话说整数部分与小数部分

1、话说整数部分与小数部分 2、平方根常见错例剖析 3、剖析平方根与算数平方根 4、《实数》一章中的数学思想及应用 5、《实数》考题放送 6、《实数》考题赏析 7、平方根与立方根“诊所” 8、实数大小比较有办法

9、“实数”错例剖析 10、用好算术平方根的双重非负性解题

1、话说整数部分与小数部分

解涉及到算术平方根的整数部分和小数部分的试题时，部分同学认为是一个开不尽的无限不循环小数就束手无策，其实利用比较算术平方根大小的方法，从平方入手可以估算出一个非负数的算术平方根的大小，例如要求19的整数和小数部分：可由4＝16，5＝25，且16＜19＜25,可以估算出4＝162

2

＜19＜25＝5,即19大约是比4多一点，而比5小一点，即19是一个4点几的小数，所以19的整数部分是4，小数部分是19－4（注：小数部分是两数的差，在这里表现为一个式子，这也是同学们不习惯的地方）。

也就是说：确定一个非负数的算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个数在哪两个能开尽方的整数之间，那么较小的整数即为算术平方根就是的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分。

例1．求29的小数部分是多少。

【析解】由5＝25?29?36＝6，得

29的整数部分为5；

∴29的小数部分为：29-5；

例2．（天津市初二数学竞赛题）已知9?13和9?13的小数部分分别为a、b，求：3a＋4b＋8

的值。

【析解】∵ 3＝9＜13＜16＝4,

∴ 13的整数部分为3，小数部分为13-3；

∴ 9?13的整数部分为12，小数部分仍为13-3；（比如5＋3.678＝8.678,小数部分为

0.678）

∵ 5＜9?13＜6,

∴ 9?13的整数部分5，小数部分为4－13；（你可要仔细想想为什么是小数部分为4－13罗） ∴ a＝13-3，b＝4－13

∴3a＋4b＋8＝3(13-3)＋4(4－13)＋8

＝313－9＋16－413＋8＝15－13．

2、平方根常见错例剖析

本节常见的思维误区主要表现在以下两方面，下面分别举例来加以剖析： 一、混淆概念造成

例1．(－5)的平方根是 ．

错解：填－5；（有的填负数没有平方根）．

2剖析：本题应从(－5)＝25，是一个正数，因此本题实际上是求25是多少，而正数的平．．的平方根．．．．方根有两个，因此说(－5)的平方根是－5是错误的．

正解：因为(－5)＝25，而(±5)＝25，所以(－5)的平方根是±5．故应填：±5． 例2．当a 时，3a?1有意义．

错解：当3a＋1＞0，即a＞－

222221时，3a?1有意义． 3剖析：由算术平方根的概念可知，正数和0都有算术平方根，只有负数没有算术平方根，也就是说本题当3a＋1＝0时，3a?1也有意义．

正解：当3a＋1≥0，即a≥－二、审题不慎，题意理解不透造成

例3．81的算术平方根是（ ）

A．9 B．±9 C．3 D．±3 错解：选（A）

剖析：本题带有一定的迷惑性，有的同学不加思考，想当然地选了（A），其实对于本题，我们不能急于算出结果，而是要先算出81＝9，因此本题实际上是要“求9的算术平方根．”

正解：因为81＝9，而9的算术平方根是3； 所以应选（C）． 例4．(3.14?π)2的算术平方根是 ．

错解：(3.14?π)2的算术平方根是 3.14－π ．

剖析：非负数a的算术平方根是a（a≥0）；而a2的算术平方根是a＝a（a≥0）．因此一定要注意，算术平方根是一个非负数，而3.14－π＜0，却是一个负数，它平方后是正数．例如：求(?5)222的算术平方根应解成(?5)＝5＝5．

2π－3.14)2＝π－3.14． 正解：(3.14?π)＝(1时，3a?1有意义． 32

3、剖析平方根与算数平方根

平方根与算术平方根是初中代数中的两个重要的概念，不少同学常常对这两个概念混淆不清，导致在解题时常出现这样或那样的错误。为了避免这种现象，我们应从下面三方面理解和掌握它们。 一、辨两者的不同点 1、定义不同

