离散时间信号与系统分析

离散时间信号与系统分析

5-1 下列系统中，x(n)表示激励，y(n)表示响应。试判断每个激励与响应的关系是否线性的，是否具有非移变性。

n2n???)（2）y(n)??x(m)（1）y(n)?x(n)cos(510m???

解：

（1）线性性

y1(n)?x1(n)cos(则

2n???)510 2n??y2(n)?x2(n)cos(?)510

2n???)?k1y1(n)?k2y2(n)510

所以系统是线性的。 移变性

k1x1(n)?k2x2(n)?[k1x1(n)?k2x2(n)]cos(y(n)?x(n)cos(则

2n???)510

2n???)?y(n?m)510

nx(n?m)?y'(n)?x(n?m)cos(所以系统是移变系统。

（2）线性性

y1(n)?则

nm????x(n)1ny2(n)?，

m????x(n)22

m????[kx(n)?kx(n)]?ky(n)?ky(n)1122112所以系统是线性的。 移变性

y(n)?设 则

nm????x(n)n

n?kn?kx(n?k)?y'(n)?m????x(n?k)而m?k?p故?x(p)??x(m)?y(n?k)p???m???所以系统是非移变的。

5-2求下列信号的卷积。

（1）[u(n)?u(n?4)]?[u(n)?u(n?4)]

（2）sin(解：

n?)u(n)?2nu(n)2

（1）由卷积的性质可知

n5-3 已知差分方程y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?f(n)，激励f(n)?2u(n)，初始值

[u(n)?u(n?4)]?[u(n)?u(n?4)]?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]?[?(n)??(n?1)??(n?2)??(n?3)]??(n)?2?(n?1)?3?(n?2)?4?(n?3)?3?(n?4)?2?(n?5)??(n?6)

21111?i??in?zz（2）Z[sin()u(n)*2nu(n)]?2??5?510?510

2z?1z?2z?2z?iz?i21111?i??in?sin()u(n)?2nu(n)?Z?1[5?510?510]2Z?2Z?iZ?i21111?[?2n?(?i)in?(??i)(?i)n]u(n)5510510

y(0)?0，y(1)?2，试用零输入、零状态法求全响应y(n)。

解：

①求零输入响应yzir(n)。系统的特征方程为p2?3p?2?0，故特征根为p1??1，

p2??2，故零输入响应的通解yzrs(n)?A1(?1)k?A2(?2)k。待定系数A1，A2必须根据

系统的起始条件来求，而不能根据初始值y(0)?0，y(1)?2来求。又因为激励f(n)是在n?0时刻作用于系统。故起始条件应为y(?1)，y(?2)。下面求y(?1)，y(?2)。

取n?1代入原差分方程有 即 2?0?2y(?1)?2

故得 y(?1)?0

取n?0代入原差分方程有 即 故得

y(1)?3y(0)?2y(?1)?2

y(0)?3y(?1)?2y(?2)?1

0?0?2y(?2)?1

12。

将所求得的y(?1)，y(?2)值代入通解中，有

1yzir(?1)??A1?A2?0211yzir(?2)?A1?A2?42

联立求解，得A1?1，A2??2，故零输入响应为

y(?2)?yzir(n)?(?1)k?2(?2)k②差分方程的转移算子为

(k?0)

故单位取样响应为

P2PH(P)???P1?3P?1?2P?2P2?3P?2(P?1)(P?2)?12?P2P?P(?)??P?1P?2P?1P?2

1③零状态响应为

h(n)?[?(?1)n?2(?2)n]u(n)

yzsr(n)?f(n)?h(n)?2n?[?(?1)n?2(?2)n]?2n?[?(?1)n]?2n?2(?2)n11??(?1)n?2n?(?2)n(n?0)33④全响应为y(n)?yzir(n)?yzsr(n)，即

