2012年高考数学(理科)试卷山东卷(含答案)最完美最高清word版

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2012年普通高等学校招生全国统一考试

数学理工农医类(山东卷

)

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ

卷两部分．满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：

锥体的体积公式：V＝

1

3

Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 如果事件A，B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(UA)∪B为( ) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 3．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

4．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2， ，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间［1,450］的人做问卷A，编号落入区间［451,750］的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为( )

A．7 B．9 C．10 D．15

x 2y 2，5．设变量x，y满足约束条件

2x y 4，则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )

4x y 1，A．［

32，6］ B．［ 32

，－1］ C．［－1,6］ D．［－6，3

2

］

6．执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为(

)

A．2 B．3 C．4 D．5

7．若θ∈［

π4，π2］

，sin2 sinθ＝( ) A．3435 B．5 C

D．4

8．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋ ＋f(2 012)＝( )

A．335 B．338 C．1 678 D．2 012

9．函数y

cos6x

2x 2 x

的图象大致为(

)

x2y210．已知椭圆C：ab＞b＞0)

的离心率为2 2 1(a2

．双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，

以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )

A．x2y2x2y2

8 2 1 B．12 6 1 C．

x2y2x2y2

16 4 1 D．20 5

1 11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不

能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )

A．232 B．252 C．472 D．484

12．设函数f(x)

1

x

，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )

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A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0 B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0 C．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 D．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________．

14．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为__________．

15．设a＞0

．若曲线y x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝__________．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，

圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时， OP

的坐标为__________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

17．已知向量m＝(sinx,1)，n＝

cosx，A

2

cos2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6．

(1)求A；

(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移

π

112

个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的2倍，纵坐标不变，

得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在［0，5π

24

］上的值域．

18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF．

(1)求证：BD⊥平面AED；

(2)求二面角F－BD－C的余弦值．

19．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3

4

，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为

2

3

，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．

(1)求该射手恰好命中一次的概率；

(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

20．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73． (1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm．

21．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为

34

． (1)求抛物线C的方程；

(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若点M

l：y＝kx＋1

4

与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当

1

2

≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．

22．已知函数f(x)

lnx k

e

x

(k为常数，e＝2.718 28 是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝(x2＋x)f′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e－

2．

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1．A 由已知得z 11 7i(11 7i)(2 i)22 7i2 14i 11i15 25i

2 i (2 i)(2 i) 5 5

3 5i．

2．C 由题知UA＝{0,4}，所以(UA)∪B＝{0,2,4}，故选C项．

3． A 由函数f(x)＝ax在R上是减函数可得0＜a＜1，由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得a＜2，因为0＜a＜1a＜2，a＜20＜a＜1，所以题干中前者为后者的充分不必要条件，故选A项．

4． C 由题意可得，抽样间隔为30，区间［451,750］恰好为10个完整的组，所以做问卷B的有10人，故选C项．

5． A 作出可行区域如图所示．目标函数z＝3x－y可变为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取得最小值为

3

2

，在B点处z取得最大值6，故选A项． 6． B 由程序框图知，当n＝0时，P＝1，Q＝3；当n＝1时，P＝

5，Q＝7；当n＝2时，P＝21，Q＝15，此时n增加1变为3，满足P＞Q，循环结束，输出n＝3，故选B项．

7． D 由θ∈［πππ142］，得2θ∈［2，π］．又sin2 ，故cos2 8．故sin 4

．

8． B 由f(x＋6)＝f(x)得f(x)的周期为6，所以f(1)＋f(2)＋ ＋f(2 012)＝335［f(1)＋f(2)＋ ＋f(6)］＋f(1)

＋f(2)，而f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，f(1)＋f(2)＋f(3)＋ ＋f(6)＝1，

所以f(1)＋f(2)＋ ＋f(2 012)＝338，故选B项．

9．D 令f(x)

cos6x

2x 2 x，则f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而

f( x) cos 6x 2 x 2x

f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A项．又因为当x∈(0，16

)时，cos6x＞0,2x－2－

x＞0，即f(x)＞0，故排除B项，而f(x)

＝0有无数个根，所以排除C项，D项正确．

10． D 双曲线x2－y2＝1的渐近线为y＝±x，与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形面积为16，可得四边形为正方形，其边长为4，双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2,2)，所以有4a2

4

b

2 1，又因为e

c ，a2a2

＝b2＋c2，联立解方程组得a2＝20，b2＝5，故选D项． 11． C 完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有C3111

