07级概率统计期末考试试卷

四川大学期末考试试卷（A）及解答

2008-2009年度第一学期2007级理工科本科生

?5一、单项选择题2ⅱ(10)

1．对任意的事件A,B，与A?B AA烫BB不等价的是（ D）.

()(B)BA(C)AB=?(D)AB

2．设随机变量X的密度函数fx的图象关于y轴对称，Fx为其分布函数，则对任意的a>0，有（B）成立.

()()f(x)dx(A)F(-a)=1-蝌

0a1(B)F(-a)=2-af(x)dx0

(C)F(-a)=F(a)X\\Y3．设X,Y(D)F(-a)=10142012F(a)-1()有联合分布律

12，则协方差Cov(X,Y141 4)=（C）.

(A)41(B)81(C)-181(D)- 4．设总体X:Nm,s(i2),X2,X2,L,X9是来自总体X的样本，令

1Z=2s?(Xi=19-X)，则D(Z)=（ A）.

(A)16(B)17(C)18(D)19

5．设X1,X2,X3为来自总体X:Nm,s(2)的样本，记

Z1=111111X1+X2+X3，Z2=X1+X2+X3， 24432612X1+X2，则在这三个m的无偏估计中，（A）最有效. 331Z3=(A)Z((B)Z2(C)Z3(D)无法判断

?5二、填空题2ⅱ10)

1．从0,1,2,L,9共10个数字中有放回地取7次，每次取一个数排成一行，则该排列

中至少有两个数字相同的概率是（1-算）.

2．已知总体X有EX7A10107=1-7P10107B0.94）（可只列式，不计

()=2,D(X)=4，X1,X2,L,X16为来自总体X的样本，

116X=?X是样本均值，由契比雪夫不等式，PX-2３116i=1i()（

3）. 43．设总体X:U2q,3q+4（均匀分布），其中q未知，X1,X2,L,Xn为来自总

()?=（体X的样本，则q的矩估计量为q2X-4）. 54．设随机变量序列X1,X2,L,Xn,L相互独立，且都服从G3,2，记

()1X=n2?nXi2，由大数定律，应有X2揪P （3）.

i=15．设总体X:N1,4,Y:N2,3,，X1,X2,X3和Y1,Y2,Y3,Y4为来自X和则统计量Z=Y的两个独立的样本，S,S为两个样本方差，

分布.

三、解答题

2122()()3S124S22:（F(2,3)）

ì?Axe-?1．(9￠)设X:fX(x)=í?0,???（1）求A；

（2）令Y=（3）令Y=（1）因1=2x,x>0x￡0.

1Y)； ，求E(X3X+1，求Y的密度函数fY(y).

A2(2x)eò20+ 12-2x骣1Ad(2x)=G琪p, 琪+1=琪222桫42A 故A=42p;

+ 骣1421-2x（2）E(Y)=E琪=xedx 琪ò琪X桫p0x= （3）RY42p?1(2x)ò20+ -12e-2xd(2x)4p骣1G琪=4; 琪琪2桫3()=(1,+ )，令y=3x+1，则x=(y-1).

3￠轾犏(y-1) 犏臌3233骣琪 当y>1时，fY(y)=fX琪(y-1)桫=42p(y-1)e--2(y-1)?3(y1)

27ì3?122-2(y-1)?2,?(y-1)e 综上得fY(y)=?íp??0,???y>1y￡1

2．8￠设X,Y()(0,2′)在矩形区域轾犏臌轾0,2上服从二维均匀分布，U=X-Y. 犏臌（1）求U的密度函数fUu；（2）计算概率PU￡1.

()()U)=轾0,2，联合密度为如图显然，R(犏臌y?2ì?14,x,y)未轾0,2轾0,2(犏犏?臌臌 f(x,y)=í?0,others??（1）当0

FU(u)=PX-Y?uo2x()蝌f(x,y)dxdy

x-y u=11dxdy=?阴影区域的面积蝌44阴影区域4-(2-u)42，

ì?u?u1-，0

? 显然，EX CovX,Y()=1,E(Y)=2,E(X)=1,D(Y)=9,R(X,Y)=1， 3()=R(X,Y))(())=D(X)D(Y)=2

)= CovX,Z=CovX,2X-Y()=(2Cov(X,X)-Cov(X,Y)

6

=2DX-CovX,Y DZ=D2X-Y()(4D(X)+D(Y)-4Cov(X,Y)=17

RX,Z=()Cov(X,Z)D(X)D(Z)=317B0.7276

因RX,Z10，故X与Z不相互独立.

24．12￠如图，设区域G由x轴，y轴及曲线y=1-x围成，二维随机变量X,Y()()()

ì?Ax,?有联合密度f(x,y)=í?0,??（1）求A的值；

(x,y)?()Gothers.

yy=1-x2（2）求边缘密度函数fXx,fYy； （3）求X的边缘数字特征EX,DX. （1）A=4

()G()()oxì?4x1-x2,?（2）fX(x)=í?0,??ì?2(1-y),?fY(y)=í?0,??()0

others0

1（3）EX()=8,EX15()2=111,D(X)= 32255．10￠一批电子元件的寿命X:e15（指数分布，单位：万小时）.从中任取100

个这种元件，用中心极限定理求

（1）寿命之和在400-600万小时之间的概率；0.9544

（2）平均寿命与5万小时之差的绝对值不大于0.5万小时的概率.0.6826

()()附正态分布表：

xF(x)10.84131.50.933220.97732.50.9940

6．10￠按国家标准，市场出售的液态牛奶中三聚氰胺的含量不得超过2.5mgL. 今

从市场上任意抽检9包某品牌的牛奶，测得三聚氰胺的含量如下：

()2.3,2.7,3.5,3.0,2.4,2.8,3.2,1.8,2.9unit:mgL

设三聚氰胺的含量服从正态分布.

（1）求该品牌牛奶三聚氰胺平均含量的95%置信区间（小数点后保留一位）； （2）用假设检验判断，该品牌牛奶的三聚氰胺含量是否显著超标a=0.05？

()()n\\a附t分布分位点

0.052.3062.2620.11.860. 1.83389由样本观察值算得样本均值，样本方差，样本标准差的观察值为

191x=邋xiB2.733,s2=9i=189i=1(xi-x)=0.262,s=X-mS0.9752s2=0.512

（1）因总体方差s2未知，n=9，故选t= 对于a=0.05，查表有tn=X-m:t(8)，

S32.3060，则

a1-2(n-1)=t(8)=骣琪t

反解不等式t

牌牛奶三聚氰胺平均含量m的95%置信区间为

骣琪琪x-t琪1-琪桫a2(n-1)sn,x-t1-a2(n-1)sn=(2.339,3.127)

（2）由题意应检验H0:m=m0=2.52H1:m>m0

因总体方差s未知，故用t检验法. 在H0成立时

t=X-m0Sn=X-2.5:t(8)

S3a对a=0.05，查表有t1-(n-1)=t(8)=0.951.86，则

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