第五章_自相关

统计方法

第五章自相关

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第一节自相关定义及D-W检验一，自相关的定义 当误差项不再是相互独立的，即 cov(µiµj) ≠0,就产生了自相关(Autocorrelation),也叫序列相关(serial correlation)。 即µt、µt-1 µt-2……是相关的。 µt 、µt-k被称为k阶自相关 µt 、 µt-1被称为1阶自相关 µt 、µt-2被称为2阶自相关 ……以此类推。

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二自相关的检验:Durbin—Watson Test(DW检验) 关于自相关的检验就是检验µt和µt-1之间的相关性， 需要计算它们的相关系数ρ。由于ρ是总体的， 无法得到，因此通过回归初始模型，利用计算 出的ρ 的估计值代替ρ 来进行检验，ût和ût-1 cov(ût,ût-1) ρ hat=_______________ √var(ût) √var(ût-1)

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计算Durbin—Watson 统计量，用d来表示： Σ( ût - ût-1)2 d=________________ Σ ût2 Σ ût 2 –2 Σ(ût ût-1) + Σ ût-1 2 =___________________________ Σ ût24

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对于大样本来说， ût是可以得到的，且ût2 与ût-1 2相差很小，可以认为它们是近似相等的， 因此上式可以化简成 d≈ 2-2 ρ hat 因为 -1≤ ρ ≤1,所以0≤d≤4 ρ =-1时，d=4, 完全负相关 1 d=4, ρ = 1时, d=0 完全正相关 ρ = 0时, d=2 完全不相关 所以，经验地看，d值在2左右时是不相关的，向 0或4靠近则存在正相关或负相关。

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根据计算结果，建立DW检验的决策规则如下： 0<d<dL,存在一阶正相关 4-dL<d<4,存在一阶负相关 du<d<4-du,不存在自相关 dL ≤ d ≤ du, 4-du ≤ d ≤ 4-dL,无法下结论 Durbin –Watson根据d的显著水平规定了上限du 和下限dL(查表可以得到)。 d统计量有一个假设前提： µt= ρ µt-1 + εt 即误差项服从一阶自相关

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DW检验的局限性 只能检验一阶自相关； 当d值落再dL ≤ d ≤ du, 4-du ≤ d ≤ 4dL,无法下结论； 无法检验含有滞后因变量的模型，例如： yt=α +β1 yt-1 +β2xt+µt

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例题 logy= -3.938 +1.451log L+0.384logK (0.237) (0.083) (0.048) R2=0.9946 DW=0.88 ρ hat=0.559 已知 k=2, n=40, α=0.05, 查表 dL=1.39, 0.88<1.39 所以存在正的自相关。 查表时注意说明，有的表中k包括了常数项， 有的附表没有包括，

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修正的d检验 当d值落在无法决定的区域时，无法下结论。 可以使用修正的d检验程序,给定显著水平α 1, H0: ρ=0, H1: ρ>0 如果估计的d<du,则在水平α 上拒绝H0 ;即存在 统计上显著的正相关。 2,H0: ρ=0, H1: ρ<0 如果估计的4-d<du,则在水平α 上拒绝H0 ;即存在 统计上显著的负相关。 3,H0: ρ=0, H1: ρ ≠ 0 如果估计的d<du或4-d<du,则在水平2α 上拒绝H0 ; 即存在统计上显著的自相关。9

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例题， 已知n=50, k=4(没有包括常数项), d=1.43,查表α =5% dL=1.38 , du=1.72, 1.43落在1.38和1.72之 间，无法下

结论，但是根据修订的d检验， 1.43<1.72,所以基本可以拒绝没有一阶自 相关的假设，即存在一阶自相关。

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此外，计算机程序SHAZAM会自动计算 出一种精确d检验(exact d test),它能算出 d值的准确概率。

