4.天线的阻抗

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第二章 天线的阻抗

本章的主要目的是要求天线的输入阻抗，它是天线的重要参数之一。因为知道天线的输入阻抗之后，就可以选择合适的馈电传输线与之匹配。

要严格计算天线的输入阻抗是困难的。工程上常采用一些近似方法。主要有三种方法，即坡印亭矢量法、等值传输线法和感应电势法。坡印亭矢量法是先求

2得天线的辐射功率Pr，然后由Pr=ImRr/2求得其辐射电阻Rr。这个方法前面已

经作了介绍。这里主要讨论等值传输线法和感应电势法。

2.1等值传输线法

坡印亭矢量法是由远区辐射场求得表示功率密度的坡印亭矢量，然后在以天线中点为圆心，以远区距离为半径的一个球面上积分求得辐射功率，最后求得辐射电阻。该方法的缺点是：

(1) 只能计算天线的输入电阻，不能计算输入电抗。

(2) 由于假定天线上电流为正弦分布，使得天线输入端为波节点时(如全波振子)，不能求出输入电阻。

这里介绍一种可以计算天线输入阻抗(包括虚、实部)的等值传输线法。该方法所得公式简便，便于工程应用。

对称振子是由一段开路的双线传输线张开而成，把它等效为传输线是很自然的，于是可用传输线理论来计算它的输入阻抗。设有一段长为l，特性阻抗为Zc的有耗开路传输线如图2-1(a)所示，由传输线理论可得其输入阻抗为

Zin=Zccoth(γl)=Zccoth[(α+jβ)l] (2.1)

式中，特性阻抗

Zc= (2.2) 传播常数

γ=α+jβ= (2.3a) β和α分别为相位常数和衰减常数，R1、G1、L1和C1为传输线的分布参数，分别代表单位长度上的电阻、电导、电感和电容。忽略并联电导G1，且假设传输线损耗小R1/ωL1<<1，可得

γ=j jR1=α+jβ (2.3b) 2ωL1

Rα== 2Z0 (2.4)

β=Zc=Z0(1 jR1α)=Z0(1 j) (2.5) 2ωL1β

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(a) 开路传输线 (b) 对称振子

图2-1 开路传输线与对称振子

传输线无耗时的特性阻抗

Z0= (2.6)

若已知双线传输线的特性阻抗Zc、分布电阻R1和分布电容C1，由式(2.1)就可确定一段长为l的有耗开路传输线的输入阻抗。显然这还不能用于对称振子天线，因为双线传输线与对称天线存在如下显著的差别

(1) 传输线是非辐射系统，线上损耗为导体的欧姆损耗。而对称振子天线是辐射

系统，电流从输入端到末端，其间的每一点都将产生能量辐射，可用单位长度上的能量损耗来表示传输线的分布电阻R1。

(2) 均匀双线传输线的两线距离恒定，其分布参数是均匀的。而对称振子天线的

两臂上对称点之间的距离是变化的，见图2-1(b)，其分布参数是非均匀的。 但是，对称振子天线的输入阻抗仍然可用式(2.1)表示，但必须修改参数Zc、α和β。

1、修改特性阻抗Zc

在D ρ的情况下，无耗双线传输线的特性阻抗为

Z0=120ln(D/ρ) (2.7)

式中D为两线间距，ρ为导线截面直径，见图2-1(a)。而对称振子两臂上的两个对称点之间的距离为D=2z，其特性阻抗在0≤z≤l内是变化的。可用如下方法求对称振子的平均特性阻抗