4C4C4C4 256种；第二类3张卡片

有两张同色且不是红色卡片共有C2

1

2

1

3C3C4C4 216种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C项．

12． B 由题意知函数f(x) 1

x

，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)的图象有且仅有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，

y，等价于方程

1

2)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)有两个不同的根x1，x2，即方程ax3＋bx2x

－1＝0有两个不同的实根x1，x2，因而可设ax3＋bx2－1＝a(x－x1)2(x－x2)，

即ax3＋bx2－1＝a(x3－2x1x2＋x12x－x2x2＋2x1x2x－x2x12)，

∴b＝a(－2x1－x2)，x12＋2x1x2＝0，－ax2x12＝－1，x1＋2x2＝0，ax2＞0， 当a＞0时，x2＞0，∴x1＋x2＝－x2＜0，x1＜0，

∴y1＋y1x2＝

11 xx x 2

0． 12x1x2

当a＜0时，x2＜0，∴x1＋x2＝－x2＞0，x1＞0， ∴y11x1＋y2＝

1x x2

0． 1x2x1x213．答案：2

解析：不等式|kx－4|≤2可化为－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，而不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2． 14．答案：

16

解析：三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1

1B1C1D1中△EDD1的面积为定值

2

，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以V1F DD1E

312 11

6

． 15．答案：4

9

解析：由题意可得曲线y

x＝a，

y＝0所围成封闭图形的面积S x 233x2

a230

0 3

a2 a2，

解得a

49

． 16．(2－sin2,1－cos2)

解析：因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2．如图所

示，过P点作x轴的垂线，垂足为A，圆心为C，与x轴相切于点B，过C作PA的垂线，垂足为D，则 P

CD 2－π

2

，

|PD|=sin(2－ππ

2)=－cos2，|CD|=cos(2－2

)=sin2，所以P点坐标为(2－sin2,1－cos2)，即

OP的坐标为(2－sin2,1－

cos2)．

17．解：(1)f(x)＝m·nsinxcosx＋A

2

cos2x ＝A(

2

sin2x＋12cos2x)

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＝Asin(2x＋π

6

)．

因为A＞0，由题意知A＝6．

(2)由(1)知f(x)＝6sin(2x＋

π

6

)． 将函数y＝f(x)的图象向左平移π

12

个单位后得到

y＝6sin［2(x＋π

12

)＋ππ6］＝6sin(2x＋3)的图象；

再将图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋π

3

)的图象．

因此g(x)＝6sin(4x＋π

3)．

因为x∈［0，5π24］，所以4x＋π3∈［π7π

3，6］．

故g(x)在［0，5π

24

］上的值域为［－3,6］．

18．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°， 所以∠ADC＝∠BCD＝120°． 又CB＝CD，所以∠CDB＝30°． 因此∠ADB＝90°，AD⊥BD．

又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD 平面AED， 所以BD⊥平面AED． (2)方法一：由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC．

又FC⊥平面ABCD，

因此CA，CB，CF两两垂直，

以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB=1，

则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D

(12

， 2,0)，F(0,0,1)，

因此 BD

=( 2

， 2

，BF=(0，－1,1)．

设平面BDF的一个法向量为m=(x，y，z)则m·

BD =0，m· BF ，

=0，

所以x ，

取z=1，则m

．

由于 CF

=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，

则cosm, CF m CF

mCF

， 所以二面角F－BD－C

方法二：取BD的中点G，连接CG，FG， 由于CB=CD，因此CG⊥BD．

又FC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以FC⊥BD．

由于FC∩CG=C，FC，CG平面FCG， 所以BD⊥平面FCG．故BD⊥FG． 所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角． 在等腰三角形BCD中，由于∠BCD=120°， 因此CG

1

2

CB． 又CB=CF，

所以GF ，

故cos FGC

， 因此二面角F－BD－C

19．解：(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D，

由题意知P(B)＝

34，P(C)＝P(D)＝23

， 由于A BCD BCD BCD，

根据事件的独立性和互斥性得

P(A) P(BCD BCD BCD)

＝P(BCD) P(BCD) P(BCD)

＝P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D) P(B)P(C)P(D)

＝

34 (1 23) (1 23) (1 34) 223223 (1 3) (1 4) (1 3) 3 ＝736

． (2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5， 根据事件的独立性和互斥性得

P(X 0) P(BCD)

＝［1－P(B)］［1－P(C)］［1－P(D)］

该射手第一次射“

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＝(1

34) (1 2213) (1 3) 36

， P(X 1) P(BCD) P(B)P(C)P(D) ＝34 (1 23) (1 23) ＝112

， P(X 2)=P(BCD BCD) P(BCD) P(BCD)

＝(1 34) 223223 (1 3) (1 4) (1 3) 3

＝19

， P(X 3) P(BCD BCD) P(BCD) P(BCD) ＝322324 3 (1 3) 4 (1 3) 23 13， P(X 4) P(BCD)