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第二节自相关的结果 自相关存在的前提下，使用最小二乘法，估计 量是否依旧是最佳线性无偏估计呢？ 我们来推导一下，看发生何种变化。 假设模型yt=βxt +µt, µt= ρ µt-1 +εt, 根据最小二乘法， β hat= Σxtyt/ Σxt2 = Σxt (β xt+ µt)/ Σxt2 = ( β Σxt2+ Σxtµt )/ Σxt2 = β + Σxtµt/ Σxt2 E(βhat)=E(β + Σxtµt/ Σxt2 )= β, 无偏得证12

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先来求E(µtµt-S ) µt= ρ µt-1 +εt,已知误差项满足古典回归的假设 E(µtµt-1 )=E[(ρ µt-1 +εt) µt-1 ] = ρ E(µt-1 )2 +E(εt µt-1 )= ρσ2 E(µtµt-2 )=E[(ρ µt-1 +εt) µt-2 ] = ρ E(µt-1 µt-2 ) +E(εt µt-2)= ρ ρσ 2 =ρ2σ2 以此类推， E(µtµt-s )=E[(ρ µt-1 +εt) µt-s ] = ρ E(µt-1 µt-s) +E(εt µt-s) =ρsσ213

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Var(βhat)=E(Σxtµt/ Σxt2 )2 =1/( Σxt2 ) 2[(Σxt2 ) E(µt2) +2E(µtµt-1 ) Σ xt xt-1 + 2E(µtµt-2 ) Σ xt xt-2 + 2E(µtµt-3 ) Σ xt xt-3 + ……] = σ 2/( Σxt2 ) 2[(Σxt2 ) +2ρ Σ xt xt-1 + 2ρ 2 Σ xt xt-2 + 2ρ 33Σ xt xt-3 + ……]

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=σ 2/Σxt2 [1 +2ρ Σ xt xt-1 / Σxt2 + 2ρ 2 Σ xt xt-2 / Σxt2 + 2ρ 33Σ xt xt-3 / Σxt2 + ……] 如果干扰项之间不相关， ρ=0 估计值的方差和前面的估计是相同的。 现在假设xt=rxt-1+vt 对照前面的推导，可知Σ xt xt-1 / Σxt2 =r, Σ xt xt-1 / Σxt2 =r2, ……..

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= σ 2/Σxt2 [1 +2ρ r +2ρ 2 r2 + 2ρ 3 r3+ ……] = σ 2/Σxt2 (1 +ρ r )/ (1 -ρ r ) 如果不考虑自相关，估计值的方差为 Var(βhatLs) =σ 2/Σxt2 Var(βhat) = σ 2/Σxt2 (1 +ρ r )/ (1 -ρ r ) = Var(βhatLs) (1 +ρ r )/ (1 -ρ r ) Var(βhatLs)= Var(βhat) (1 -ρ r )/ (1 +ρ r )

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如果ρ和 r 是同号，因为它们都在-1和1之间， 所以， (1 -ρ r )/ (1 +ρ r )就会小于1,也就是说 直接使用最小二乘估计的方差小于真实的方差， 即方差被低估，这样会导致t检验显著，误导人 们接受估计模型。 如果ρ和 r 是符号相反，则(1 -ρ r )/ (1 +ρ r )大于 1,估计的方差会小于真实的方差，使检验无 法通过。

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第三节自相关的处理方法一，相关系数ρ已知的情况 yt=α +βxt +µt,(1) µt= ρ µt-1 +εt, εt满足古典回归的假设前提。 上述模型可以写成: yt-1=α +βxt-1 +µt-1,(2) 两边同乘以ρ,变成： ρ yt-1=α ρ + ρ βxt-1 + ρ µt-1,(3)18

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(1)-(3) yt- ρ yt-1 =α(1- ρ) +β(xt - ρ xt-1 ) +µt - ρ µt-1 ,(4) 因为µt- ρ µt-1 = εt,所以新模型中的误差 项是不相关的，满足古典回归的假设。 对其进行回归即可以得到最佳无偏估计 量。 这种方法被称为广义最小二乘法 (GLS, General Least Sq

uares)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cg2i.html