高等代数(第三版)1.4

一、最大公因式的概念及求法 二、互素及其等价刻画 三、多项式组情形第一章 多项式

一、最大公因式概念及求法定义1 如果 ( x)既是f ( x)的因式，又是g ( x) 的因式，那么 ( x)就称为f ( x)与g ( x)的一个 公因式定义2 设f ( x),g ( x)是P[ x]中的两个多项式， P[ x]中的多项式d ( x)称为f ( x)与g ( x)的一个 最大公因式，如果满足 (1) d ( x)是f ( x), g ( x)的公因式； (2) f ( x), g ( x)的公因式全是d ( x)的因式.第一章 多项式

引理 1

如果有等式 f ( x) q( x) g ( x) r ( x)

成立， 那么 f ( x) ,g ( x)和g ( x) , r ( x)有相同的公因式 .定理2 对于P[x]中任意两个多项式f ( x), g ( x),

在p( x)中存在一个最大公因式d ( x), 且d ( x)可以 表成f ( x), g ( x)的一个组合，即有P[x]中多项式 u ( x), v( x)使 d ( x) u ( x) f ( x) v( x) g ( x)第一章 多项式

注1、两个多项式的最大公因式在相差一个

非零常数倍的意义下是唯一确定的.2、约定首项系数是1的那个最大公因式记

为： ( f ( x), g ( x))3、定理证明中用来求最大公因式的方法 称为辗转相除法第一章 多项式

例1 令Q是有理数域，求出Q[x]的多项式 f x 4 x 4 2 x3 16 x 2 5 x 9, g x 2 x3 x 2 5 x 4 的最大公因式d ( x)以及满足等式 u x f x v x g x d x 的多项式u ( x), v( x).

解对 f x 与 g x 施行辗转相除法. 因为在求多项式 u( x ).

与 v( x ) 时，不仅要用到余式，同时也要用到商式.施

行除法的结果，我们得到以下一串等式：

第一章 多项式

f x g x 2 x 6 x 2 3x 9 , 1 1 g x 6 x 3x 9 x x 1 , 3 3 6 x 2 3 x 9 x 1 6 x 9 .2

由此得出， x 1 是 f x 与 g

x 的最大公因式，而

1 1 u x x 1 , v x 2 x 2 2 x 3 3 3

第一章 多项式

二、多项式互素及其等价刻画定义3 P[x]两个多项式f ( x), g ( x)称为互素的， 如果(f ( x), g ( x)) 1.

定理3 P[x]中两个多项式f ( x), g ( x) 互素的充分必要条件是有P[x]中的 多项式u x , v( x)使 f x u x g x v x 1第一章 多项式

定理4

如果(f ( x),g ( x)) 1, 且f ( x)|g ( x)h( x) , 那么f ( x)|h( x)

证明： 使得

由(f (x),g(x))=1可知， 存在u(x ),v(x ) u(x)f(x)+v(x)g(x)=1

等式两边乘h(x), u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x) 因为f(x)|g(x)h(x), 所以，f(x)|h(x).第一章 多项式

从上定理我们可以推出关于互素多项式的 以下重要事实.推论1 如果f ( x)|g ( x) , h( x)|g ( x) , 且(f ( x) ,h( x)) 1, 那么， f ( x)h( x)|g ( x).证明： 由f (x)|g

(x)有 g(x )=f (x)q(x ) 因为h (x)|f (x)q(x), 且(f (x ),h (x))=1, 由定理4, h (x)|q(x), 所以q(x)=h (x)p(x), 代入上式得 g(x)=f (x)h (x)p(x), 即 f(x)h(x)|g(x).第一章 多项式

推论2 如果(f (x),h(x))=1, (g(x),h(x))=1, 那么(f (x)g(x),h(x))=1.证明： 因为(f (x),h (x))=1, 则存在u(x ),v(x )使得 f (x)u(x)+h (x)v(x)=1, 同理，存在p(x),q(x)使得 g(x)p(x)+h(x)q(x)=1 上两式相乘得 f(x)g(x)(u(x)p(x)) +h(x)(f(x)u(x)q(x)+g(x)p(x)v(x)+h(x)v(x)q(x))=1 由定理 3可知， (f(x)g(x),h(x))=1.第一章 多项式

三、最大公因式与互素的概念的推广d ( x)称为f1 ( x), f 2 ( x), 最大公因式, 如果 (1) d ( x) | f i ( x), i 1, 2, 记为( f1 ( x), f 2 ( x), , f s ( x)( s 2)的 ,s , s, 那么 ( x) | d ( x).

(2) 如果 ( x) | fi ( x), i 1, 2, , f s ( x)).

如果( f1 ( x), f 2 ( x), 则称f1 ( x), f 2 ( x),第一章 多项式

, f s ( x)) 1 , , f s ( x)互素.

与定理2、定理3相同的结论：d ( x)是f1 ( x), f 2 ( x), , f s ( x)的首项系数是1的最 大公因式，则存在u1 ( x), u2 ( x), , us ( x) 使得 f1 ( x)u1(x)+f 2 ( x)u2 ( x) 成立f1 ( x), f 2 ( x), , f s ( x)互素的充分必要 , us ( x)使得 f s ( x)us ( x) 1

f s ( x)us ( x) d ( x)

条件是存在u1 ( x), u2 ( x), f1 ( x)u1 (x)+f 2 ( x)u2 ( x) 第一章 多项式

作业：P45:6(1), 8, 9

第一章 多项式

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