2018年北京市高考期末理科数学试题分类汇编之函数与导数、不等式

（二）试题解析

1. （2018·西城期末·2）下列函数中，在区间(0,??)上单调递增的是 （A）y??x?1（B）y?|x?1|（C）y?sinx（D）y?x2 【答案】D

2.（2018·西城区期末·7）已知A，B是函数y?2的图象上的相异两点．若点A，B到

直线

的距离相等，则点A，B的横坐标之和的取值范围是

x1（A）(??,?1) 【答案】B

（B）(??,?2) （C）(?1,??) （D）(?2,??)

3.（2018·西城区期末·14）已知函数

域是____；若f(x)的值域是【答案】

；

若c?0，则f(x)的值

，则实数c的取值范围是____．

4.（2018·石景山期末·6）给定函数①y?x，②y?log1(x?1)，③y?x?1，④y?2x?1，

212其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】C

11?1?5.（2018·石景山期末·9）若a?ln，则a,b,c的大小关系为_______. b???，c?23，

2?3?0.8【答案】a?b?c

x?x6.（2018·昌平区期末·6）已知函数f(x)?e?e,则函数f(x)

A．是偶函数，且在(??,0)上是增函数 B. 是奇函数，且在(??,0)上是增函数 C. 是偶函数，且在(??,0)上是减函数 D. 是奇函数，且在(??,0)上是减函数 【答案】C

7.（2018·丰台期末·14）已知函数f?x?????xsinx,0?x??,g?x??f?x??kx?k?R?.

??x,x??,①当k?1时，函数g?x?有 个零点；

②若函数g?x?有三个零点，则k的取值范围是 ． 【答案】1，?0,

8.（2018·通州区期末·6）已知a，b?R，a?b?0，则下列不等式一定成立的是 A.

【答案】D

??????? ?11? B. tana?tanb C. log2a?log2bD.a?2?b?b?2?a ab

?2x?a?x?2?9.（2018·通州区期末·14）已知函数f?x???无零点，那么实数

?a?x?x≥2a的取值范围是_______.

【答案】???,?4???0,2?

??x?4,x?3, （

?logax,x?3且

），函数

10.（2018·昌平区期末·14）若函数f(x)??.

①若，函数无零点，则实数的取值范围是 ；

②若有最小值，则实数的取值范围是 ．

【答案】[?1,1) ；(1,3]

11.（2018·房山区期末·6）下列函数是奇函数且在区间(1,+?)上单调递增的是

（A）f(x)??x3 （B）f(x)? （C）f(x)?x?【答案】C

12.（2018·朝阳区期末·7）已知函数f(x)?x?x?a的图象与直线y??1的公共点不少

x

11?x （D）f(x)?ln x1?x于两个，则实数a的取值范围是

A.a??2 B.a??2 C.?2?a?0 D.a??2 【答案】B

4x?113. （2018·东城区期末·5） 已知函数f(x)=，则f(x)的 x2A.图像关于原点对称，且在[0,??)上是增函数 B. 图像关于y轴对称，且在[0,??)上是增函数 C. 图像关于原点对称，且在[0,??)上是减函数 D. 图像关于y轴对称，且在[0,??)上是减函数

【答案】B

四、导数与函数

（一）试题细目表

区县+题号 2018·房山区期末·19 2018·海淀区期末·19 2018·丰台区期末·18 2018·石景山期末·18 2018·通州区期末·19 2018·昌平区期末·19 2018·朝阳区期末·18 2018·东城区期末·18 类 型 解答 解答 解答 解答 解答 解答 解答 解答 考 点 切线方程、函数最值 切线方程、函数零点 单调区间、恒成立 函数性质、切线方程、函数零点 单调区间、恒成立 切线方程、函数最值 切线方程、函数零点、函数最值 切线方程、函数最值 思 想 方 法 分类讨论 分类讨论 （二）试题解析

1.（2018·房山区期末·19）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?xlnx?mx．

（Ⅰ）当m?1时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （??）当m?0时，设g(x)?2f?x?,求g(x)在区间[1,2]上的最大值． x【答案】解：(I)当m?1时，f(x)?xlnx?x2

所以f'(x)?lnx?2x?1. 所以f(1)?1，切点为(1,1).

f'(1)?3

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?1?3(x?1)即y?3x?2

…………………6分

（??）因为g'(x)?11?mx1?mx1?m??0,则x?? ，x??1,2?,令xxxm1当m??1时, 0???1,g'(x)?0,g(x)为减函数

m所以g(x)的最大值为g(1)=m

11当-1?m??时, 1???2时

2mx 11 ? （-,2）1?? 1，-mm??m??+ ↗ 0 极大 - ↘ g?(x) g(x) 所以g(x)的最大值为g(?当-1)??1?ln(?m) m11?m?0时, ??2时，g'(x)?0恒成立，g(x)为增函数 2m所以g(x)的最大值为g(2)?2m?ln2

………………13分 2.（2018·海淀区期末·19）已知函数f(x)?2e?ax?2x?2. （Ⅰ）求曲线y?f(x)在点处的切线方程；

（Ⅱ）当a?0时，求证：函数f(x)有且仅有一个零点；

（Ⅲ）当a?0时，写出函数f(x)的零点的个数.（只需写出结论） 【答案】（Ⅰ）因为函数f(x)?2e?ax?2x?2

所以f'(x)?2e?2ax?2 ……………..2分 故f(0)?0，f'(0)?0 ……………..4分

曲线y?f(x)在x?0处的切线方程为y?0 ……………..5分

xx2x2（Ⅱ）当a?0时，令g(x)?f'(x)?2e?2ax?2，则g'(x)?2e?2a?0 ……………..6分

故g(x)是R上的增函数. ……………..7分 由g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，当x?0时，g(x)?0.

即当x?0时，f'(x)?0，当x?0时，f'(x)?0.

故f(x)在(??,0)单调递减，在(0,??)单调递增.……………..9分 函数f(x)的最小值为f(0)…………….10分

由f(0)?0，故f(x)有且仅有一个零点. …………….12分

（Ⅲ）当a?1时，f(x)有一个零点；当a?0且a?1时，f(x)有两个零点. ……………..14分

3.（2018·丰台区期末·18）已知函数f?x??x?ax?alnx?a?R?.

22xx（Ⅰ）求函数f?x?的单调区间；

（Ⅱ）若f?x??0恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】解：（Ⅰ）函数f?x?的定义域为?0,???，

2x2?ax?a2?x?a??2x?a?f??x???.

xx由f??x??0，可得x?a或x??a， 2当a?0时，f??x??0在?0,+??上恒成立，

所以f?x?的单调递增区间是?0,+??，没有单调递减区间； 当a?0时，x,f??x?,f?x?的变化情况如下表：

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