→

→

→

思路二：

[])

(2

tan

)

tan(

tan

tan

cos

B

A

B

A

B

A

A

+

→

+

→

?

?

?

→

引申:在题目条件不变的前提下,如何求C

2

tan?

例1是二倍角

公式的应用求

值问题，同时复

习了同角的三

角函数关系及

三角函数的符

号问题，让学生

先熟悉公式，简

单的套用就可

以解决这个问

题．

例2、让学生练

习公式的逆用

和变形用法.

例3以上两种

方法都是对倍

角公式、和角公

式的联合运用,

本质上没有区

别,其目的是为

了鼓励学生用

不同的思路去

思考,以拓展学

生的视野.

2αα

α4α2

2

α

4

α

α3

2

3α

3

α

6

α

α

α

α

α

α

αtan

2

2

tan

,

cos

2

2

cos

,

sin

2

2

sin=

=

=

α

α

α

α

α

αtan

2

2

tan

,

cos

2

2

cos

,

sin

2

2

sin≠

≠

≠

α

αcos

2

1

cos

22=

-

5

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

五、课堂练习、巩固提高1、的值。

求

已知

4

tan

,

4

cos

,

4

sin

,

12

8,

5

4

8

cos

α

α

α

π

α

π

α

<

<

-

=

2、的值。

求

已知α

π

π

α

α

αtan

),

,

2

(

,

sin

2

sin∈

-

=

3、求下列各式的值：

2

150

tan

1

150

tan

2

)1(

-8

cos

2

1

)2(2

π

-

的值。

求

、已知θ

θ

π

θ

θ

θ2

cos

,

2

sin

,

4

3

0,

2

2

cos

sin

4<

<

=

+

通过设置多重

练习，让学生能

更深刻的认识

公式的特点，感

受公式的各种

形式的运用，提

高灵活运用公

式的能力。

进一步突破重

难点，巩固本节

课的知识，同

时，也让学生明

白数学的特点

在于应用，唯有

如此才可将知

识加以巩固。

六、课堂小结、构建体系1.说明二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注意这种基本

数学思想方法，学会怎样去发现数学规律。

2.α

α2

2

,C

S中角α没有限制条件，而

α2

T中，

时才成立。

3.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这

是灵活运用公式的关键。

4.有三种形式，要依据条件，灵活选用公式。另外，逆用此公式时，更要注

意结构形式。

总结这节课的

内容与方法

使学生对本节

课所学的知识

结构有一个完

整的印象，使知

识系统化，条理

化，便于抓住重

点进行课后复

习，同时培养学

生归纳概括的

能力。

Z

k

k

k

∈

+

≠

+

≠，

且π

π

α

π

π

α

2

2

4

6

二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计

板书设计

1、和角公式。

2、二倍角公式

3、注意例1：

（写要点）

例2：

例3：

方法1 详写

方法2写关键步

练习

1-4

课堂小结

作业

七、课后作业、深化拓展必做题:

1、课本P138习题3.1 第15,17题

的值等于（）

则

），且

，

（

高考福建卷）若

、

α

α

α

π

α

tan

,

4

1

2

cos

sin

2

2011

(

22=

+

∈

?

A.

2

2

B.

3

3

C.2

D.3

选做题:

3、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.

巩固知识，发现

和弥补教学中

的不足。分必做

题、选做题，体

现分层教学的

思想。

对学有余力的

学生留出自我

发展的空间，尝

试能力，拓展创

新。

7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/6vni.html