方法论试题库（章节） - 图文

方法论试题库（章节）

第一章 绪论

名词解释：1。方法论：是人们关于认识世界和改造世界的根本性的学科，是人们总结科学发现或发明的一般方法的理论。

简答：1。数学方法论的研究对象：关于数学功能的研究；关于数学内容辩证性质的研究；关于数学中常用方法的研究；关于数学思想方法的研究；关于数学思维的研究；关于数学推理的研究；关于数学语言的研究；关于数学人才成长规律的研究 2。数学方法论中数学内容辩证性质的研究

答。一。关于数学中矛盾的研究，即数学中有哪些重要的矛盾，它们的形势与发展规律是怎样的。二是关于数学中辩证法内容的分析，包括数学内容的辩证实质的分析和演进过程的分析等

3。试举四种数学中的一般科学认识方法

答：观察、分析、综合、比较、分类、抽象、概括等 4。试举四种数学中的特有的科学认识方法

答：抽象方法、公理化方法、模型方法、构造方法、试验方法、化归方法、映射方法等 论述：1。宏观和微观数学方法论的研究侧重点有何不同。 答：宏观数学方法论把数学置于各门科学以致客观世界中来认识，侧重于对数学发展的外部规律以及数学人才成长规律的研究。微观数学方法论从数学的内在联系中讨论数学中的一般研究方法，即着眼于数学的思想、观念，数学研究的方法，数学发现发明和创新法则等内部规律的研究。

2。数学方法论的数学功能。

一。科学功能，即数学作为一种科学语言和科学方法，它在自然科学、社会科学、哲学领域中具有方法论的价值。二。思维功能，即数学作为一种思维工具，是思维的体操，是进行思维活动的载体。三。社会功能，即数学作为认识世界、改造世界的工具，它在社会生产、经济、文化、教育等方面具有突出的地位与作用。四，心理功能，即数学是人类一种宝贵的文化财富，他在塑造人的健康完美的个性心理品质方面，具有特殊的意义与作用

3。论述数学思想方法形成和发展的规律：一。从整体上研究数学思想方法的系统进化，如从算术到代数，从综合几何到几何代数化，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，从手工证明到机器证明等几次重大数学思想方法突破的孕育、产生及其规律的分析。二。研究数学思想方法的个体发育，即对每一种数学思想方法的结构、功能、演变发展规律及其在数学发展中的地位、作用的分析探究等。

第二章 化归

填空：1。化归的方向或原则也可简述为：把实际问题化为数学问题，把数学问题化为代数问题，把代数问题化为解方程的问题。

名词解释：1。数学中的化归方法：将数学问题进行规范化，将一个新的、有待解决的或未能解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，从而最终求得解答的一种手段或方法。

简答：1。化归的三个方向：由未知化为已知，由困难化为容易，由繁琐化为简洁。 2。化归的三个原则：熟悉性原则，简单性原则，直观性原则。 3。请举出至少三个多维化归方法的例子。 答：变换法，反证法，MM方法

证明题：1。求证：1?12?131n???1n?2(n?1?1)

证明：1?12?13????2(2?1)?2(3?2)?2(4?3)???2(n?1

?n)?2(n?1?1)

2。在单位正方形周界上任意两点连一曲线 ，将正方形分成面积相等的两部分。 求证：该曲线长不小于1。

分析：1。最理想情形：垂线或对角线

2。若端点在对边的线段------------------------------斜线〉垂线段 3。若端点在对边的曲线--------------------两点间线段最短 4。若端点在临边的曲线-----------------将SP以CA反射