＝(1 34) 23 213 9

，

P(X＝5)＝P(BCD)＝324 3 23 1

3

．

故X的分布列为

所以EX＝0×136＋1×1

12

＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12．

20．解：(1)因为{an}是一个等差数列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28． 设数列{an}的公差为d，

则5d＝a9－a4＝73－28＝45， 故d＝9．

由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1．

所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)对m∈N*，若9m＜an＜92m， 则9m＋8＜9n＜92m＋8．

因此9m－1＋1≤n≤92m－

1．

故得b－1－9m－

m＝92m1．

于是Sm＝b1＋b2＋b3＋ ＋bm

＝(9＋93＋ ＋92m－1)－(1＋9＋ ＋9m－

1)

＝9 (1 81m)1 1 81 9m

1 9

＝92m 1 10 9m 180

．

21．解：(1)依题意知F(0，p2)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y p

4

上， 因为抛物线C的准线方程为y p

2

，

所以

3p4 3

4

，即p＝1， 因此抛物线C的方程为x2＝2y．

xx2(2)假设存在点M(0，0x2

2)(x0＞0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x0＝(2

)′|x＝x0＝x0．

所以直线MQ的方程为y－x2

02

＝x0(x－x0)，

令y 14，得xx1Q 02 4x，

所以Q

(x02 1

4x，

1)．又|QM|＝|OQ|，

04

故(1

4x x0)2 (14 x202)2 (14

x x0)2 1

，

020216

因此(

1x204

)2 9

16

，又x0＞0， 所以x0 M1)．

故存在点M1)，使得直线MQ与抛物线C相切于点M．

(3)当x10 (2)得Q(

8，4)．Q的半径为r ， 所以Q的方程为(x2127

(y 4)2

32

． y12由 x， 2整理得2x2－4kx－1

＝0． y kx 14

，设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由于 1＝16k2＋8＞0，x1＋x2＝2k，x

1

1x2

2

， 所以|AB|2＝(1＋k2)［(x1＋x2)2－4x1x2］＝(1＋k2)(4k2＋2)．

(x 2 (1227由

8y 4) 32, y kx 14

,整理得(1＋k2)x2－4x 1

16

＝0． 设D，E两点的坐标分别为(x3，y3)，(x4，y4)．

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由于 k22 4 278

0，x3 x4 4(1 k2)， xx1

34

16(1 k2)

， 所以|DE|2＝(1＋k2)［(x＋x251

34)2－4x3x4］＝8(1 k2

) 4． 因此|AB|2＋|DE|2＝(1＋k2)(4k2＋2)＋251

8(1 k2)

4

． 令1＋k2＝t，由于12≤k≤2，则5

4

≤t≤5．

所以|AB|2＋|DE|2＝t(4t－2)＋

258t 14＝4t2－2t＋258t 14

， 设g(t)＝4t2－2t＋258t 14，t∈［5

4，5］， 因为g′(t)＝8t－2－25

8t2，

所以当t∈［5

4，5］时，

g′(t)≥g′(5

4

)＝6，

即函数g(t)在t∈［5

4

，5］是增函数，

所以当t 513

4时g(t)取到最小值2，

因此当k 113

2时，|AB|2＋|DE|2取到最小值2

．

22．解：(1)由f(x) lnx k

ex

，

得f'(x) 1 kx xlnx

xe

x

，x∈(0，＋∞)， 由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行， 所以f′(1)＝0，因此k＝1． (2)由(1)得f′(x)＝

1

xex

(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)， 令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0． 又ex＞0，

所以x∈(0,1)时，f′(x)＞0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0．

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(3)(理)因为g(x)＝(x2＋x)f′(x)， 所以g(x)＝

x 1

ex

(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)． 因此对任意x＞0，g(x)＜1＋e－2

等价于1－x－xlnx＜exx 1

·(1＋e－

2)．

由(2)知h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－

2)，x∈(0，＋∞)，

因此当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(e－

2，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减．

所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－

2，

故1－x－xlnx≤1＋e－

2． 设φ(x)＝ex－(x＋1)．

因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，

所以x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增， φ(x)＞φ(0)＝0，

故x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)＞0，

即

ex

x 1

1． 所以1－x－xlnx≤1＋e－2

＜exx 1

(1＋e－

2)．

因此对任意x＞0，g(x)＜1＋e－

2． (文)证明：因为g(x)＝xf′(x)，

所以g(x)＝

1

e

x(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)． 由(2)知h(x)＝1－x－xlnx，

求导得h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne－

2)，

所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－

2，＋∞)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－

2．

又当x∈(0，＋∞)时，0＜1

ex＜1， 所以当x∈(0，＋∞)时，1＜1＋e－

2e

xh(x)，

即g(x)＜1＋e－

2． 综上所述结论成立．

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