重庆市永川区2015-2016学年八年级（上）期末数学试卷

重庆市永川区2015-2016学年八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )

A． B． C． D．

2．下列各式：，

，

，

，（x2+y），

中，分式共有( )

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

3．若分式

有意义，则x的取值范围是( )

A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≠﹣2

4．化简a?（﹣a）4÷a2结果是( ) A．﹣a2 B．﹣a3 C．a2 D．a3

5．若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是( ) A．1 B．﹣2 C．2 D．5

6．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是( )

A．85° B．90° C．95° D．100°

7．把a3﹣ab2分解因式的正确结果是( ) A．（a+ab）（a﹣ab） B．a（a2﹣b2） C．a（a+b）（a﹣b） D．a（a﹣b）2

8．下列命题中，正确的是( ) A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应边上的高相等

9．下列各组中的两个分式不相等的是( ) A．

与

B．

与﹣

C．与 D．与

10．如果一个三角形两边分别为2cm、7cm，且第三边为奇数，则此三角形为( ) A．不等边三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形

11．如图，在五边形ABCDE中，∠CDE=80°，为了保证AE∥BC，则∠BCD+∠AED应等于( )

A．100° B．260° C．280° D．275°

12．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的个数有( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 13．已知（2x+3）n=1，则x的取值范围是__________．

14．内角和与外角和之比是5：1的多边形是__________边形．

15．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=__________度．

16．计算：

=__________．

17．观察下列单项式：xy2，﹣2x2y4，4x3y6，﹣8x4y8，16x5y10，…根据你发现的规律写出第n个单项式为__________． 18．一个多边形的边数每增加1条时，它的内角和__________，它的外角和__________．（在

①增加1；②增加180°；下列5个备选答案中，把你认为正确答案的序号填在相应的空格内．

③不变；④增加360°；⑤不确定）．

三、解答题（共8小题，满分78分）

19．先化简，后求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中2x﹣y=18． 20．∠DAB的平分线与∠ABC的平分线相交于E．∠C+∠D=220°，如图，在四边形ABCD中，求∠E的度数．

21．阅读下列材料，并解答相应问题：

对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a） （1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是__________； A．提公因式法 B．十字相乘法 C．配方法 D．公式法 （2）这种方法的关键是__________； （2）用上述方法把m2﹣6m+8分解因式．

22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：AD=CE； （2）求∠DFC的度数．

23．某厂要定期加工完成一批零件，如果甲车间单独加工，刚好能如期完成；如果乙车间单独加工，要超过4天才能完成．现在甲、乙两车间共同加工3天，然后由乙车间单独加工，比定期加工少3天，则刚好能如期完成．问定期加工完成是多少天？

24．先化简，再求值：

÷（m﹣1﹣

），其中m是方程

+=1的解．

25．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

26．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．求证：△OEB≌△OFC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．

2015-2016学年重庆市永川区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分） 1．下列交通标志中，不是轴对称图形的是( )

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选C．

【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．下列各式：，

，

，

，（x2+y），

中，分式共有( )

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【考点】分式的定义．

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【解答】解：式． ，

，

的分母中含有字母，因此是分式． ，

，（x2+y）的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分

故选A．

【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．

3．若分式

有意义，则x的取值范围是( )

A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≠﹣2 【考点】分式有意义的条件．

【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，

解得：x≠2， 故选：C．

【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

4．化简a?（﹣a）4÷a2结果是( ) A．﹣a2 B．﹣a3 C．a2 D．a3

【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】原式计算得到结果即可．

【解答】解：a?（﹣a）4÷a2=a?a4÷a2=a5÷a2=a3． 故选D．

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．若点A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，则m+n的值是( ) A．1 B．﹣2 C．2 D．5

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：A（m，2）与点B（3，n）关于x轴对称，得 m=3，n=﹣2，

m+n=3+（﹣2）=1， 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

6．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是( )

A．85° B．90° C．95° D．100° 【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】根据折叠的性质：对应角相等，对应的线段相等，可得． 【解答】解：根据图形，可得：∠EMB′=∠EMB，∠FMB′=∠FMC， ∵∠FMC+∠FMB′+∠EMB′+∠BME=180°， ∴2（∠EMB′+∠FMB′）=180°， ∵∠EMB′+∠FMB′=∠FME， ∴∠EMF=90°． 故选B．

【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

7．把a3﹣ab2分解因式的正确结果是( ) A．（a+ab）（a﹣ab） B．a（a2﹣b2） C．a（a+b）（a﹣b） D．a（a﹣b）2 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：a3﹣ab2， =a （a2﹣b2）， =a（a+b）（a﹣b）． 故选C．