5。若端点在同边的曲线--------将SP以CA反射 （图略）

nnkkn3 求证：C?C?C???C0n1n2nnn?2, 并由此计算(1)?2Ck?0n(2)?(?1)k3kCnk

k?1n0n1n?12n?22nnn证明：由于(a?b)?Cna?Cnab?Cnab???Cnb?2,

n012na=b=1时，(1?1)?Cn?Cn?Cn???Cn,

na=2,b=1时， (2?1)?n?2k?0kCn?3,

knna=1,b=-3时， (?2)?(1?3)?nn?(?1)k?0k3Cn?3。

kkn4。证明托勒密定理：已知：AB，CD为圆内接四边形ABCD的对角线， 求证：AB*CD+AD*BC=AC*BD

证明：在BD上取点E，使∠BEA=∠DEC，则△ABE∽△ACD，△ABC∽△AED，故AB*CD=AC*BE， AD*BC=AC*ED，所以AB*CD+AD*BC= AC*BE+ AC*ED=AC*BD

第三章 类比与归纳

填空：类比是由特殊到特殊的思维过程，归纳是由特殊到一般的思维过程，演绎是由一般到特殊的思维过程。

简答： 1。各举出一个平面与空间类比，形与数类比，有限与无限类比的例子。 平面与空间类比：几何中两条直线被三条平行线所截得的线段成比例。

立体几何中两条直线被三个平行平面所截得的线段成比例 形与数类比：解析几何

有限与无限类比：三角形面积等于底与高相乘积的一半，

圆内接正多边形面积等于周长与边心距乘积的一半 圆面积等于周长与半径乘积的一半 2。各举出一个简单类比，复杂类比的例子。

答：简单类比：几何中两条直线被三条平行线所截得的线段成比例。

立体几何中两条直线被三个平行平面所截得的线段成比例。

复杂类比：解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一（不变号）

解不等式步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一（可能变号）

2。试举出三个关于归纳的生活谚语的例子。

答：农业谚语“有收无收在于水，收多收少在于肥”“发尽桃花水，必有旱黄梅”

气象谚语“热在三伏，冷在三九”“东虹日出西虹雨”

养身之道“饭后百步走，活到九十九”“饭前喝汤，有利健康；饭后喝汤，身体发胖”

n证明题：设n∈N，求证：?r?1r(r?1)2[a?(n?r)b]?124n(n?1)(n?2)[nb?(4a?b)]

证明：（1）n=1时，左边=a=右边 （2）n=k若成立，n=k+1时，

k?1?r?1r(r?1)21k[a?(k?1?r)b]??r?1r(r?1)2k[a?(k?r)b]??r?1r(r?1)2b?(k?1)(k?2)2a

?24(k?1)((k?1)?1)((k?1)?2)[(k?1)b?(4a?b)]

故对n∈N成立。

第4章 联想与直觉

填空：1。联想的三个基本法则为：类似联想法则，相反联想法则，接近联想法则。

2。数学联想是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。

3。直觉思维的主要特征有整体性，或然性，简约性，创造性，直接性，不可解释性等。 4。数学联想是一种再现性想象，是进行类比、归纳、模拟、猜想等似真推理的基础。 5。按照数学直觉思维的智力品质分类，小高斯凭直觉判断1+2+3+?+100=5050是一种十分娴熟的思维技能，属于再现性数学直觉思维，哈密尔顿发现四元数属于创造性数学直觉思维 名词解释：数学联想：是以观察为基础，根据所研究的对象或问题的特点，联系已有的知识、技能、经验进行想象的思维方法。

