大学物理8-10章1

习题八

8-1 质量为10?10?3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8??2?3)(SI)的规律

作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)t2?5s与t1?1s两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为x?Acos(?t??0)，则知：

A?0.1m,??8?,?T?2???14s,?0?2?/3

又 vm??A?0.8?m?s?1 ?2.51m?s?1

am??A?63.2m?s?2

2(2) Fm?am?0.63N

E?Ep12mvm?3.16?10122?2J

?2?Ek?E?1.58?10J

当Ek?Ep时，有E?2Ep， 即

12kx2?122?(12kA) 220m

2∴ x??2A?? (3) ????(t2?t1)?8?(5?1)?32?

8-2 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示．如果t?0时质点的状态分别是： (1)x0??A；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过x?A2处向负向运动；

A2?x0?Acos?0?v0???Asin?0(4)过x??处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ?

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

2??1??x?Acos(t??)

?2?32?x?Acos(T2?Tt?32?)

?3??4??35?4x?Acos(x?Acos(2?T2?Tt?t??354)

?)

8-3 一质量为10?10?3kg的物体作谐振动，振幅为24cm，周期为4.0s，当t?0时位移为?24cm．求：

(1)t?0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x?12cm处所需的最短时间； (3)在x?12cm处物体的总能量．

解：由题已知 A?24?10?2m,T?4.0s ∴ ??又，t?0时，x0??A,??0?0 故振动方程为

x?24?10?22?T?0.5??1rad?s

cos(0.5?t)m

(1)将t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?x??10?10?32?(?2)?0.17??4.2?102?3

N方向指向坐标原点，即沿x轴负向． (2)由题知，t?0时，?0?0，

t?t时 x0??A2,且v?0,故?t??3

/∴ t????323 (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为

11222E?kA?m?A221?3?22??10?10()?(0.24) 22?7.1?10J8-4 有一轻弹簧，下面悬挂质量为1.0g的物体时，伸长为4.9cm．用这个弹簧和一个质量

?4????2s

为8.0g的小球构成弹簧振子，将小球由平衡位置向下拉开1.0cm后 ，给予向上的初速度

v0?5.0cm?s?1，求振动周期和振动表达式．

m1gx1?1.0?10?3解：由题知k??9.8?24.9?10?0.2N?m?1

而t?0时，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1 ( 设向上为正) 又 ??km?0.28?10?3?5,即T?2???1.26s

?A?x0?(2v0?)2??tan?0??v0x0??(1.0?102?105.0?10?2?2)?(25.0?1055?4?22)

?2m?1,即?0??2?2

1.0?10?5∴ x?2?10cos(5t?54?)m

8-5 图为两个谐振动的x?t曲线，试分别写出其谐振动方程．

题8-5图

解：由题8-5图(a)，∵t?0时，x0?0,v0?0,??0?即 ??2?T??rad?s?1

32?,又,A?10cm,T?2s

故 xa?0.1cos(?t?由题8-5图(b)∵t?0时，x0?A2,v0?0,??0?325?3?)m

t1?0时，x1?0,v1?0,??1?2???2

53又 ?1???1?∴ ??56??52?

?

56故 xb?0.1cos(?t?5?3)m

8-6 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，位相与第一振动的

?位相差为，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动

6的位相差．

题8-6图

解：由题意可做出旋转矢量图如下．

由图知

A2?A1?A?2A1Acos30??(0.173)?(0.2)?2?0.173?0.2??0.01222223/2

∴ A2?0.1m 设角AA1O为?，则

A2222?A1?A2?2A1A2cos?

即

?2cos??A1?A2?A2A1A222?(0.173)?(0.1)?(0.02)2?0.173?0.1222

?0即??，这说明，A1与A2间夹角为

?2?，即二振动的位相差为.

28-7 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅： ????x?5cos(3t?)cmx?5cos(3t?)cm?1?133(1) ? (2)? 7?4??x2?5cos(3t??x2?5cos(3t?)cm)cm33??7??解： (1)∵ ????2??1???2?,

33∴合振幅 A?A1?A2?10cm (2)∵ ???4?3??3??,

∴合振幅 A?0

8-8 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为

???x1?0.4cos(2t?6)m ?5?x2?0.3cos(2t??)m6?试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。

?5解：∵ ????(??)??

66∴ A合?A1?A2?0.1m

A1sin?1?A2sin?2A2cos?1?A2cos?20.4?sin?0.4cos?6?0.3sin?0.3cos5?65?6?33tan???6

∴ ??其振动方程为

?6

x?0.1cos(2t??6)m

(作图法略)

习题九

9-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?

解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为y?f(t)；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x，又是时间t的函数，即y?f(x,t)． (2)在谐振动方程y?f(t)中只有一个独立的变量时间t，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位置x和时间t，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律． 当谐波方程

续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．

y?Acos?(t?)u中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持x(3)振动曲线y?f(t)描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y，横轴为t；波动曲线y?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．

u)+?0］中的u表示什么?如果改写为y=Acos 9-2 波动方程y=Acos［?(

?x?xx?t???0t?uu)+?0］的值不()，u又是什么意思?如果t和x均增加，但相应的［?(

变，由此能从波动方程说明什么?

?xt?xx解: 波动方程中的x/u表示了介质中坐标位置为x的质元的振动落后于原点的时间；u则表示x处质元比原点落后的振动位相；设t时刻的波动方程为

?xyt?Acos(?t???0)u

则t??t时刻的波动方程为

?(x??x)yt??t?Acos[?(t??t)???0]u

?x(?t?)x?tx?u?ttu其表示在时刻，位置处的振动状态，经过后传播到处．所以在中，?x(?t?)u的值不会变化，而这正好说明了经过时间?t，波形即向前传当t，x均增加时，

?xy?Acos(?t???0)?x?u?tu播了的距离，说明描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．

9-3 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?

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