离散数学06 函数

第2章 基础：集合、函数、序列、求和

2.3 函数

2.3.1 引言

定义1:从集合 到集合 B 的函数 f– a∈A, f 在 B 中指派唯一元素 b 给 a 记号：f (a)=b

– 从 A 到 B 的函数的记号 f : A→Bb

B2

2.3.1 引言

b

B

函数的特点– 有且只有一条弧从 A 中每个元素发出 A 中所有元素 a,恰对应 B 中一个元素 b

A 中每个元素 a,在关系 f 中只出现一次

– 反之未必 B 中元素可以没有 A 中元素对应 允许 A 中多个元素与 B 中一个元素对应3

2.3.1 引言

定义 2: 若 f 是一个从 A 到 B 的函数，即 f:A→B– A 是定义域(domain)、B 是伴域(co-domain)

若 f (a) = b,其中 a∈A 且 b∈B– b 是 a 的像(image)、a 是 b 的原像(pre-image) a 自变量、b 函数值

– 值域(range):由 A 中所有元素的像组成的集合4

2.3.1 引言

f: A Bf (a)

原像

b 像值域

B定义域

映射

陪域5

2.3.2 一对一函数和映上函数

定义5. 函数 f 是单射(injection)(一对一)– iff. 对 f 定义域中所有 x、y,若 f (x) = f (y), 则x=yx y定义域A

f(x)=f(y) x≠y,不是单射！陪域B

2.3.2 一对一函数和映上函数

例8. 以下函数是否为单射的？– f:{a, b, c, d} {1, 2, 3, 4, 5} f(a) = 4, f(b) = 5, f(c) = 1, f(d) = 3

2.3.2 一对一函数和映上函数

定义7. 函数 f 是满射(surjective)(映上)– iff. 对每个 b∈B,有 a∈A,使得 f (a)=b

b a c定义域A 陪域B 无A的元素映射 不是满射！

2.3.2 一对一函数和映上函数

例11. 以下函数是否为满射的？– f : {a, b, c, d} {1, 2, 3} f(a) = 3, f(b) = 2, f(c) = 1, f(d) = 3

2.3.2 一对一函数和映上函数

定义8. 当函数 f 既是单射的、又是满射的， 则函数 f 是双射(bijection)或一一对应 (one-one correspondence)的例 14

定义域A

陪域B

2.3.2 一对一函数和映上函数

图2-12. 不同类型的映射关系a) 单射定义域中无元素映射到 2

2.3.2 一对一函数和映上函数

图2-12. 不同类型的映射关系b) 满射

定义域中 2 个元素都映射到 2

2.3.2 一对一函数和映上函数

图2-12. 不同类型的映射关系c) 双射

2.3.2 一对一函数和映上函数

图2-12. 不同类型的映射关系d) 函数，非单射、非满射定义域中 2 个元素都映射到 2

定义域中无元素都映射到 414

2.3.2 一对一函数和映上函数

图2-12. 不同类型的映射关系e) 非函数为元素 a 指派 的对应元素 不只 1 个

2.3.3 反函数和函数组合

设 f 是一个从 A 到 B 的一一对应函数 f 的反函数(inverse function) f-1– 将 B 中元素 b 指派到 A 中唯一满足 f(a) = b 的元素 a,记为 f-1(b) = a

2.3.3 反函数和函数组合

f : A B 的反函数 f-1: B A

2.3.3

反函数和函数组合

为什么只有一一对应的函数才有反函数？– 函数有且只有一条弧从定义域中每个元素发出不是函数！

2.3.3 反函数和函数组合

例 16. 例 17. f: Z Z, f(x)=x+1 例 18. f: Z Z, f(x)=x2反函数：f-1(y)=y-1 无反函数！

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