《备课参考》圆周角定理及推论

24.3 圆周角

第1课时 圆周角定理及推论

［学习目标］

1．理解圆周角的定义,了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角．

2．掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明.

［学法指导］

本节课的学习重点是理解并掌握圆周角定理及推论，学习难点是圆周角定理的证明中采用的分类思想及由“一般到特殊”的思想方法；学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展自己的逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力.

［学习流程］

一、导学自习（教材P27-29）

1．阅读教材并认真读图，如图1，视角∠AOB 叫做 角，

而视角∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 不同于视角∠AOB 这一类的角，我们把

∠ACB 、∠ADB 和∠AEB 这一类的角叫做 .

2.顶点在 ，并且两边都与圆 的角叫做圆周角．

圆周角定义的两个特征：（1）顶点都在 ；（2）两边都与圆 ．

3.视角AOB ∠和ACB ∠有什么关系？视角ADB ∠和AEB ∠和视角ACB ∠相同吗？实际上要研究同弧（AB ）所对的圆心角（AOB ∠）与圆周角（ACB ∠）、同弧所对的圆周角（ACB ∠、ADB ∠、AEB ∠等）之间的大小关系．

二、研习展评

活动1：(1) 阅读教材，动手量一量（如图2）：

问题1：同弧（弧AB ）所对的圆心角AOB ∠与圆周角ACB ∠的大小关系是怎样的？ 问题2：同弧（弧AB ）所对的圆周角ACB ∠与圆周角ADB ∠的大小关系是怎样的？

（2）规律：同弧所对的圆周角的度数 ，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的 ．

活动2：（1）同学们在下面图3的⊙O 中任取AB

⌒所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?

（图1）

（图2）

（图3）

（2）实际上，圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如图4）

（3）（引导、点拨）如何对活动1得到的规律进行证明呢？

证明：①当圆心在圆周角的一边上，如上图4(1),

②当圆心在圆周角内部（或在圆周角外部）时，能不能作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论. 证明：作出过O 的直径（自己完成）

（4）同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？

（5）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 ．

（6）由圆周角定理和圆心角、弧、弦之间关系，可以证明：（学生自己完成） 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定 .

说明：注意圆周角定理及推论1不能丢掉“同圆或等圆”这个前提.

活动3：（小组讨论）由图5，结合圆周角定理思考

问题1：半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？

问题2：90°的圆周角所对的弦是什么?

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 的圆周角所对的弦是直径． 说明：推论2为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件.

［课堂小结］

谈谈本节课的体会：知识、思想、方法、收获、……

［当堂达标］

1. 在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？

2. 教材p29练习1、2题

3. 如图6，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，若∠C=60°，则∠D=____，∠AOB=_ ___．

4. 如图7，等边△ABC 的顶点都在⊙O 上，点D 是⊙O 上一点，则∠BDC=____．

（1） （2） （3） （4） (5)

（1） （2） （3） （图4）

（图5）

B

[拓展训练]

已知：如图8，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，∠ACD =30°，AE =2cm ．求DB 长．

［课后作业］

［学后反思］

※[课外探究]

1．如图9，△ABC 的三个顶点在⊙O 上，∠A =50°，∠ABC =60°，BD 是⊙O 的直径，

BD 交AC 于点E ，连结DC ，求∠AEB 的度数．

2.已知：如图10，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为DC 延长线上一点，

连结AF 交⊙O 于M ．求证：∠AMD =∠FMC ．

(图

10) (图9)

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