1l2z2l′=∫120ln()dz=120[ln() 1] (2.8) Z0l0ρρ

′与l/ρ的关系曲线，由此式可计算平均特性阻抗Z0见书上P32图2-7。由图可见，

′就小，由于是对数关系，Z0′对称振子的臂长l愈小或导线截面直径ρ愈大，则Z0

随l/ρ的变化较缓慢。

′=Z0′(1 j′替代得 Zc把式(2.5)中的Z0用Z0α) (2.9) β

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2、修改衰减常数α

在不计G1的情况下，传输线的衰减常数α是由传输线上单位长度的导体热损耗电阻R1产生的。对于对称振子天线来说，不计导体热损耗，R1由单位长度

′。 的辐射电阻R1′取代，并假设R1′沿天线是均匀的。这际上就是确定α′=R1′/2Z0

设距离天线中心点z处的电流为I(z)，该处线元dz的辐射功率为

1 dPr=I2(z)R1′dz (2.10) 2

辐射总功率为

1l2 Pr=∫I(z)R1′dz (2.11) 20

另一方面，对称振子的辐射功率可用其辐射电阻Rr表示

12Pr=ImRr 2

2故 ImRr=∫I2(z)R1′dz (2.12) 0l

设R1′沿线不变，即等效辐射损耗均匀地分布于振子臂上，并代入I(z)=Imsinβ(l |z|)后积分，得

R1′=2Rr (2.13) l[1 ]2βl

R1′Rr= (2.14) ′2Z0Z′l[1 ]02βl因此 α′=

3、修改相位常数β

由于天线上每一点都产生辐射，即电流波在天线上一边传输一边辐射，使得电流有衰减，电流传播的相速减小，波长缩短，相位常数大于自由空间相位常数。另外，对称振子有一定直径，其馈电端和末端分布电容增大，末端电流实际不为零，振子愈粗，末端效应愈显著，这也将影响相位常数。

书上P33图2-8给出了天线上电流传播的相位常数β′与自由空间相位常数β的比值ξ=β′/β随l/λ的曲线，参变量为l/d，d为导线直径。由于影响相位常数改变的因素不止一个，要确定β′是较困难的。在大多数情况下β′与β接近，所以工程上一般取β′＝β。

4、对称振子的输入阻抗Zin

由式(2.1)、(2.9)、(2.14)可得对称振子的输入阻抗

′(1 jZin=Z0α′)coth[(jβ+α′)l] (2.15) β

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76《天线原理与设计》讲稿 王建 =′α′α′Z0{[sinh(2α′l) sin(2βl)] j[sinh(2α′l)+sin(2βl)]} ββcosh(2α′l) cos(2βl)

式中采用的是自由空间相位常数β。可以证明，当α′l 1时上式可简化为 Zin=′RrZ0sin(2βl) j (2.16) 2222′)+sinβl′)+sinβl(Rr/Z02(Rr/Z0

′)2 sin2βl时，上式又可简化为 当(Rr/Z0

Zin=Rr′cot(βl) (2.17) jZ0sin2βl

该式一般可应用于l≤0.4λ的情况。

由式(2.16)计算的对称振子输入电阻和电抗随l/λ变化的曲线如图2-2所示，

′。

图中参变量为振子的平均特性阻抗Z0

图2-2 不同特性阻抗下对称振子输入阻抗随l/λ的变化曲线

由此图可总结出对称振子天线输入阻抗的如下特点：

′愈小，输入阻抗Zin=Rin+jXin随l/λ的变化(1) 对称振子的平均特性阻抗Z0

就愈小，阻抗曲线就愈平缓，其频率特性就愈好。实际中常采用加大振子直径的办法来降低特性阻抗，以展宽工作频带。短波波段使用的笼形对称振子(P67)就是基于这个原理。

(2) 当l<λ/4时，输入阻抗呈容性，并有不大的输入电阻；当l λ/4时(半波振子)，输入电抗为零，对称振子就如一个串联谐振电路。此时Zin=Rin=Rr=73.1 ；当λ/4<l<λ/2时，输入阻抗呈感性；当l λ/2时(全波振子)，振子相当于一个并联谐振电路，输入电抗为零，输入电阻为最大值，此时由式(2.16)有

′2Z0 (2.18) Zin=Rin=Rr

半波和全波振子的输入阻抗都是纯电阻，易于和馈线匹配。但是与全波振子相比，在半波振子长度附近其阻抗曲线要平缓的多，工作频带要宽的多。因此，

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在工程中大多采用半波振子。

(3) 对称振子谐振长度的缩短现象

对称振子的谐振长度是其输入阻抗的虚部为零时的长度。由前面图2-2可见，Xin=0对应的电长度l/λ略小于0.25和略小于0.5。这一现象称之为缩短效应。振子天线愈粗，缩短愈多。所以，实际使用的半波振子全长是小于半个波长的。产生缩短的原因大致有两点：

① 以上计算是取β′=β，但由于电流波沿振子边传输边辐射有衰减，使得相位

常数变大β′>β，波长缩短λ′<λ。

② 振子天线的“末端效应”。振子导体有一定直径，使振子馈电端和两个末端的

分布电容增大，馈电端的效应使得附加电容与天线输入阻抗一起并联在馈电传输线上，引起误差；两个末端的效应使得末端电流不为零，这将使振子的等效长度增大，造成谐振长度缩短，如图2-3所示。显然，振子愈粗，缩短效应愈明显。

