4-3泰勒公式09.10.29
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第三节
泰勒公式
一、泰勒(Taylor)公式 泰勒( ) 麦克劳林( 二 、麦克劳林(Maclaurin)公式 )
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式 泰勒 公式
1. 泰勒公式的建立 回顾: 回顾:设 f (x)在 x0 处可导,则 在 处可导,
x 的一次 多项式
f (x)≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) p1( x)
(当f ′( x0 ) ≠ 0, 且 x x0 << 1 ) 时
[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + o( x x0 )]
特点: 特点
= f ( x0 )
= f ′( x0 )
不足: 1° 精确度不高 不足: °
只适用于x x0 很小的 , x
, . 当x x0 不是很小时 误差较大
2° 难以估计误差 °
只知道误差: R 只知道误差: 1( x) = o( x x0 )
R . 不能具体估计出误差 1( x)的大小
需要解决的问题: 需要解决的问题 1°寻找多项式 n( x),使得 ° p
f ( x) ≈ pn( x),
且去掉对于x x0 很小的限制 .
2° 给出误差: ° 给出误差:
Rn( x) = f ( x) pn( x)
的具体估计式. 的具体估计式
pn(x) 的确定 的确定:
pn(x) = a0+ a1( x x0 ) + a2( x x0 )2 + L+ an( x x0 )n,
观察: 观察: f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + o( x x0 ) 有
= f ( x0 )
p1( x)
= f ′( x0 )
猜 pn(x) 中的系数应是什么? 中的系数应是什么?
寻求n次近似多项式: 寻求 次近似多项式: 次近似多项式
pn(x) =a0+ a1( x x0 ) + a2( x x0 )2 + L+ an( x x0 )n,
求系数 ai :
a0 = pn( x0 ) = f ( x0 ),
p′ (x) = a1 + 2a2( x x0 ) + L+ nan( x x0 )n 1 n
′ a1 = pn( x0 ) = f ′( x0 ),
′ pn(x) = a1+ 2a2( x x0 )+ L+ nan( x x0 )n 1 ′′ pn(x) = 2 !a2+ L+ n(n 1)an( x x0 )n 2 1 1 ′′ a2 = pn( x0 ) = f ′′( x0 ), 2! 2! ( pnn)( x) = n!an 1 (n) 1 (n) an = pn ( x0 ) = f ( x0 ), n! n!
pn(x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) 1 1 (n) n 2 ′′( x0 )( x x0 ) + L + f + f ( x0 )( x x0 ) . 2! n! f ( x)在x0处的n阶泰勒多项式
记 Rn(x)
= f (x) P (x) 称为余项 n
2. 带皮亚诺型余项的 阶泰勒 带皮亚诺型余项的n阶泰勒 阶泰勒(Taylor)公式 公式 定理3.6 定理 的某个领域内有定义, 的某个领域内有定义, 且 具有直到 阶的导数 则 阶的导数, f ′′( x0 ) f (x0 )+ f ′( x0 )( x x0 ) + (x ( x x0 )2 + L 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 )n + o(( x x0 )n ). + n! 其中 Rn(x) = o((x x0 )n ). 带皮亚诺型余项的n 带皮亚诺型余项的 阶泰勒公式 若 在
3. 带拉格朗日型余项的 阶泰勒 带拉格朗日型余项的n阶泰勒 阶泰勒(Taylor)公式 公式 定理3.7 定理 阶的导数, 直到 n +1 阶的导数 则对 x∈(a , b), 有 ∈ f ′′( x0 ) f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + ( x x0 )2+ L 2! f (n) ( x0 ) ( x x0 )n + Rn(x), + n! f (n+1)(ξ ) ). Rn( x) = ( x x0 )n+1(ξ 在 x0 与x 之间 其中 (n + 1) ! 带拉格朗日型余项的n 带拉格朗日型余项的 阶泰勒公式
注 1° 泰勒公式的余项估
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