（1）平方根：若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。也就是说，若x＝a，则x叫做a的平方根。

例如：因7?49，所以7叫做49的平方根；(?7)?49，所以－7也叫做49的平方根，这样7与－7都是49的平方根，即49的平方根是±7。

（2）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。

在算术平方根的定义中，应特别注意两个“正”字，第一个“正”字是说负数没有算术平方根，第二个“正”字是说算术平方根是非负数。例如：16的正的平方根是4，所以4叫做16的算术平方根；而－16是负数，所以－16没有算术平方根。 2、表示方法不同

（1）平方根：一个正数a的平方根有两个，正的平方根用“a”表示，负的平方根用“－a”表示，

222这两个平方根互为相反数，合起来记作：“±a”。

例如：7的平方根记作“±7”；9的平方根常记作“±9＝±3”。 （2）算术平方根：正数a的算术平方根记作“a”。

例如：7的算术平方根记作“7”；9的算术平方根记作“9＝3”。 3、结果个数不同

一个正数有两个平方根，即正数a的平方根为“±a”；

一个正数的算术平方根只有一个，即正数a的算术平方根为“a”。 4、性质不同

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个，并且是正数。例如：

1641616164的平方根有两个，是?即?；而的算术平方根只有一个，是即。 2525525255二、明两者的联系

1、一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，因此算术平方根只是平方根中的一个。 2、0的平方根与算术平方根都是0。

3、只有非负数才有平方根与算术平方根，而负数没有平方根与算术平方根。 三、用两者解好题

例1. （1）求??3?的平方根；（2）求9的算术平方根。

析解：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而??3??9是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。

（2）事实上本题9就是表示的9的算术平方根，而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。?9?3，而3的算术平方根为3，故9的算术平方根应为3。仿此你能给出64的平方根的结果吗？

例2．如图1,小明想做一个小方盒，它用面积为100cm2的大正方形纸片，在它的四个角上剪去的小正方形面积均为9cm2,请你利用计算器求底面边长a的值．

分析:本题是一道数形结合的实际问题,观察图形可知,要求a的值, 因为知道了正方形的面积，所以通过开平方运算可以求到边长。即分别求出大正方形的边长,和小正方形的边长,用大正方形边长减去两个小正方形的边长即可。 解:设大正方形的边长为xm，小正方形的边长为ym，根据已知得，

x2＝100，y2＝9，

所以x＝±10，y＝±3，

因为正方形的边长不能为负，所以x＝－10，y＝－3要舍去。 所以a＝10－3＝7(cm).

224、《实数》一章中的数学思想及应用

在本章内容中，蕴涵着丰富的数学思想，运用这些数学思想，不仅可以帮助我们理解数学概念，还可以指导我们解决数学问题． 一、转化的思想

在数学研究中，常常需要将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题思考．如，求一个负数的立方根，可以转化为求一个正数的立方根的相反数． 例1．比较32与23的大小． 析解：因为32≈3×1.414＝4.242， 23＝2×1.732＝3.464． 因为4.242＞3.464．

所以32＞23．

【点评】本例将无理数2、3转化为与其近似的有理数来计算、比较． 二、分类讨论思想

按照不同的标准，实数有不同的分类方法．而且不同的分类方法各有所长．但分类时要注意做到不重不漏．

例2．已知|a|＝5，b＝9，且ab＞0，则a＋b的值为( ) A．8 B．－2 C．8或－8 D．2或－2 析解：首先由绝对值与平方根的意义可知：a＝±5，b＝±3，

因为ab＞0，即a、b同号，因此可分为两种情况来讨论： ① 当a＞0且b＞0时，a＝5，b＝3，得a＋b＝8，

② 当a＜0且b＜0时，a＝－5，b＝－3，得a＋b＝－8． 所以a＋b的值为8或－8．故选(C)．

【点评】与绝对值、平方根、不等式有关的问题，可根据它们的性质进行分类讨论． 三、数形结合思想

“数”与“形”是对立统一的．在研究数学问题时，常由“数”转换到“形”，或由“形”转换到“数”．将数（量）与形（图形）结合起来进行分析、研究解决问题，能起到直观、准确的作用． 例3．如图1，数轴上表示数3的点是 ．

2

图1

析解：表示的数在1到2之间，而A点表示的数在－2到－1之间，C点表示的数在3到4之间，所以均不能选，因此应是点B．

【点评】数的作用是准确，形的反映是直观．数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．” 四、从特殊到一般的思想

例4 ．实数a、b在数轴上的位置如图2所示，则下列结论正确的是（ ）.