图2-3对称振子的末端效应

因此，设计半波振子天线时要考虑缩短效应。

2.2感应电动势法求天线辐射阻抗

坡印亭矢量法是在以天线中心为球心，远区距离r为半径的一个球面上对坡印亭矢量(功率密度)积分求出辐射功率，然后求得天线的辐射电阻。坡印亭矢量法只涉及远场的实功率，不涉及近场的储能虚功率，因此它只能求电阻，不能求电抗。实际上，天线的辐射功率包括实功率和虚功率两部分，实功率是向空间辐射的有功功率，为坡印亭矢量法计算的部分，可由远场来计算；虚功率是存储于天线附近的无功功率，必须由近场来计算，这恰恰是计算天线输入电抗的部分。

2.2.1 单根圆柱对称振子的辐射阻抗

1. 圆柱对称振子的近区场

圆柱对称振子如图2-4所示，并建立坐标系。对问题的分析采用圆柱坐标，设近区场点P的坐标为(ρ, ,z)，它与天线轴线上的中心点和上下端点的距离分别为

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r=

R1=

R2= (2.19)

式中，l为振子臂长。在求解这个问题之前我们作如下两点假设：

① 振子上电流为正弦分布，由于振子截面半径a很小a/l 1，电流在圆柱表面

是均匀的，因此可看作电流集中在振子轴线上，其表示为：

I(z)=Imsin[β(l |z|)]

② 馈电间隙δ很小，δ/l 1，其影响可忽略。

图2-4圆柱对称振子的近场计算图示

由振子上的电流分布可求得矢量磁位为

µ0lR

A=z∫e jβ

4π lI(z′)Rdz′

µβR

0 0e jle jβR

=z

4πIm ∫ lsin[β(l+z′)]Rdz′+∫0sin[β(l z′)]Rdz′

ejβ(l±z′)

sin[β(l±z′)]= e jβ(l±z′)

利用欧拉公式 2j

和磁场与矢量磁位的关系 H=1

µ ×A= 1

0µ[ Az0 ρ]，并考虑到

e jβ(R±z′) ρe jβ(R±z′)

ρ[R]= z′R[R±(z′ z)]

可得 H =jIm[e jβR1+e jβR2

4πρ 2cos(βl)e jβr]

再由麦氏方程 ×H=jωε0E，可得 (2.20) (2.21) (2.22) (2.23)

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η0Ime jβRe jβRe jβr

Eρ=j[(z l)+(z+l) 2zcos(βl)] (2.24) R1R2r4πρ12

η0Ime jβR1e jβR2e jβr

和 Ez= j[+ 2cos(βl)] (2.25) R1R2r4π

圆柱对称振子的近区电磁场只有三个分量H 、Eρ和Ez，而且它们的表示式(2.23)、(2.24)和(2.25)并不复杂。这三个场分量的最后一项在振子臂长恰好为λ/2的奇数倍时为零。

圆柱对称振子的近场是假设电流沿振子轴上流动时得到的，即假设振子为无限细。但是，对于圆柱截面半径a很小时(a/l 1)，这三个近场表示是很好的近似公式。当ρ=a时，这三个近场分量就是振子圆柱表面的场。

2. 感应电动势法求圆柱对称振子的辐射阻抗

假如我们把坡印亭矢量法中的大球面缩小，直到缩小到天线的圆柱表面，通过这一封闭柱面的总功率表示为

1*E×Hids (2.26) Pr= 2∫∫s

，n 为圆柱表面的外法线单位矢量，ds为积分面式中，s为圆柱表面，ds=nds

元。从形式上看，式(2.26)与坡印亭矢量法求辐射功率的表示相同，但其中的电磁场已经不同。坡印亭矢量法中所用的电磁场是远区场，这里的积分面在天线表面，式中的电磁场必须是近场。

Eρ+zE H ，则 z 和 H= 式(2.26)中的电磁场矢量分别为 E=ρ

** EzH ρH E×H*=zE ρ (2.27)

式中，近区电磁场分量H 、Eρ和Ez由式(2.23)、(2.24)和(2.25)表示。当振子半径很小时，封闭柱面的上下底面的积分可忽略不计，只考虑圆柱侧面的积分。此

ds=ρ ad dz，并把式(2.27)代入(2.26)，并注意到近场各分量与坐标 无时ds=ρ

关，得

l12π1l**(a,z)2πadz (2.28) Pr= ∫d ∫Ez(a,z)H (a,z)adz= ∫Ez(a,z)H l202 l

由安培环路定律2πaH (a,z)=I(z)，则得

1lPr= ∫Ez(a,z)I*(z)dz (2.29) 2 l

式中，[ Ez(a,z)dz]表示振子dz小段上驱动电流I(z)流动的感应电动势，故此法称之为“感应电动势法”。由

11*Pr=|Im|2Zr=ImImZr (2.30) 22

可得归算为波腹电流的辐射阻抗Zr为

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Zr= 1

*ImIm∫l lEz(a,z)I*(z)dz (2.31)

