对数与对数运算、对数函数教案（含答案）

对数与对数运算

一、

复习

1．对数的定义 logaN?b 其中 a?(0,1)?(1,??)与 N?(0,??) 2．指数式与对数式的互化 ab?N?logaN?b (a?0且a?1)

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵loga1?0，logaa?1 ⑶对数恒等式alogaN?N am?an?am?n(m,n?R)4．指数运算法则 (a)?amnmn(m,n?R) (ab)n?an?bn(n?R)二、新授内容

1．积、商、幂的对数运算法则：

如果 a ＞ 0，a ? 1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：

loga(MN)?logaM?logaN(1)Mloga?logaM?logaN(2)

NlogaMn?nlog(3)aM(n?R)证明⑴：设logaM=p, logaN=q． 由对数的定义可以得：M=a，N=a． ∴MN= aa=aN．

证明⑵：设logaM=p，logaN=q． 由对数的定义可以得M=a，N=a ．

p

qp

qp?qp

q ∴logaMN=logaap?q ∴logaMN=p+q， 即证得logaMN=logaM + logaMMMMap?p?q ∴loga?p?q 即证得loga?logaM?logaN． ∴?q?ap?q ∴logaNNNNa证明⑶：设logaM=P 由对数定义可以得M=a,

np∴M＝a ∴logaM=np， 即证得logaM=nlogaM．

nnnp

说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式． ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式：如log105?log102?log1010?1． ③真数的取值范围必须是(0,??)：

log2(?3)(?5)?log2(?3)?log2(?5) 是否成立？ 不成立

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log10(?10)2?2log10(?10)是否成立？ 不成立 ④对公式容易错误记忆，要特别注意：

loga(MN)?logaM?logaN，loga(M?N)?logaM?logaN．

2．范例：

例1． 用logax，logay，logaz表示下列各式： （1）loga?xyz?=

x2y(2)loga?z

(3)logax3y3z?（4）logaxy3z=

例2． 计算 （1）log525

（1）解：log525= log55=2 （按照范例，求解（2）、（3）（4）题） （2）log0.51= （3）log2(4?2)= （4）lg5100= 例3．计算：

(1)(lg5)?lg2?lg50;

(1)解： (lg5)?lg2?lg50＝(lg5)?lg2?(lg5?1)＝(lg5)?lg2?lg5?lg2 ＝lg5(lg5?lg2)?lg2＝lg5?lg2＝1； （按照范例，求解（2）、（3）题） (2)lg20?log10025; (3) lg14?2lg

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22227527?lg7?lg18. 3例4．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为 M＝lgA－lgA0.

其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差).

(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；

(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1).

解：（1）M＝lg20－lg0.001= lg

204

=lg20000= lg2+ lg10≈4.3 0.001 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震. （2）由M＝lgA－lgA0可得 M＝lg

AA <=> =10M <=> A= A0 · 10M A0A0 当M=7.6时，地震的最大振幅为A1= A0·107.6 ；当M=5时，地震的最大振幅为 5

A2= A0 · 10，所以，两次地震的最大振幅之比是

A1A0?107.67.6-52.61010 = ==≈ 398 5A2A0?10 答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。 三、思考题：你能根据对数的定义推导出换底公式logab?logcb(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1;b>0)吗? logca运用换底公式化简下列各式：

(1)logac·logca

(2)log23·log34·log45·log52

(3)(log43+log83)(log32+log92)

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对数与对数运算练习题

一．选择题

1－

1．23＝化为对数式为( )

8A．log12＝－3

8

B．log1(－3)＝2

8

1

C．log2＝－3

82．log63＋log62等于( )

1

D．log2(－3)＝ 8

A．6 B．5 C．1 D．log65 3．如果lgx＝lga＋2lgb－3lgc，则x等于( ) A．a＋2b－3c ab2

C.3 c

B．a＋b2－c3 2abD. 3c

4．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为( ) A．a－2

B．5a－2 D．3a－a2－1

C．3a－(1＋a)2 5．

A．2＋5 C．2＋

5 2

的值等于( )

B．25 D．1＋

5 2

6．Log22的值为( ) A．－2 1C．－

2

B.2 1D. 2

7．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( ) A．a＞5或a<2 C．2

1

8．方程2log3x＝的解是( )

41

A．x＝

9C．x＝3

B．x＝x 3

B．2＜a＜3或3＜a＜5 D．3＜a＜4

D．x＝9

9．若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为( ) A．9 C．7

10．若102x＝25，则x等于( )

11A．lg B．lg5 C．2lg5 D．2lg

55

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B．8 D．6

11．计算log89·log932的结果为( )

513A．4 B. C. D. 34512．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4(a，b，c，x＞0且≠1)，则logx(abc)＝( ) 4277

A. B. C. D. 7724二．填空题

1． 2log510＋log50.25＝____.

2．方程log3(2x－1)＝1的解为x＝_______. 3．若lg(lnx)＝0，则x＝_ ______. 4．方程9x－6·3x－7＝0的解是_______

5．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.

6．已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝_______.(用m，n表示) 7．log6[log4(log381)]＝_______.

8．使对数式log(x－1)(3－x)有意义的x的取值范围是_______ 三.计算题 1．计算：

lg3＋2lg2－1(1)2log210＋log20.04 (2)

lg1.2

11

(3)log6－2log63＋log627 (4)log2(3＋2)＋log2(2－3)；

123

2．已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值．

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