【点评】本题需要进行二次因式分解，因式分解一定要分解彻底．

8．下列命题中，正确的是( ) A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应边上的高相等 【考点】命题与定理．

【分析】利用全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、全等三角对应边上的高相等，故错误； B、全等三角形的对应边的中线相等，故错误； C、全等三角形的对应角的平分线相等，故错误； D、全等三角形的对应边上的高相等，正确， 故选D．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质，难度不大．

9．下列各组中的两个分式不相等的是( ) A．

与

B．

与﹣

C．与 D．

与

【考点】分式的基本性质．

【分析】根据分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案． 【解答】解：A、

分子分母都乘以2y，得

，故A正确；

B、分子分母都除以﹣2mn，得﹣，故B正确；

C、分子分母都除以﹣5，得，故C正确；

D、=，故D错误；

故选：D．

【点评】本题考查了分式的性质，分式分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（或整式），结果不变．

10．如果一个三角形两边分别为2cm、7cm，且第三边为奇数，则此三角形为( ) A．不等边三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【考点】三角形三边关系． 【专题】探究型．

【分析】根据三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以求得第三边的取值范围，又由第三边为奇数，可以求得第三边的长，从而可以判断此三角形的形状． 【解答】解：∵一个三角形两边分别为2cm、7cm，7﹣2=5，7+2=9， ∴5＜第三边＜9， ∵第三边为奇数， ∴第三边的长为7，

∴此三角形的三边长为，2cm、7cm、7cm， ∴此三角形为等腰三角形， 故选B．

【点评】本题考查三角形三边的关系，解题的关键是明确三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边．

11．如图，在五边形ABCDE中，∠CDE=80°，为了保证AE∥BC，则∠BCD+∠AED应等于( )

A．100° B．260° C．280° D．275°

【考点】平行线的判定；多边形内角与外角．

【分析】过点D作DF∥AE∥BC，利用平行线的判定解答即可．

【解答】解：过点D作DF∥AE∥BC，如图：

∵DF∥AE∥BC，

∴∠AED+∠EDF=∠FDC+∠BCD=180°， ∵∠CDE=80°，

∴∠BCD+∠AED=360°﹣80°=280°，

故选C．

【点评】本题主要考查平行线的判定，关键是过点D作DF∥AE∥BC，利用平行线的性质解答．

12．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC=30°，下列结论：

①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．其中正确结论的个数有( )

A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FA=FC，根据等边三角形的性质可得EA=EC，根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段AC的垂直平分线；根据条件及等边三角形的性质可得∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC，从而得到DF∥AE，DA∥EF，可得到四边形ADFE为平行四边形而不是菱形；根据平行四边形的对角线互相平分可得AD=AB=2AF=4AG；易证DB=DA=EF，∠DBF=∠EFA=60°，BF=FA，即可得到△DBF≌△EFA．

【解答】解：连接FC，如图所示： ∵∠ACB=90°，F为AB的中点， ∴FA=FB=FC，

∵△ACE是等边三角形， ∴EA=EC，

∵FA=FC，EA=EC，

∴点F、点E都在线段AC的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AC，即EF⊥AC；

∵△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB的中点，

∴DF⊥AB即∠DFA=90°，BD=DA=AB=2AF，∠DBA=∠DAB=∠EAC=∠ACE=60°． ∵∠BAC=30°，

∴∠DAC=∠EAF=90°，

∴∠DFA=∠EAF=90°，DA⊥AC， ∴DF∥AE，DA∥EF，

∴四边形ADFE为平行四边形而不是菱形； ∵四边形ADFE为平行四边形， ∴DA=EF，AF=2AG，

∴BD=DA=EF，DA=AB=2AF=4AG； 在△DBF和△EFA中，

，

∴△DBF≌△EFA；

综上所述：①③④正确， 故选C．

【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的性质、线段垂直平分线的判定、平行四边形判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性比较强，有一定难度．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

13．已知（2x+3）n=1，则x的取值范围是x≠﹣（n=0），x=﹣1（n是任意整数）或x=﹣2（n是偶数）．

【考点】零指数幂．

【专题】计算题；推理填空题．

【分析】首先根据任何非0数的0次幂等于1，可得

；然后根据（2x+3）n=1，

可得2x+3=1（n是任意整数），或2x+3=﹣1（n是偶数），据此求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵（2x+3）n=1， ∴