把式(2.25)表示的Ez(a,z)及电流分布I(z)=Imsin[β(l |z|)]代入式(2.31)得

ηZr=j0

4πe jβR1e jβR2e jβr∫ lsinβ(l |z|)[R1+R1 2cos(βl)r]dz l

=Rr+jXr (2.32)

式中，r=

R1=

R2=，a为振子截面半径，β=2π/λ，η0=120π。经一系列运算后，上式的实部电阻Rr和虚部电抗Xr可用正、余弦积分表示如下

Rr=30{2[C+ln(2βl) Ci(2βl)]+cos(2βl)[C+ln(βl)+Ci(4βl) 2Ci(2βl)] +sin(2βl)[Si(4βl) 2Si(2βl)]} (2.33)

Xr=30{2Si(2βl)+cos(2βl)[2Si(2βl) Si(4βl)]

sin(2βl)[2Ci(2βl) Ci(4βl) Ci(2βa2/l)]} (2.34) 式(2.33)表示的辐射电阻Rr与坡印亭矢量法所得结果完全相同，因为在无耗空间中，通过包围辐射源的任意封闭面的实功率是一样的。

由式(2.33)和(2.34)可计算并并绘出辐射电阻和电抗随l/λ变化的曲线如图2-5所示，参变量为a/ρ=

10 2,10 3,10 4,10 5。

图2-5对称振子的辐射自阻抗

当电流采用近似的正弦分布时，所得辐射电阻与振子的截面半径无关，但辐射电抗的值却随振子截面半径的增大而减小。因此宽频带天线往往采用粗振子，粗振子天线有较小的电抗。

对常用的半波振子，其辐射阻抗为

Zr|l=λ/4=73.1+j42.5( ) (2.35)

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在式(2.30)中，如果波腹电流Im换成输入电流Iin=Imsinβl，则得“归算于输入电流的辐射阻抗”，即输入阻抗

2 Zr Rin=Rr/sin(βl) (2.36) ，则输入电阻和电抗为 Zin=2sin2βl Xin=Xr/sin(βl)

对半波振子(βl=π/2)，其输入阻抗就是其辐射阻抗。

至此，我们讨论了单个振子天线的辐射阻抗，和输入阻抗的分析方法。但对于由若干天线组成的阵列天线，各天线之间相距很近，互相耦合很强，不容忽略。下面我们讨论二元对称振子的相互耦合问题。

2.2.2 二元耦合对称振子的互阻抗

相距较近的天线之间将发生很强的电磁耦合，它们周围空间的电磁场要发生变化，每个天线上的电流、辐射功率和输入功率也将改变。因此，与电流、功率相联系的辐射阻抗和输入阻抗也将发生变化。我们将相互靠得较近的那些天线称为耦合天线。

1. 二元耦合振子天线的阻抗方程

任意排列的二元对称振子如图2-6所示。当振子1单独存在时，它在电源的激励下产生电流I1，并建立满足本身边界条件的电磁场，设其表面的切向电场为Ez11。然后在振子1的附近放置振子2，此时振子2上的电流I2将在振子1的表面产生切向电场Ez12(称为感应电场)。此时振子1表面上的总切向电场为

Ez1=Ez11+Ez12

(2.37) 图2-6二元耦合振子

由前面式(2.29)可得在振子2影响下的振子1的总辐射功率为

1l11l1 Pr1= ∫Ez1I1*dz1= ∫(Ez11+Ez12)I1*dz1 2 l12 l1

=P11+P12 (2.38)

1l1式中， PEz11I1*dz1 (2.39) 11= ∫2 l1

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1l1 PEz12I1*dz1 (2.40) 12= ∫2 l1

P11是振子1单独存在时的辐射功率，称为自辐射功率；由振子2的影响，在振子1上的感应电动势[ Ez12dz1]产生的功率P12称为感应辐射功率。

同理，可得在振子1影响下振子2的总辐射功率为

Pr2=P21+P22 (2.41)

