《金版新学案》高三数学一轮复习 35 数列的综合应用练习 (文) 全

用心 爱心 专心 第3章 第5节

(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于

( )

A ．0

B.π12

C.π6

D.π4

【解析】 因A 、B 、C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，

则B ＝π3

，b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12

，可推出a ＝c ＝b . 【答案】 A

2．数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则

( )

A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10

B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10

C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10

D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定

【解析】 由数列的性质易得

a 3＋a 9≥2a 3a 9＝2a 6＝2

b 7＝b 4＋b 10.

【答案】 B

3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部各册书，公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是

( )

A ．1994

B ．1996

C ．1998

D ．2000

【解析】 设出齐这套书的年份是x ，

则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13 958，

用心 爱心 专心 ∴7x －(12＋0)×72

＝13 958，x ＝2 000. 【答案】 D

4．2008年春，我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾．大雪无情人有情，柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且当天人均捐款数比前一天多5元，则截止第5天(包括第5天)捐款总数将达到

( )

A ．4 800元

B ．8 000元

C ．9 600元

D ．11 200元

【解析】 由题意知，5天共捐款

10×10＋(10×2)×(10＋5)＋(10×4)×(15＋5)＋(10×8)×(20＋5)＋(10×16)×(25＋5)＝8 000(元)．

【答案】 B

5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是

( )

A ．(2,4)

B.????－13，－43 C ．(－12

，－1) D ．(－1，－1) 【解析】 由S 2＝10，S 5＝55，得2a 1＋d ＝10,5a 1＋10d ＝55，解得a 1＝3，d ＝4，可知

直线PQ 的一个方向向量是(1,4)，只有????－13

，－43与(1,4)平行．故选B. 【答案】 B

6．`某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是

( )

A.S 32

B.S 34

C.S 36

D.S 38

【解析】 一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ；

二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x .

由题意知????542S －54x －x ＝S (1＋50%)，

用心 爱心 专心 解得x ＝S 36

. 【答案】 C

二、填空题(每小题6分，共18分)

7．已知三个数a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴公共点的个数为________．

【解析】 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，且b ≠0.

又Δ＝b 2－4ac ＝b 2－4b 2＝－3b 2<0，

∴f (x )的图象与x 轴没有公共点．

【答案】 0

8．已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12

)，B (3,1)，若记a n ＝log 2 f (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是________．

【解析】 将A 、B 两点坐标代入f (x )得

????? 12＝ab 21＝ab 3，解得????? a ＝18b ＝2

， ∴f (x )＝18

·2x ， ∴f (n )＝18

·2n ＝2n －3，∴a n ＝log 2 f (n )＝n －3. 令a n ≤0，即n －3≤0，n ≤3.

∴数列前3项小于或等于零，故S 3或S 2最小．

S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－2＋(－1)＋0＝－3.

【答案】 －3

9．约瑟夫规则：将1、2、3、…、n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1、3、5、7…….当n ＝65时，剩余的一个数为________．

【解析】 将1、2、3、…、65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个数删除一个，首先删除的数为1、3、5、7、…、65(删除33个，剩余32个)；

其次从2开始，删除的数的个数分别为16、8、4、2、1，

最后剩余2，故填2.

用心 爱心 专心 【答案】 2

三、解答题(共46分)

10．(15分)在等差数列{a n }中，a 5＝5，S 3＝6.

(1)若T n 为数列????

??1a n a n ＋1的前n 项和，求T n ； (2)若a n ＋1≥λT n 对任意正整数都成立，求实数λ的最大值．

【解析】 (1)设首项为a 1，公差为d ， 则??? a 1＋4d ＝5

3a 1＋3(3－1)2d ＝6

解得：a 1＝1，d ＝1所以，a n ＝n 1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1

T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n (n ＋1)

， (2)若使a n ＋1≥λT n ，

即n ＋1≥λn n ＋1

，∴λ≤(n ＋1)2n 又(n ＋1)2n ＝n ＋1n

＋2≥4， 当且仅当n ＝1n

，即n ＝1时取等号 ∴λ的最大值为4.

11．(15分)已知数列{a n }中，a 1＝12

，点(n,2a n ＋1－a n )在直线y ＝x 上，其中n ＝1,2,3，…. (1)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；

(2)求数列{a n }的通项．

【解析】 (1)证明：∵a 1＝12

，2a n ＋1＝a n ＋n ， ∵a 2＝34，a 2－a 1－1＝34－12－1＝－34

， 又b n ＝a n ＋1－a n －1，b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1－1a n ＋1－a n －1

用心 爱心 专心 ＝a n ＋1＋(n ＋1)2－a n ＋n 2a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－a n －12a n ＋1－a n －1＝12

. ∴{b n }是以－34为首项，以12

为公比的等比数列． b n ＝－34×????12n －1＝－32×12n

， (2)∵a n ＋1－a n －1＝－32×12n ， ∴a 2－a 1－1＝－32×12

， a 3－a 2－1＝－32×122，… ∴a n －a n －1－1＝－32×12n －1， 将以上各式相加得：

∴a n －a 1－(n －1)＝－32? ??

??12＋122＋…＋12n －1， ∴a n ＝a 1＋n －1－32×12? ????1－12n －11－12

＝12＋(n －1)－32? ????1－12n －1＝32n ＋n －2. ∴a n ＝32n ＋n －2. 12．(16分)某林场有荒山3 250亩，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划每年比上一年多植树50亩(假设全部成活)．

(1)问需要几年可将此山全部绿化？

(2)已知新种树苗每亩的木材量是2立方米，树木每年自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底的木材总量为S .求S 约为多少万立方米？(精确到0.1)

【解析】 (1)每年植树的亩数构成一个以a 1＝100，

d ＝50的等差数列，其和即为荒山的总亩数．

设需要n 年可将此山全部绿化，则

S n ＝a 1n ＋n 2(n －1)d ＝100n ＋n (n －1)2

×50＝3 250.

解此方程，得n＝10(年)．

(2)第一年种植的树在第10年后的木材量为

2a1(1＋0.1)10，

第二年种植的树在第10年后的木材量为

2a2(1＋0.1)9，…，

第10年种植的树在年底的木材量为2a10(1＋0.1)．则10年后的木材量依次构成数列{b n}，则其和为T＝b1＋b2＋…＋b10＝200×1.110＋300×1.19＋…＋1 100×1.1≈9 976(立方米)．

约为1.0万立方米．

即，需要10年可将此山全部绿化，

10年后木材总量约为1.0万立方米．

用心爱心专心

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