，

∴x≠﹣（n=0）；

∵（2x+3）n=1，

∴2x+3=1（n是任意整数），或2x+3=﹣1（n是偶数）， ∴x=﹣1（n是任意整数），或x=﹣2（n是偶数），

综上，可得x的取值范围是 x≠﹣（n=0），x=﹣1（n是任意整数）或x=﹣2（n是偶数）． 故答案为：x≠﹣（n=0），x=﹣1（n是任意整数）或x=﹣2（n是偶数）．

【点评】此题主要考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．

14．内角和与外角和之比是5：1的多边形是十二边形． 【考点】多边形内角与外角． 【专题】计算题．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°，结合比例式列出方程，然后解方程即可得解．

【解答】解：设多边形的边数为n， 则（n﹣2）?180°：360°=5：1， ∴（n﹣2）?180°=5×360°， 解得n=12．

故答案为：十二．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式与外角和是解题的关键． 15．D、E分别是AB、AC上的点，如图，在等边△ABC中，且AD=CE，则∠BCD+∠CBE=60度．

【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】根据等边三角形的性质，得出各角相等各边相等，已知AD=CE，利用SAS判定△ADC≌△CEB，从而得出∠ACD=∠CBE，所以∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形 ∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC ∵AD=CE

∴△ADC≌△CEB ∴∠ACD=∠CBE

∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°． 故答案为60．

【点评】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS，SAS，AAS，HL等．

16．计算：=．

【考点】分式的乘除法． 【专题】计算题．

【分析】根据分式的乘法法则，分子乘分子，分母乘分母，约去公因式后，即可计算出结果．【解答】解：

，

=，

=．

．

故答案为：

【点评】此题考查学生掌握分式的乘法法则，会进行约分的计算，是一道基础题．

17．观察下列单项式：xy2，﹣2x2y4，4x3y6，﹣8x4y8，16x5y10，…根据你发现的规律写出第n个单项式为（﹣1）n+12n﹣1xny2n． 【考点】单项式． 【专题】规律型．

【分析】通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数，2的指数为（n﹣1），x的指数为n时，y的指数为2n；n为偶数时，单项式为负数，2的指数为（n﹣1），x的指数为n时，y的指数为2n；由此可解出本题．

【解答】解：∵n为奇数时，单项式为正数，2的指数为（n﹣1），x的指数为n时，y的指

数为2n；n为偶数时，单项式为负数，2的指数为（n﹣1），x的指数为n时，y的指数为2n；

∴第n个单项式为（﹣1）n+12n﹣1xny2n． 故答案为：（﹣1）n+12n﹣1xny2n．

【点评】本题考查的是单项式，根据题意找出各式子的规律是解答此题的关键．

18．一个多边形的边数每增加1条时，它的内角和②，它的外角和③．（在下列5个备选答案中，把你认为正确答案的序号填在相应的空格内．①增加1；②增加180°；③不变；④增加360°；⑤不确定）． 【考点】多边形内角与外角．

【分析】利用n边形的内角和公式（n﹣2）?180°（n≥3）且n为整数），多边形外角和为360°即可解决问题．

【解答】解：根据n边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°， 可以得到每增加1条边时，边数变为n+1， 则内角和是（n﹣1）?180°，因而内角和增加：（n﹣1）?180°﹣（n﹣2）?180°=180°． 多边形外角和为360°，保持不变． 故答案为：②，③．

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式和外角和定理，是需要熟练掌握的内容．

三、解答题（共8小题，满分78分）

19．先化简，后求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中2x﹣y=18． 【考点】整式的混合运算—化简求值．

【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可． 【解答】解：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y =[x2+y2﹣x2+2xy﹣y2+2xy﹣2y2]÷4y =（4xy﹣2y2）÷4y

=x﹣y =（2x﹣y），

当2x﹣y=18时，原式=×18=9．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20．∠DAB的平分线与∠ABC的平分线相交于E．∠C+∠D=220°，如图，在四边形ABCD中，求∠E的度数．

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．

【分析】根据三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，结合角平分线的定义即可得到∠E与∠C+∠D之间的关系．

【解答】证明：∵∠DAB与∠ABC的平分线交于四边形内一点P，

∴∠PAB=∠DAB，∠PBA=∠ABC， ∴∠E=180°﹣（∠PAB+∠PBA） =180°﹣（∠DAB+∠CBA） =180°﹣（360°﹣∠C﹣∠D） =（∠C+∠D）， ∵∠C+∠D=220°，

∴∠E=（∠C+∠D）=110°．

【点评】本题考查了角平分线的定义，多边形内角和定理，关键是熟悉三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°．