1l2*EIdz2 (2.42) z212∫l 22

1l2* P22= ∫Ez22I2dz2 (2.43) 2 l2

P22是振子2的自辐射功率；P21是由振子1的影响，在振子2上的感应电动势

[ Ez21dz2]产生的感应辐射功率。

设对称振子1和2上电流的波腹值分别为I1m和I2m，由式(2.38)和(2.41)可得 式中， P21=

2P2P 2Pr11112=+ |I|2|I|2|I|2 1m1m1m (2.44) 2P2P2P2122 r2=+222 |I||I||I|2m2m 2m

I2m =+ZZZ1211 r1I 1m (2.45) 则 I Z=1mZ+Z2122r2 I2m

式中，Zr1=2Pr1为振子1的总辐射阻抗； (2.46a) |I1m|2

2Pr2为振子2的总辐射阻抗； (246b) 2|I2m|

2P11为振子1单独存在时辐射阻抗，简称自阻抗； (2.46c) |I1m|2

2P12为振子2对振子1影响的感应辐射阻抗，简称互阻抗；(2.46d) *I1mI2m

2P22为振子2单独存在时辐射阻抗，为自阻抗； (2.46e) 2|I2m|

2P21为振子1对振子2影响的感应辐射阻抗，为互阻抗。 (2.46f) *I2Im1mZr2=Z11=Z12=Z22=Z21=

根据互易原理 Z12=Z21 (2.47)

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如果振子1和振子2的几何尺寸相同，则Z11=Z22

对式(2.45)的第一和第二式两边分别乘以I1m和I2m，并记U1=I1mZr1，U2=I2mZr2，则得阻抗方程

U1=I1mZ11+I2mZ12 (2.48) U2=I1mZ21+I2mZ22

由此关系可以得到二元耦合振子天线的等效电路，如图2-7所示。

图2-7二元耦合振子的等效电路

对于二元耦合振子，振子的自阻抗前面式(2.32)已经求得，根据互易原理，我们只需计算互阻抗Z12即可。把前面式(2.40)代入(2.46d)得

1Z12= *I1mI2m∫l1 l1Ez12I1*dz1 (2.49)

要计算任意排列的二元耦合对称振子之间的互耦电场Ez12是较复杂的，然而，在实际应用中，如对称振子组成的阵列中，各振子均是平行排列的，且几何尺寸相同(即l1=l2=l)。这种情况下的计算是较容易的。

2. 平行等长对称振子二元阵的互阻抗

平行二元耦合对称振子如图2-8所示。原则上可导出不等长的互阻抗计算公式，但其推导过程和最终结果都很复杂，在此只考虑两振子等长的情况。耦合对称振子的互阻抗可由式(2.49)计算，此式中的互耦电场Ez12是振子2在振子1的表面产生的切向电场，它可由前面式(2.25)计算，即

Ez12ηI2me jβRe jβRe jβr= j[+ 2cos(βl)] (2.50) 4πR1R2r12

在z

′坐标系下，式中

r=

R1=

R2=。

振子1上电流分布为 I1(z)=I1msinβ(l |z′|) (2.51)

把式(2.50)和(2.51)代入(2.49)得

jηZ12=4πe jβR1e jβR2e jβr∫ lsinβ(l |z′|)[R1+R2 2cos(βl)r]dz′ l

=R12+jX12 (2.52)

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图2-8平行耦合对称振子的互阻抗计算

此式的计算过程较繁，但最后也可用正余弦积分表示，其电阻和电抗分别为

′) Si(w2)+Si(w2′) Si(w3)+Si(w3′)] R12=15{sin(w0)[2Si(w1) 2Si(w1

′)+Ci(w2)+Ci(w2′)+Ci(w3)+Ci(w3′)]} (2.53) cos(w0)[ 2Ci(w1) 2Ci(w1

′) Ci(w2)+Ci(w2′) Ci(w3)+Ci(w3′)] X12=15{sin(w0)[2Ci(w1) 2Ci(w1

′) Si(w2) Si(w2′) Si(w3) Si(w3′)]} (2.54) cos(w0)[2Si(w1)+2Si(w1

式中，w0=βH (2.55a)

w1=βH) (2.55b)

′=βH) (2.55c)

w1

w2=β(H 2l)] (2.55d)

′=β(H 2l)] (2.55e)

w2

w3=β+(H+2l)] (2.55f)

′=β (H+2l)] (2.55g)

w3

由式(2.53)、(2.54)和(2.55)可计算错位平行排列的等长二元耦合对称振子之间的互阻抗，并可得到书上P369－386的半波对称振子互阻抗表。

当H=0，d≠0(平行排列)时，式(2.53)和(2.54)可简化为

R12=30[2Ci(u0) Ci(u1) Ci(u2)] (2.56a)

X12= 30[2Si(u0) Si(u1) Si(u2)] (2.56b)