21y(n)?(?1)n?2n?(?2)n(n?0)33

5-4用经典法求解差分方程的全响应。

（1）y(n)?5y(n?1)?6y(n?2)?u(n)，y(?1)?3，y(?2)?5；

（2）y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?u(n)?3u(n?1)，y(0)?1，y(1)?1。

解：

（1） 初始条件：

由方程知 即

y(0)?5y(?1)?6y(?2)?1?15?30?1??14 y(1)?5y(0)?6y(?1)?1??70?18?1??87

?2?5??6?0，

?1?2，?2?3。

齐次解为

yp(n)?k12n?k23n将初始条件

代入，得

?y(0)??14??y(1)??87

?1?k1?k2??14??2??1?2k?3k??812??2，

即

?k1?44??117k??2??2，

所以

y(n)?

1117n?44?2n?322，n?0。

2（2）齐次解： 由方程可得??3??2?0，计算得?1?1，?2?2。

则齐次解为 y(n)?kn12?k2特解为

y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?4

因为?1?1是特征单根，所以yp(n)?An。 可得

An?3A(n?1)?2A(n?2)?4A?4A?4

解此方程可得3，得A?4。

所以完全解为

y(n)?kn12?k2?4n将初始条件

??y(0)?1?y(1)?1代入，得

??k1?k2?1?2k1?k2?4?1，

即

??k1?4?k2??3，

所以

y(n)?2n?2?3?4n，n?0。

5-5 利用z变换性质求下列序列的z变换。

（1）(?1)nnu(n)（2）(n?1)2u(n?1)

ann（3）u(n)n?1（4）?(?1)i

i?0（5）(n?1)[u(n)?u(n?3)]?[u(n)?u(n?4)]

解：

（1） 方法一：设f1(n)?(?1)nu(n)，则F1(z)?zz?1，因为f(n)?nf1(n)，故根据z域微分性，有

|z|?1。 d?zF1(z)?(|z|?1)dz(z?1)2

dzz()?方法二：设f1(n)?nu(n)，则F1(z)??z。 dzz?1(z?1)2因为f(n)?(?1)nf1(n)，根据z域尺度变换性，有

z?zF(z)?F1()?(|z|?1)2?1(z?1)

F(z)??z（2） 设f1(n)?(n?1)u(n?1)，则根据移位性，有F1(z)?z因为f(n)?(n?1)f1(n)，故由线性性和z域微分性，得

?1z1?。

(z?1)2(z?1)2dz?1F1(z)?F1(z)?(|z|?1)dz(z?1)3

2或f(n)?(n?2n?1)u(n?1)，根据线性性，z域微分性以及时域序列移位性，有

dd1d11F(z)??z[?z()]?2[?2()]?dzdzz?1dzz?1z?1z(z?1)2z1???(z?1)3(z?1)2(z?1)z?1?(|z|?1)(z?1)3

z(|z|?a)。 （3）设f1(n)?anu(n)，则F1(z)?z?a根据z域积分性，有

?F(x)?1zzF(z)?z?12dx??dx?ln(|z|?a)zzxx(x?a)az?a

z(|z|?1)。 （4）设f1(n)?(?1)nu(n)，则F1(z)?z?1F(z)??z因为f(n)??f(i)，故根据时域部分求和性质，有

1i?0nzz2F(z)?F1(z)?2(|z|?1)z?1z?1

（5）设f1(n)?(n?1)[u(n)?u(n?3)]，f2(n)?u(n)?u(n?4)。则

zz3z?21z3?z2?1F1(z)?????2(z?1)2(z?1)z2(z?1)2z2(z?1)2z(z?1)?z3?zz4?1(z2?1)(z?1)F2(z)??3?z?1z(z?1)z3根据卷积定理，得

(z2?1)(z?1)(z3?z2?1)F(z)?F1(z)F2(z)?z3(z?1)

(n?1)[u(n)?u(n?3)]?[u(n)?u(n?4)]

5-6 已知因果序列x(n)的z变换X(z)，求序列的初值x(0)和终值x(?)。

1?z?1?z?2（1）X(z)?