21．阅读下列材料，并解答相应问题：

对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有： x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2=（x+a）2﹣（2a）2=（x+3a）（x﹣a） （1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是B； A．提公因式法 B．十字相乘法 C．配方法 D．公式法 （2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形； （2）用上述方法把m2﹣6m+8分解因式． 【考点】因式分解-十字相乘法等． 【专题】计算题；阅读型． 【分析】（1）以上把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法； （2）这种方法的关键是利用公式变形； （3）原式利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：（1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是十字相乘法； （2）这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形； （3）原式=m2﹣6m+9﹣1=（m﹣3）2﹣1=（m﹣3+1）（m﹣3﹣1）=（m﹣2）（m﹣4）， 故答案为：（1）B；（2）利用完全平方公式及平方差公式变形

【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．

22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：AD=CE； （2）求∠DFC的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】作图题．

【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC． 又∵AE=BD，

∴△AEC≌△BDA（SAS）． ∴AD=CE；

（2）解：

∵（1）△AEC≌△BDA， ∴∠ACE=∠BAD，

∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．

【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．

23．某厂要定期加工完成一批零件，如果甲车间单独加工，刚好能如期完成；如果乙车间单独加工，要超过4天才能完成．现在甲、乙两车间共同加工3天，然后由乙车间单独加工，比定期加工少3天，则刚好能如期完成．问定期加工完成是多少天？ 【考点】分式方程的应用．

【分析】关键描述语为：“由甲、乙两队合作3天，然后由乙车间单独加工，比定期加工少3天，则刚好能如期完成”；本题的等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1，把相应数值代入即可求解．

【解答】解：设规定日期为x天，则甲工程队单独完成要x天，乙工程队单独完成要（x+4）天，

根据题意得：，

解得：x=12，

经检验，x=12是原方程的解且符合题意． 答：定期加工完成是12天．

【点评】本题考查了分式方程的应用；根据工作量为1得到相应的等量关系是解决本题的关键；易错点是得到两人各自的工作时间．

24．先化简，再求值：

÷（m﹣1﹣

），其中m是方程+=1的解．

【考点】分式的化简求值；解分式方程．

【专题】计算题；分式．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出已知方程的解得到m的值，代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=

，

已知方程去分母得：m2+2m﹣2=m2﹣m， 解得：m=，

则原式=﹣3．

【点评】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

25．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF；

（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

÷

=

?

=

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．

CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°（2）由（1）得，

所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，

∵，

∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．

（2）解：GE=BE+GD成立．

理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． ∵

，

∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．

∴GE=DF+GD=BE+GD．

【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．

26．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

（1）如图1，若点O在边BC上，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．求证：△OEB≌△OFC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由HL证明Rt△OEB≌Rt△OFC，即可得出结论；

（2）过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，由HL证明Rt△BOE≌Rt△COF，得出∠EBO=∠FCO，再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB，∠ABC=∠ACB，即可得出结论；

（3）不一定成立，①过点O作OE⊥AB的延长线于点E，作OF⊥AC的延长线于点F时，则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°，由HL证明Rt△BOE≌Rt△COF，得出∠DEO=∠FCO， 再由OB=OC，得出∠OBC=∠OCB，∠EBC=∠FCB，∠ABC=∠ACB，即可得出AB=AC

②过点O作OE⊥AB于点E，成立；作OF⊥AC的延长线于点F时，连接OA，则OE=OF，由HL证明Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），得出AD=AE，故AB=AC不成立．

【解答】（1）证明：在Rt△OEB和Rt△OFC中，，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL）， ∴△OEB≌△OFC；

（2）证明：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，如图1所示： 则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90° 在Rt△BOE和Rt△COF中，

，

∴Rt△BOE≌Rt△COF（HL）， ∴∠EBO=∠FCO， ∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，理由如下： 分两种情况：

①过点O作OE⊥AB的延长线于点E，作OF⊥AC的延长线于点F，如图2所示： 则OE=OF，∠OEB=∠OFC=90°， 在Rt△BOE和Rt△COF中，

，

∴Rt△BOE≌Rt△COF（HL）， ∴∠DEO=∠FCO ∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB， ∴∠EBC=∠FCB， ∴∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC；

②过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC的延长线于点F，连接OA，如图3所示： 则OE=OF，

在Rt△AOE和Rt△AOF中，

，

∴Rt△AOE≌Rt△AOF（HL）， ∴AD=AE， ∴AB＞AC．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形全等的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，本题有一定难度，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结论．

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