大学物理2-2习题

习题七

7-5 容器内贮有1摩尔某种气体。今自外界输入2.09?102焦耳热量,测得气体温度升高10K.求该气体分子的自由度。 解： ?E?NAi2k?T, ?i?2?ENAk?T?2?2.09?1026.02?1.38?10?5

7-7 温度为27?C时,1mol氢气分子具有多少平动动能?多少转动动能? 分析 气体的能量为单个分子能量的总合。 解：Et?NA Er?NA2232kT?6.02?102323?32?1.38?10?23?23?300?3.74?10J

33kT?6.02?10?22?1.38?10?300?2.49?10J

7-10 2L容器中有某种双原子刚性气体,在常温下,其压强为1.5?105pa,求该气体的内能. 解：据PV?mMRT， E?miM2RT?52pV?52?1.5?10?2?105?3?750J

7-12温度为273K，求(1)氧分子的平均平动动能和平均转动动能；(2)4?10?3kg氧气的内能. 解：氧分子为双原子分子。其平均自由度t=3,转动自由度r=2.

(1) 氧分子的平均平动动能和转动动能分别为:

?kt?3222kT?kT?3222?3?1.38?10?1.38?10?23?273?5.65?10?273?3.77?10?21J J

?kr??23?21(2) 当m?4?10kg时,其内能E?mM??t?r?2RT?4?10?3?332?10?52?8.31?273?7.09?10J

27-13 在相同温度下,2摩尔氢气和1摩尔氦气分别放在两个容积相同的容器中。试求两气体(1)分子平均平动动能之比;(2)分子平均总动能之比;(3)内能之比;(4)方均根速率之比;(5)压强之比(6)密度之比. 解：因为氢气的自由度i=5;氦气的自由度i=3

(1) ?kt?32kTi2?kt氢：?kt氦?1:1 (2) Ek?i2kTEk氢：Ek氦?5:3

(3)E?mM?RT，E氢：E氦＝10:3 (4) VNV2?PMRT3RTM ，V氢：V氦?2:222

(5)P?nkT?kT ， P氢:P氦?2:1 (6) ??，?氢：?氦＝1:1

7-14 已知f(v)是气体速率分布函数。N为总分子数，,n为单位体积内的分子数,。试说明以下各式的物

v2v2v1理意义。(1)Nf(v)dv(2)f(v)dv(3)?Nf(v)dv (6)?f(v)dv v1解：（1）Nf(v)dv表示分布在（v~v?dv）]范围内的分子数

（2）f(v)dv表示（v~v?dv）范围内的分子数占总分之数的百分比

v2（3）

v1v2?Nf(v)dv表示速率在（v1?v2）之间的分子数

(6)

v1?f(v)dv表示速率在（v1?v2）区间内的分子数占总分之数的百分比.

dNNdv7-15 N个粒子的系统,其速度分布函数f(v)??C (0?v?v0,c为常数）(1)根据归一化条

件用定出常数C; (2) 求粒子的平均速率和方均根速率. 解：(1) 根据归一化条件 ?(2) v??0f(v)dv?1，v00?2v00Cdv?Cv0?1，?C?1v0

??0vf(v)dv??0?vCdv?1v0

v?2?vf(v)dv?2?v00vCdv?213v0?33v0

7－17 已知某气体在温度T?273K,压强P?1.0?10?2atm时，密度??1.24?10?2g?L?1,求(1)此气体分子的方均根速率;(2)此气体的摩尔质量并确定它是什么气体. 解：(1) P?mMVRT??MRT,M??RTP, v2?3RTM?3PV??4.95?10m?s2?1

(2) M??RTp?2.8?10kg?mol,N2或CO

?2?17-19 设容器内盛有质量为m1和质量为m2的两种不同单原子分子理想气体，并处于平衡态，其内能均为

E．则此两种气体分子的平均速率之比为多少？

解： E?习题八

mM?i2RT,?RTM?2Eim v?8RT?M，所以：v1:v2?m2m1

8-3 1摩尔的单原子理想气体，温度从300K加热到350K。其过程分别为(1)容积保持不变；(2)压强保持不变。在这两种过程中求：(1)各吸取了多少热量；(2)气体内能增加了多少；(3)对外界作了多少功。 解： 已知气体为1 摩尔单原子理想气体

(1) 容积不变。Q?mMmM32?1,CV?32R

CV?T2?T1???8.31??350?300??623.25J

根据Q??E?W,W?0,Q??E。气体内能增量?E?623.25J。对外界做功W?0.

(2) 压强不变。Q?mMCp(T2?T1)?52?8.31?(350?300)?1038.75J,

?E?623.25J，W?1038.75J?623.25J?415.5J

8-4 一气体系统如题图8-4所示,由状态a沿acb过程到达b状态,有336焦耳热量传入系统,而系统作功126焦耳,试求: (1) 若系统经由adb过程到b作功42焦耳,则有多少热量传入系统?(2) 若已知

Ed?Ea?168J,则过程ad及db中,系统各吸收多少热量?(3)若系统由b状态经曲线bea过程返回状态

a,外界对系统作功84焦耳,则系统与外界交换多少热量?是吸热还是放热?

解：已知acb过程中系统吸热Q?336J,系统对外作功W?126J,根据热力学第一定律求出b态和a态的内能差：?E?Q?W?210J

(1) W?42J, 故Qadb??E?W?252J

(2) 经ad过程,系统作功与adb过程做功相同,即W=42J,故Qad??Ead?Wad?168?42?210J,

经db过程,系统不作功,吸收的热量即内能的增量

?Edb?Eb?Ed??Eb?Ea???Ed?Ea??210?168?42J 所以Qdb??Edb?Wdb?42J

(3) Wbea??84J,?Ebea???E??210J,故Qbea??Ebea?Wbea??294J. 系统放热.

