玉林师范学院期末课程考试07-08年度高等代数下半册(叶小兵)

—:号—位—座——————:名—姓————题

————答—:号—学——要————不—:别—班——内————线—:—业—专—封————密—:级—年——————:)—院—(系——(1)σ(x1,x2,x3)=(x1x2,x2x3,x3x1)，(2)σ(x1,x2,x3)=(x1+x2,x2+x3,x3+x1)，玉林师范学院期末课程考试试卷

(3)σ(x1,x2,x3)=(x1 x2,x2 x3,x3 x1)

（2007——2008学年度第一学期）

5、一个λ矩阵A(λ)是一个可逆矩阵的充分必要条件是（）。

(1)A(λ)≠0

(2)|A(λ)|≠0

(3)|A(λ)|=d≠0，其中d是一个非

命题教师：凌征球命题教师所在系：数计系试卷类型：（A）零的数。

课程名称：高等代数

考试专业：数学、信计(本)科

考试年级：2006

6、如果λ-矩阵A(λ)和B(λ)等价，那么一定没有（）。

题

号

一二三四五总分

(1)行列式因子相同

(2)不变因子相同

(3)|A(λ)|=|B(λ)|

应得分10

10

12

50

18

满分：100

实得分评分：

7、一个复数矩阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是（）。

评卷人

(1)A的行列式因子都是一次的(2)A的不变因子都是一次的

签名

(3)A的初等因子都是一次的

8、在欧氏空间V中，如果向量α,β线性无关，那么（

）。

得分评卷人

(1)|(α,β)|=|α||β|(2)|(α,β)|<|α||β|

(3)|(α,β)|>|α||β|

9、欧氏空间V与Rn同构的充分必要条件是（

）。

一、单项选择题（每题1分，总计10分，请将你认为正确的序号填在该题(1)维(V)>n

(2)维(V)=n

(3)维(V)<n

后的括号内）

10、下列命题不是与正交变换σ等价的是（）。

1、如果矩阵T是一个正交矩阵，并且有T/AT=B，那么矩阵A、B的关系(1)对于任意向量α∈V都有|σ(α)|=|α|；

是（）。

(2)α关于欧氏空间V的任一组基ε1,ε2,...,εn的矩阵都是正交矩阵；(1)合同的,

(2)相似的,

(3)既是合同的又是相似的.

(3)如果ε1,ε2,...,εn是标准正交基，那么σ(ε1),σ(ε2),...,σ(εn)也是标准正2、下列矩阵中属于对称矩阵的是（

）。交基。

(1)过渡矩阵,(2)度量矩阵,

(3)正交矩阵.

二、判断题（认为是正确的打√，是错误的打×，每小题1分，共10分）

3、线性空间V中的两个子空间V1,V2的和V1+V2是直和的充分必要条件是 λ 10 （

）。

1、λ-矩阵 1

0λ 11

的不

变因子d3(λ)=(λ 1)3，而

(1)V 1∩V2={0},

(2)维(V1)=维(V2),

(3)V1 V2

00λ 1

4、下列线性空间R3的变换中不属于线性变换的是（

）。

d2(λ)=d1(λ)=1。

（）

数学与应用数学、信息与计算科学2006级《高等代数》试卷（A）

第1页（共4页）

2、两个数字矩阵A、B相似的充要条件是它们有相同的不变因子。（ 200

3、若尔当块 120 的初等因子是(λ 1)2。

012

（

））

3、欧氏空间C( 1,1)的函数f(x)=1+x的长度|f(x)|=。

4、R3的基α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的度量矩阵是

。

4、设α=(a1,a2),β=(b1,b2)是实空间R2的任意向量，则R2关于内积(α,β)=a1b2+a2b1构成一个欧氏空间。

（

）

5、设α1,α2,α3是三维欧氏空间V的一组标准正交基，α=α1+α2 2α3，

β= α1 2α2+2α3，则内积(α,β)=

。

5、V一组基ε1,ε2,...,εn是标准正交基的充分必要条件是ε1,ε2,...,εn的度量矩阵是单位矩阵E。

6、正交变换保持向量的夹角不变。

（（

））

6、设σ是欧氏空间V的线性变换，如果对于任意的α,β∈V都有

，则称σ是一个对称变换。

四、计算题

λ 1

1、用初等变换化λ 矩阵A(λ)= λ

2

1+λ

λ

（10分）λ2 λ 为标准型。

λ2+λ 1 λ2 2λ+1

7、如果ε1,...,εm是子空间V1 V的标准正交基，而ε1,...,εm,εm+1,...,εn是

V的标准正交基，那么V1的正交补V1⊥=L(εm+1,...,εn)。（

）

8、如果α,β∈Rn分别属于n级实对称矩阵A的特征值λ=1和λ= 1的特征向量，那么内积(α,β)=0。

9、V1={(a,b,c)|a+b+c=0}是R3的一个子空间。

（（

）））

10、如果矩阵A、B相似，那么有|λE A|=|λE B|。（三、填空题（每小题2分，共12分）

00 λ 1

1、λ 矩阵 0λ 20 的行列式因子D1(λ)=

00λ 3

D2(λ)=

，

D3(λ)=

。

08 3

2、求复数矩阵A= 3 16 的若尔当标准形。（12分）

20 5

第2页（共4页）

2、6级矩阵A的初等因子是λ 1,(λ 1)2，λ+1,(λ+1)2，那么A的不变因子是

。

数学与应用数学、信息与计算科学2006级《高等代数》试卷（A）

4、在R3中，已知α1=(1,1,0),α2=(1,2,0),α3=(1,2,3)，（1）证明α1,α2,α3是R3的一组基；

（2）求出ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)到α1,α2,α3的过

1 31

3、设有实对称矩阵A= 1 31 ，

11 3 （1）求A的特征值与相应的特征向量；

（2）求正交矩阵T使得T/AT成对角形矩阵。（14分）

渡矩阵；

（3）求向量α=(1,1,1)在基α1,α2,α3下的坐标。（14分）

数学与应用数学、信息与计算科学2006级《高等代数》试卷（A）第3页（共4页）

试证明：（1）σ是一个线性变换；

（2）σ是R3到R3的一个同构映射。（6分）

五、证明题（18分）

03 λ 10

1、证明λ 矩阵A(λ)= 1λ2 的标准形是 01

0 1λ+1 00

0

0 ，其中f(λ)

f(λ)=λ3+λ2+2λ+3。（6分）

3、设σ为欧氏空间V的正交变换，证明σ是V的对称变换的充分必要条件是σ2=ε,ε为V的单位变换。（6分）

2、定义欧氏空间R3的一个双射σ:R3→R3如下：

11112111

σ(x1,x2,x3)= x+x,x+x x,x+x+x3 1212312 ，

263 数学与应用数学、信息与计算科学2006级《高等代数》试卷（A）第4页（共4页）

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