(1?2z?1)(1?z?1)1（2）X(z)?(1?0.5z?1)(1?0.5z?1)

解：

（z）（1）根据初值定理，有x(0)?limX(z)?1，因为X存在极点z?2，不满足终

z??值定理的条件，x(?)不存在。

（z）（2）根据初值定理，有x(0)?limX(z)?1，因为X的极点都在单位圆内，满足

z??终值定理条件，所以x(?)?lim(z?1)X(z)?0。

z?1

z3?2z2?15-7 已知F(z)?3，|z|?1，求f(n)。 2z?1.5z?0.5zf(n)?2?(n?1)?6?(n)?[8?13(0.5)n]u(n)。

解：

因为|z|?1，可知f(n)为右边序列。

幂级数展开法。采用长除法可以将F(z)展开成幂级数，即

F(z)?1?3.5z?1?4.75z?2?6.375z?3?故

5-8 用单边z变换求解下列方程，并指出其中的零状态响应分量与零输入响应分量，稳态响应分量与瞬态响应分量。

（1）y(n)?0.1y(n?1)?0.02y(n?2)?10u(n)，y(?1)?4，y(?2)?6；

（2）y(n)?2y(n?1)?(n?2)u(n)，y(0)?1。

解：利用z变换解差分方程的步骤是：

①对差分方程取单边z变换，并代入起始条件，将差分方程变换为一个z域的代数方程，正确应用单边z变换的位移性是这一步的关键；

②解z域的代数方程得Y(z)；

③求y(n)?Z[Y(z)]。

（1）对差分方程两边同时取单边z变换，得

?1f(n)?{1，3.5,4.75,6.375,}

Y(z)?0.1[z?1Y(z)?y(?1)]?0.02[z?2Y(z)?z?1y(?1)?y(?2)]?移项并整理，得

10zz?1

代入初始值并化简，得

10z?0.1y(?1)?0.02z?1y(?1)?0.02y(?2)Y(z)?z?11?0.1z?1?0.02z?2

10z?0.28?0.08z?1Y(z)?z?11?0.1z?1?0.02z?2?1?0.1z?1?0.02z?2?10z3?0.28z2?0.08z(z?1)(z2?0.1z?0.02)?z2?0.1z?0.02Yzs(z)Yzi(z)则零状态响应为

y?1?110z3zs(n)?Z[Yzs(z)]?Z[(z?1)(z2?0.1z?0.02)]?Z?1[101.08?zz?1?12.7?zz?0.1?109?z

z?0.2] ?[9.259?0.370?0.1n?1.111?(?0.2)n]U(n)

yn)?Z?1[Y?1?0.28z2?0.08zzi(zi(z)]?Z[z2?0.1z?0.02]?Z?1[0.52z1.36z3?z?1?3?z?0.2]?0.173?0.1n?0.453?(?0.2)nn?0

y(n)?yzs(n)?yzi(n)?9.259?[?0.197?0.1n?0.658?(?0.2)n]，其中，9.259为稳态响应，?0.197?0.1n?0.658?(?0.2)n为瞬态响应。

（2） Y(z)?2[z?1Y(z)?y(?1)]?z2（z?1）2－zz?1 由于y(0)?1，通过迭代可求得y(?1)，即

y(n?1)?12[(n?2)U(n)?y(n)]令n?0，得y(?1)?13

2[?2?1]??2。

z?2zY(z)?(z?1)2(z?1)3z(?2z2?3z)3z1?2z?1?1?2z?1?(z?1)2(z?2)?z?2?[1z3?4z14z3z(z?1)2?9?z?1?9?z?2]?z?2Yzs(z)Yzi(z)故

y[1414zs(n)?3n?9?9(?2)n]U(n)

ynzi(n)?3(?2)，n?0

y(n)?y1413zi(n)?yzs(n)?3n?9?9(2)n，n?0

由于存在极点?2，是个不稳定系统，故无稳态响应分量。

n?0

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/x8vo.html