式中，u0=

βd，u1=β

+2l]，u2=β 2l]

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当d=0，H≠0(共轴排列)时，式(2.53)和(2.54)的简化形式为

R12=15{sin(v0)[2Si(2v0) Si(v1) Si(v2)]

+cos(w0)[2Ci(2v0) Ci(v1) Ci(v2)+ln(v3)]} (2.57a)

X12=15{sin(w0)[2Ci(2v0) Ci(v1) Ci(v2) ln(v3)]

cos(w0)[2Si(v0) Si(v1) Si(v2)]} (2.57b)

式中，v0=βH，v1=2β(H+2l)，v2=2β(H 2l)，v3=[H2 (2l)2]/H2。

由式(2.56)可计算并绘出平行排列时二元耦合半波振子的互阻抗；由式(2.57)可计算并绘出共轴排列时二元耦合半波振子的互阻抗。如图2-9所示。

图2-9两种典型排列的耦合对称振子的互阻抗曲线

两个耦合振子之间的互耦强弱，主要反映在互阻抗值上。由上面两种情况的互阻抗随间距的变化可见：

① 互阻抗值随间距的变化呈波动变化，而且间距愈大，互阻抗值逐渐变小，呈

“震荡衰减状”，这说明两振子之间的互耦随间距增大而减小；

② 平行排列的两个振子之间的互阻抗的变化幅度比共轴排列的要大些，说明前

者的互耦要强些。

③ 互阻抗的实部R12有正有负，它表示另一根振子在这根振子上附加的感应电动

势源而产生的；而自辐射阻抗的实部为大于零的正数，它表示振子单独存在时全部辐射的有功功率均由它吸收。

【例2.1】如图2-10为两种情况的半波振子组成的二元阵，查表计算各振子的辐射阻抗Zr1和Zr2。

解：已知半波振子的自阻抗为 Z11=Z22=73.1+j42.5(Ω)

■图(a)：d/λ=0.25，H/λ=0

表中无d/λ=0.25对应的值，可查得前后两个值取平均。得互阻抗

43.1+38.526.8+29.8 j=40.8-j28.3(Ω) Z12=Z21=22

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(a) (b)

图2-10 两种情况的耦合对称振子

则 Zr1=Z11+I2mZ12=73.1+j42.5＋j(40.8-j28.3)/2=87.25+j62.9 (Ω) I1m

Zr2=I1mZ12+Z22＝-j2(40.8-j28.3)+ 73.1+j42.5=16.5-j39.1 (Ω) I2m

■图(b)：d/λ=0.24，H/λ=0.5

查表得 Z12=Z21=11.7 j11.9(Ω)

则 Zr1=Z11+Z12=84.8+j30.6(Ω)，

Zr2=Zr1

2.3无源振子

前面讨论的二元耦合振子，是每个振子单元都加激励的情况，各自的输入端电压分别为U1和U2。若两个耦合振子中有一个不加激励，这个不加激励的振子就称作无源振子，或寄生振子。无源振子广泛应用于短波和超短波波段中。例如，八木天线(见书上P131图6-12)，就是由一个无源反射器，一个激励振子和多个无源引向器振子组成的。

要计算由一个激励振子和一个无源振子组成的二元阵的方向图、辐射阻抗等参量，首先要确定无源振子上的电流分布及其与激励振子上电流分布之间的关系。如果能调节无源振子上的电流幅度和相位，就能得到二元阵所需要的方向图。

无源振子上的电流幅度和相位的调节，大致可用如下两种方法：

① 改变无源振子的长度，及两振子间距，以改变其自阻抗和互阻抗；

② 在无源振子上接入可变电抗，电抗是一段短路传输线做成，调节短路点位置，

可改变接入电抗的大小和相位。

含无源振子的二元阵如图2-11所示。有两种情况，即无源振子接入电抗和无源振子短路。

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(a) 无源振子接可调电抗 (b) 无源振子短路

图2-11 含无源振子的二元阵

1. 无源振子和激励振子上的电流比

设无源振子2接有可变电抗XL。并设振子1的激励电压为U1，所激励的电流为I1。由于振子1 的作用，在无源振子2上将感应电流I2。

由于有无源振子2的作用，振子1的辐射功率为

Pr1=P11+P12 (2.58)