求解题：一块正方形地板由全等的正方形瓷砖铺成，且地板的两条对角线上的瓷砖是黑色的，其余瓷砖是白色。如果有101块黑色瓷砖，那么瓷砖总数是多少呢？

答：地板只有两条对角线上的瓷砖是黑色的，共有101块黑色瓷砖，故正方形有51列，瓷砖总数有512=2601块。 已知：

a?b1?ab?b?c1?bc?c?a1?ca?0,求证：三数a,b,c之中至少有两个相等。

证明：令a=tanα,b=tanβ,c=tanγ,则原题条件变为：

tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=0.由（α-β）+（β-γ）+（γ-α）=0，

上式又可化为tan(α-β)*tan(β-γ)*tan(γ-α)=0，

则tan(α-β)，tan(β-γ)，tan(γ-α)中至少有一个为零，故原题得证。

第5章 数学的论证方法

填空：1。数学证明必须遵循的规则有：论题必须明确，论题应当保持同一，论据必须可靠，论据不能依赖于论题，证明必须遵守推理规则。

2。间接证法主要有反证法与同一法。

3。根据推理方向，数学证明分为分析法与综合法。 证明题1。求证： cos100为无理数

00

证明：若cos10为有理数，记cos10=p/q(p,q

32?cos300互为质数)，则

?4cos1030?3cos10?Q，矛盾。故结论成立。

02。在△ABC中，AK：KC=3：1，BP：PC=2：1，AP和BK相交于M。 求证：

AMAP?911,BMBKBM?811

????2?13证明：设?x,?y,则AM?xAB?xAC?yAC?(1?y)AB，

APBK334AM解之得：x?911,y?811

第6章 数学的抽象方法

名词解释：抽象：透过事物的现象，深入事物的里层，把事物的本质抽取出来的过程和方法。

填空：1。数学有别于其他学科，研究对象的抽象性表现在特殊的抽象形式，特殊的抽象高度。

2。哥尼斯堡七桥问题是数学抽象基本形式的理想化抽象，同余数类是数学抽象基本形式的等价抽象，虚数是存在性抽象。

3。公理化方法中设置公理的三项基本要求为：相容性，独立性，完备性 简答：1。数学抽象的基本形式

答：理想化抽象，等价抽象，强抽象与弱抽象，存在性抽象 2。布尔巴基学派认为，数学研究的三种基本结构是什么？

答：代数结构，序结构，拓扑结构

解答题：1。7只茶杯，杯口朝上，将其中4只翻转过来（杯口朝上的变为杯口朝下，杯口朝下的变为杯口朝上），称为一次“运动”。试问：是否能经过有限多次运动，使得茶杯的杯口全部朝下？

解：赋予一只茶杯杯口朝上：+1，朝下：-1，一只茶杯一次运动：*（-1）

则初始状态：（+1）*?*（+1）=+1，（-1）*?*（-1）=（-1）=-1，经过运算（-1）， 故不可能。

2。“七桥问题”德国哥尼斯堡市内有一条布勒尔河，在这条河上有两个支流，在城中心汇成大河，河中间是岛区，河上有七座桥，如图：

设计：能否从某点出发，经过每座桥一次且仅一次而回到出发点 解：抽象：岛、岸——A，B，C，D

桥——AB，AC，AD，BC，BD七条曲线

概括：一笔画

解决：A，B，C，D皆为奇异点，

而一笔画图形至多有两个奇异点

具体化：不能从任何一点出发，经过每座桥

一次且仅一次而回到出发点

7

4n

第9章 数学的美学方法

填空1。怀特海德说：“只有音乐堪与数学裨美” 2。罗素说：“数学，如果正确的看待他，不但拥有真理，而且也具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，它可以纯净到崇高的地步，?”

3。天体中蕴藏的数学定律之行星运动的第三定律是由伽利略揭示的。 4。数学美的简单性与易懂性、严格性是辩证相关的。

5。著名德国数学家克莱因于1872年用群的观点统一几何，被誉为几何理论的“伟大的综合” 6。弗兰西斯·培根说：“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异” 7。数列

3253n?2 ,,,,?的通项公式为：an?43852(n?1)简答1。数学美的基本特征

答：简单性、对称性、统一性、奇异性

2。培养数学审美能力的四个层次 答：美观、美好、美妙、完美

求解题：1。求（2x-y）100展开式中各项系数之和

100100i答：(2x?y)100??ai?0xyi100?i，令x=y=1,则?ai?1

i?02。设a,b,c,d是互不相等的实数，试作出下列函数的图像

f(x)?(x?b)(x?c)(x?d)(a?b)(a?c)(a?d)?(x?c)(x?d)(x?a)(b?c)(b?d)(b?a)?(x?d)(x?a)(x?b)(c?d)(c?a)(c?b)?(x?a)(x?b)(x?c)(d?a)(d?b)(d?c)

解：f(x)为x的三次式，x=a,b,c,d时,f(a)=f(b)=f(c)=f(d)≡1,f(x)=1表示一条直线。 3。在已知△ABC中，求证：证明：

cosAacosBbcosCca?b?c2abc222?2cosAa2?2cosBb2?cosCc2

22???1b?c?aa2bc22?1a?c?bb2ac?1a?b?cc2ab?a?b?c2abc222

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