P c e a O

题图8－4

d V b

O P PB PA B P (10 Pa) 4 2 1 5A C D A VA VB 题图8－5

V

B O 2 5 8 V (m3) 题图8－7 8-5 如题图8-5所示。某种单原子理想气体压强随体积按线性变化，若已知在A,B两状态的压强和体积,求: (1)从状态A到状态B的过程中,气体做功多少?(2)内能增加多少?(3)传递的热量是多少? 解：(1) 气体作功的大小为斜线AB下的面积

W??VB?VA??PA?12?VB?VA??PB?PA??mMCV?TB?TA??3212?PA?PB??VB?VA?

R(TB?TA)

(2) 气体内能的增量为: ?E? 据 PV?mMim2MRT ?E?12?PBVB?PAVA?

32(3)气体传递的热量 Q??E?W?

?PA?PB??VB?VA???PVBB?PAVA

?8-7一定量的理想气体，从A态出发，经题图8－7所示的过程，经 C再经D到达B态，试求在这过程中，该气体吸收的热量．

解：由图可得： A态： PAVA?8?105 ；B态： PBVB?8?105

∵ PAVA?PBVB，

根据理想气体状态方程可知 TA?TB， ?E?0 根据热力学第一定律得：

Q??E?W?W?PA(VC?VA)?PB(VB?VD)?1.5?106J

8－16 如题图8－16所示，AB、DC是绝热过程，CEA是等温过程，BED是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE所包围的面积为70J，EABE所包围的面积为30J，CEA过程中系统放热100J，求BED过程中系统吸热为多少？

解：正循环EDCE包围的面积为70 J，表示系统对外作正功70 J；

p D A E C B O 题图8－16 EABE的面积为30 J，因图中表示为逆循环，故系统对外作负功，

所以整个循环过程系统对外作功为： W?70?30?40J

设CEA过程中吸热Q1，BED过程中吸热Q2，对整个循环过程?E?0， 由热一律，Q1?Q2?W?40J Q2?W?Q1?40?(?100)?140J

V BED过程中系统从外界吸收140焦耳热.

压强P1的一半，求循环的效率． 解：根据卡诺循环的效率 ??1?P1??1?8－17以氢(视为刚性分子的理想气体)为工作物质进行卡诺循环，如果在绝热膨胀时末态的压强P2是初态

T2T1

T2T1P2P1T2T1??1由绝热方程：

T1?P2??1?T2 得

P2P112?()?

T2T1氢为双原子分子， ??1.40， 由? 得 ?0.82 ???1??18%

8－20一热机在1000K和300K的两热源之间工作，如果：（1）高温热源提高到1100K（2）使低温热源降到200K，求理论上热机效率增加多少？为了提高热机效率，那一种方案更好？ 解：??1?T2T1?1?T2T1T2T13001000?70%

(1)?1?1??1?30011002001000?72.7%,所以?1??0?0?3.85%

(2)?2?1??1??80%,所以?2??0?0?14.3%

提高高温热源的温度来获得更高的热机效率是更为有效的途径。

8-21题图8－21中所示为一摩尔单原子理想气体所经历的循环过程，其中ab为等温过程，bc为等压过程，ca为等体过程，已知Va?3.00升，Vb?6.00升，求此循环的效率。

解：Ta?Tb?T； Tc?VcTbVb?VaTbVb?12T

p a 54a?b等温过程：Qab?b?c等压过程：Qbc?c?a等容过程：Qca?mMmMmMRTlnVbVa?RTln2

5232Cp(Tc?Tb)?Cv(Ta?Tc)?R(Tc?Tb)??R(Ta?Tc)?34RT

c Va b V Vb RT

题图8－21 5???1?Q2Q1?1?4ln2?34?13.4%

8-22 气体作卡诺循环，高温热源温度为T?400K，低温热源的温度T2?280K，设P1?1atm,

V1?1?10?2m,V2?2?103?2m,求：（1）气体从高温热源吸收的热量Q1；（2）循环的净功W。

3解：(1)P1V1T1?mMQ2Q1R Q1??1?T2T1?0.3;mMRT1lnV2V1?P1V1ln2?7?10J

222(2)??1?Q2?0.7Q1?4.9?10J W?Q1?Q2?2.1?10J

加—1 64g的氧气的温度由0℃升至50℃,(1)保持体积不变;(2)保持压强不变.在这两个过程中

氧气各吸收了多少热量?各增加了多少内能?对外各做了多少功? 解: (1)

Q??CV,m?T?6432?52?8.31?(50?0)?2.08?10J3

?E?Q?2.08?10J3 A?0

?5?22?8.31?(50?0)?2.91?10J3(2)

Q??Cp,m?T?6432

3?E?2.08?10J3

A?Q?E?(2.91?2.08)?10?0.83?10J3

习题五

5-2若简谐振动方程为x?0.1cos[20?t??/4]m，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）t=2s时的位移、速度和加速度.

解：(1)可用比较法求解.根据x?Acos[?t??]?0.1cos[20?t??/4]

?1 得：振幅A?0.1m，角频率??20?rad/s，频率???/2??10s，

周期T?1/??0.1s，初相???/4rad

（2）t?2s时，振动相位为：??20?t??/4?(40???/4)rad

由 x?Acos?，???A?sin?，a??A?cos????x 得 x?0.0707m,???4.44m/s,a??279m/s

5-4为了测得一物体的质量m，将其挂到一弹簧上并让其自由振动，测得振动频率?1?1.0Hz；而当将另一已知质量为m'的物体单独挂到该弹簧上时，测得频率为?2?2.0Hz.设振动均在弹簧的弹性限度内进

222

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