图2

A．a＋b＞a＞b＞a－b B．a＞a＋b＞b＞a－b C．a－b＞a＞b＞a＋b D．a－b＞a＞a＋b＞b

析解：根据实数a、b在数轴上的位置，不妨取a＝2，b＝－1，则a＋b＝1，ab＝－3．根据3＞2＞1＞－1，得a－b＞a＞a＋b＞b．故应选（D）．

【点评】恰当地选取适合已知条件的某些特殊值进行验算，得出正确判断是解好本题的关键．

5、《实数》考题放送

在各类考试试题中，出现了一些与《实数》有关的特色试题，现举例说明如下，供同学们赏析. 一、估算类

例1．（江西省）设26?a，则下列结论正确的是（ ）.

A．4.5?a?5.0 B．5.0?a?5.5 C．5.5?a?6.0 D．6.0?a?6.5

析解：本题主要考查估算能力，体现了课标要求中的“能用有理数估计一个无理数的大致范围”，由于25＜26＜36，即5?26?6，可排除（A）、（D），又由于5.52=30.25＞26，故5.0?26?5.5.故选（B）. 二、构造类 例2．（2008年吉安市）请写出两个大于1且小于2的无理数_______、_______。

析解：此题答案不唯一，根据：2＝4，π≈3.1415，可构造如下无理数：

?、3、3.2、2等2等都是满足条件. 三、定义新运算类

例3．(2007年双柏改编)在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a． 则当x＝3时，（2⊕x）－（4⊕x）的值为 ． 析解：因x＝3大于2而小于4，所以(2⊕x)－(4⊕x)= (2⊕3)－(4⊕3)=2－3=－7。 四、数形结合类

例4．（浙江绍兴）“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ）

A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论

2

析解：本题表示出了2在数轴上的点的作法，故体现的是以形表数的数学思想方法，应选（C）. 五、组合运算类

例5．（湖南益阳中考题）有四个实数分别为32，

2，－23，8，请你计算其中有理数的和与无理数2的积的差，其计算后的结果为___________.

析解：本题实际上是一道实数的运算题，但很有创新性，要先找出有理数和无理数，然后按规定的运算计算即可.有理数为32和－23，其和为9＋（－8）=1；无理数为22和8，其积为·8=2，故其22有数的和与无理数的积的差为1－2=－1.填写：－1．

六、计算器探索型

例6．（济南市）用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：

1，1111，，…，， 219320如果从中选出若干个数，使它们的和大于3，那么至少要选___________个数。

析解：这是一道借助计算器进行探索的题目.允许考生使用计算器是一项重大改革，许多地方已在试行，这可使同学们从繁琐的计算中解放出来.也为试题贴近生活和生产实际创造了条件. 由于各数据的分母依次增大，故这组数据依次减小，根据题意可依次选前面数值较大的数据求和。由计算器可求得：

1＋

1111＋＋＋≈3.23＞3，从而应填5. 24356、《实数》考题赏析

围绕实数的内容常设计一批新颖别致的考题，为帮助大家及时把握考试命题方向，本人从多姿多彩的试题中，采撷部分试题并加以归类浅析，旨在探索解题方法及规律，希望对大家复习有所帮助． 一、开放型试题

例1 ．若无理数a满足不等式2＜a＜3，请写出两个符合条件的无理数_______、_______． 【析解】这是一道答案不唯一的开放型试题，所写的无理数a必须在不等式2＜a＜3之间的无限不循环小数，因此，①从开方方面来考虑：由于4＝2、9＝3．故4＜a＜9，所以符合条件的无理数a．．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9bvv.html