无源振子2从振子1吸收的功率P21与感应电流I2产生的自辐射功率P22及负载XL所消耗的功率之和为零，即

1 0=P21+P22+j|I2in|2XL (2.59) 2

式中，I2in为无源振子2中点的电流。在式(2.58)等号两端同乘以2/|I1in|2，并在式(2.59)中乘以2/|I2in|2可得

2P2P 2Pr11112=+ |I|2|I|2|I|2 1in1in1in (2.60) 2P2P2122 0=++jXL22 |I2in||I2in|

I2in =+ZZZ12in11in 1inI1in (2.61) 上式可写作： 0=I1inZ+Z+jX21in22inL I2in

式中，Z1in=2Pr1为归算于输入电流的辐射阻抗，若振子无耗Pr1=P1in，它就是2|I1in|

2P2P1112为振子1归算于输入电流的自阻抗；Z=12in2|I1in||I1in|2

2P21为归算于输入电流I2in的互阻抗；2|I2in|振子1的输入阻抗；Z11in=为归算于输入电流I1in的互阻抗；Z21in=

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Z22in=2P22为振子2归算于输入电流的自阻抗。如果记归算于波腹电流的自阻2|I2in|

抗和互阻抗为Z11m、Z22m、Z12m和Z21m，则两种不同归算电流的阻抗关系为 Zkpin=IkmI*

pm

*IpinIkinZkpm， k=1,2；p=1,2 (2.62)

*I1mI2m=Z12m *I2inI1in例如，k=1, p=2时，Z12in

对于半波振子情况，Z12in=Z12m

当阵列中的振子长度有大于半波长的情况，或无源振子的中点接有电抗的情况最好采用归算于输入电流的阻抗方程。由式(2.61)得

U1=I1inZ11in+I2inZ12in (2.63) 0=IZ+I(Z+jX) 1in12in2in22inL

当XL=0时即为书上式(2.58)。若U1和XL已知，归算于波腹电流的各阻抗也可算得，此式可解出振子1和2上的输入电流。假设振子上的电流为正弦分布 Ik(z)=Ikmsinβ(lk |z|) ，k=1,2

则 Ikin=Ikmsinβlk

就可采用前面的方法求得二元阵的辐射方向图。由前面介绍的知识，这个计算过程是可以做的。为简单起见，这里只求无元振子和激励振子上的电流比。由式(2.63)的第二式可得

I2inZ12inR12in+jX12in= = (2.64) I1inZ22in+jXLR22in+j(X22in+XL)

式中用了关系Z21in=Z12in。令I2in/I1in=

mejα，得

m= (2.65) α=π+arctan(X12inX+XL) arctan(22in) (2.66) R12inR22in

由式(2.61)可得振子1的输入阻抗(或叫归算于输入电流的辐射阻抗)为

Z1in=Z11in+mejαZ12in (2.67) 如果振子1为半波振子，则输入电流就是波腹电流。

两个振子的电流幅度比m和相位差α，取决于无源振子的自阻抗Z22(与l2/λ

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和a2/λ有关)、互阻抗Z12(与d/λ，l1/λ，l2/λ有关)，以及接入无源振子的可调电抗XL。改变m和α，都会引起二元阵方向图的变化。因此可以采用改变无源振子长度、两振子间距和可调电抗的办法，来调整二元阵的方向图。

书上P41图2-17给出了半波振子二元阵的H面方向图随无源振子的阻抗相角arctan[(

X22in+XL)/R22in]及间距d的变化。

若将无源振子的可调电抗短路XL=0，则

(2.68) m=

α=π+arctan(X12inX) arctan(22in) (2.69) R12inR22in

2. 无源振子可作引向器和反射器

调节无源振子的长度及两振子间距及可变电抗，如果使0<α<π，则二元阵的方向图最大值指向激励振子方向，无源振子就为反射器；若使π<α<2π，则二元阵方向图最大值指向无源振子方向，无源振子就为引向器。若不计可变电抗，这时的电流幅度比和相位差见式(2.68)和(2.69)，则

(1) 当无源振子臂长l2>λ/4时(大得不多)：有X22m>0，arctan(X22m/R22m)>0，

若间距d=(0.15~0.4)λ，由前面“平行排列半波对称振子互阻抗”图有X12m<0，R12m>0，arctan(X12m/R12m)<0，则0<α<π，即无源振子上的电流相位超前于激励振子的电流相位，此时无源振子起反射器作用。

(2) 当l2<λ/4时(小得不多)：有X22m<0，arctan(X22m/R22m)<0，若间距

d=(0.15~0.4)λ，使arctan(X12m/R12m) arctan(X22m/R22m)>0，则π<α<2π，即无源振子上的电流相位滞后于激励振子的电流相位，此时无源振子起引向器作用。

总之，在间距d=(0.15~0.4)λ内，无源振子作为反射器时的长度l2，应略大于串联谐振长度，作为引向器时的长度l2，应略小于串联谐振长度。实际中应综合调整间距和振子长度，以便使无源振子具有良好的反射或引向作用。

从含无源振子的二元阵，可以引伸出方向性较强的含多个无元振子组成的端射直线阵天线。例如八木天线。

2.4 对称振子阵的阻抗

1. 阵列中各振子的辐射阻抗

设天线阵中有n个单元，二元阵的耦合振子阻抗方程式(2.48)可推广到n元阵。即：

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Ui=∑ImjZij,

j=1ni=1,2, ,n (2.70)

可写成矩阵形式 [U]=[Z][I]

式中，[U]=(U1,U2, ,Un)T，[I]=(Im1,Im2, ,Imn)T，[Z]为方阵。即

U1 Z11Z12 Z1n Im1 U ZZ Z I 221222n m2 = UZZZnn1n2nn Imn

方阵中的各元素Zij,i,j=1,2, ,n。当j=i时Zii表示第i个振子的自阻抗，当j≠i时Zij表示第j个振子对第i个振子的互阻抗。

由式(2.70)等号两边同除以Imi可得阵列中各振子的辐射阻抗

n

Zri=∑j=1ImjImiZij=Zii+j=1,j≠i∑n′Zij,i=1,2, ,n (2.71) ′=式中，ZijImjImiZij 称为第j个振子对第i个振子的感应辐射阻抗。当Imj=Imi时，

感应辐射阻抗就等于互阻抗。

对于电流等幅同相且单元几何尺寸相同的天线阵，式(2.71)可简化为

Zri=∑Zij,

j=1ni=1,2, ,n (2.72)

上面各式中的辐射阻抗、自阻抗和互阻抗均是归算于波腹电流的。

假如阵列中有部分单元为无源振子，则在式(2.70)中相应的U为零。

2. 天线阵的总辐射阻抗

天线阵的总辐射功率PΣ，等于各单元辐射功率的总和，即

1n1n2 PΣ=∑Pri=∑|Iim|Zri=∑|Iim|2[Zii+2i=12i=1i=1nnj=1,j≠i∑′] (2.73) Zij

于是，归算于第k个振子波腹电流Iim的总辐射阻抗为

n|Iim|22PΣ=∑Zri (2.74) ZΣ=22|Ikm|i=1|Ikm|

若是由半波振子组成的阵列，且电流等幅同相，则有

ZΣ=∑Zri (2.75)

i=1n

即等幅同相的半波振子阵列的总辐射阻抗为各单元辐射阻抗之和。

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3. 天线阵的方向性系数

由阵列的总辐射阻抗取其实部，可得阵列天线的总辐射电阻RΣ=Re(ZΣ)，若求得阵列的方向图函数fa(θ, )及最大指向(θm, m)，对称振子阵列的方向性系数可由下式计算

120fa2(θm, m) (2.76) D=RΣ

【例2.2】在下图2-12中，图(a)为全波振子，图(b)为等幅同相的半波振子三元阵。求其总场方向图函数fT(θ, )，总辐射阻抗ZΣ和方向性系数D。

图2-12 含无源振子的二元阵

解：图(a). 一个全波振子可以看作是一个共轴半波振子二元阵。已知二元阵的垂直间距H/λ=0.5，平行间距d/λ=0。

(1) 二元阵总场方向图函数fT(θ, )

fT(θ, )=f0(θ, )fa(θ, ) 式中，单元方向图函数：f0(θ, )=cos(πcosθ/2) sinθ

βH 二元阵因子：fa(θ, )=2cos(cosθ)=2cos(πcosθ/2) 2

2cos2(πcosθ/2)cos(πcosθ)+1则 fT(θ, )== sinθsinθ

直接由公式：fT(θ, )=cos(βlcosθ) cosβl，并代入l=λ/2也可得到这个结果。 sinθ

(2) 总辐射阻抗ZΣ

单元1的辐射阻抗为：Zr1=Z11+Z12

单元2的辐射阻抗为：Zr2=Z21+Z22

因 Z22=Z11，Z21=Z12，则 Zr2=Zr1，因此，只须求出Z11和Z12即可

半波振子自辐射阻抗： Z11=73.1+j42.5( )

互阻抗可查表(H/λ=0.5，d/λ=0)求得： Z12=26.4+j20.2( )

Zr1=Z11+Z12=99.5+j62.7( )

由式(2.75)得二元阵(即全波振子)的总辐射阻抗为

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