高等代数习题册

高等代数习题册

作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起一般每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面

班级 姓名 学号 第一章 行列式

§1引言

一 填空题

1．最小的数环是 ，最小的数域是 .

2．一非空数集F,包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 . 二 证明题

1. 证明：F?a?bia,b?Q是一个数域.

2．证明：F?????m?m,n?Z?是一个数环.F也是一个数域吗？ n??2

3．证明：两个数环的交还是一个数环.

2

班级 姓名 学号 §2-3 排列与n级行列式的定义

一 选择或判断

1．以下乘积中（ ）是5阶行列式D?aij中取负号的项.

A.a31a45a12a24a53； B.a45a54a42a12a33；C．a23a51a32a45a14；D.a13a32a24a45a54

2. 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变.（ ） 二 填空题

1. 按自然数从小到大为标准次序，排列451362的逆序数为 ，523146879的逆序 数为 .

2. 按自然数从小到大为标准次序，若9元排列1274i56k9是奇排列，则i?_____,k? _______.

3. 设n级排列i1i2?in的逆序数为k，则?(inin?1i2i1)= .

0000x0002x04. 设003x00??15， 则x? ________.

0450000000三 计算与证明

001．按定义计算行列式

000120.

0n?1n0

00002xx121x1?1432．由行列式定义计算f(x)?中x与x的系数.

32x1111x

3

班级 姓名 学号 §4 行列式的性质

一．选择题

1. 对于“命题甲：将n(?1)级行列式D的主对角线上元素反号, 则行列式变为?D；命题

乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) .

A.甲成立, 乙不成立； B. 甲不成立, 乙成立；

C.甲, 乙均成立； D．甲, 乙均不成立.

二．填空题

31. 1212430120112?4102=_______，1?4?1?_______，?221?________. 204?34?2?183x?aa2. n阶行列式D?aa三．计算与证明

aaaaa的根为 . x?ax?aaax?aaa1?a1.计算n阶行列式

11?a1a2xa3...an...an...an.

x111?a

11xa12.计算行列式a1a1a2a2xa2a1

4

班级 姓名 学号 §5 行列式的计算

一. 计算下面的行列式：

121. D?3423413412411112 ； 2. D?2133136223214； 1020 22. 24

141012?4 ； 4. D?2?12?3a1b1； a1yx?yx33.D?110?5?13132?5212222二. 求下列行列式的值：

aabc1. bca； 2. acabb0x3.

0ya15.

y0x00y0xa2xx0； 4. yyx?y0a3a31?a3a3a?bx?yxy；

1?a1a1a1三. 证明：

ananan1?anabb1b2cc1; c2.

1?a2a2a2c?ac1?a1c2?a2b?c1. b1?c1b2?c2a1?b1?2a1a2?b2a2x?12.

0x000a00a10a2xan?2?xn?an?1xn?1??a1x?a0.

000?1x0000?1x?an?1

5

班级 姓名 学号 第二章 线性方程组

§1一般线性方程组的消元法§2 n维向量空间

1. 已知5(1,0,?1)?3??(1,0,2)?(2,?3,?1), 求?. 2．已知向量组?，?(1,2,3,4)1，?， ?(3,4,5,6)??(2,3,4,5)23，计算向量?1?3?2?2?3??4. ??(4,5,6,7)3?x1?3x2?5x3??x?3x?2x?123???x3. 用消元法解线性方程组 ?x1?2x2?x3?x?4x?x?x23?1??x1?2x2?x3?x

4x?142x?4x?5?1?4x?53?4x?53?4x?5?1

?x1?2x2?3x3?x4?1?3x?2x?x?x?11234??4．用消元法解线性方程组 ?2x1?3x2?x3?x4?1

?2x?2x?2x?x?1234?1??5x1?5x2?2x3?2

11

班级 姓名 学号 §3 线性相关性

一．选择题

1. n维向量组?1,?2,?,?s (3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ ）

A.存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0 B.?1,?2,?,?s中任意两个向量组都线性无关

C．?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 D.?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示

2. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

A.线性相关； B. 线性无关； C．线性相关或线性无关； D.不一定

3．设?为任意非零向量，则?（ ）。

A.线性相关；B.线性无关； C．线性相关或线性无关；D．不一定

4.n维向量组?1,?2,...?s线性无关，?为一n维向量，则（ ）.

A.?1,?2,...,?s，?线性相关；B.?一定能被?1,?2,...,?s线性表出；

C．?一定不能被?1,?2,...,?s线性表出； D.当s?n时，?一定能被?1,?2,...,?s线性表出

5. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同；（2）若向量组{?1，?2，?，?r} 线性无关，?r?1可由?1,?2,??r线性表出，则向量组{?1，?2， ?，?r?1}也线性无关；（3）设{?1，?2，?，?r}线性无关，则{?1，?2，?，?r?1}也线性无关；

（4）{?1，?2，?，?r}线性相关，则?r一定可由?1,?2，??r?1线性表出；以上说法正 确的有（ ）个。

A.1 个 B.2 个 C．3 个 D.4个

6．设向量组Ⅰ（?1,?2,??r），Ⅱ（?1,?2,??r,?r?1,?,?s）则必须有（ ）。

A.Ⅰ无关?Ⅱ无关； B.Ⅱ无关?Ⅰ无关；

C.Ⅰ无关?Ⅱ相关； D.Ⅱ相关?Ⅰ相关.

7. 设向量组?1,?2,?3线性无关. ?1,?2,?4线性相关，则（ ）.

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班级 姓名 学号 A.?1必可由?2,?3,?4线性表示； B.?4必可由?1,?2,?3线性表示；

C．?4必不可由?1,?2,?3线性表示； D.以上都不对. 二．填空题

1. 已知向量组?，?(1,2,3,4)1，?， ?(3,4,5,6)??(2,3,4,5)23，则该向量组的秩是 . ??(4,5,6,7)32. 若?可由3. 设

1唯一表示, 则?线性 . ?,?,?,?,?,?,?12r12r为n维向量组, 且R，则n m. ?,?,?,?(?,?,?,?)?n2m12m4. n?1个n维向量构成的向量组一定是线性 的.（无关，相关） 5. 已知向量组

线性无关，则t? _______. ??(1,0,1),??(2,2,3),??(1,3,t)123三．计算与证明

1. 判别向量组?1=(0,0,2,3), ?2=(1,2,3,4)，?3=(1,2,1,1)，?4=(1,0,1,0)是否线性相关，并求?1,?2,?3,?4的一个极大线性无关组.

2. 求向量组??(1,1,1)，??(1,2,3)，??(3,4,5)的一个极大线性无关组，并将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.

3. 已知向量组（Ⅰ）?1,?2,?3,(Ⅱ) ?1,?2,?3,?4,(Ⅲ) ?1,?2,?3,?5，若各向量组的秩分别为R(Ⅰ) = R (Ⅱ) = 3 , R (Ⅲ) = 4 ,证明向量组（Ⅳ）：?1,?2,?3,?5??4的秩为4.

4. 设向量组?1,?2,5. 设向量组?1,?2,,?s的秩为r，证明：当m?s时，秩(?1,?2,,?r线性无关，而向量组?1,?2,,?m)?r?m?s.

,?r,?线性相关，证明：?可以由

?1,?2,,?r线性表出，且表示法唯一.

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班级 姓名 学号

14

班级 姓名 学号 §4 矩阵的秩

一．选择题

1. 设A为n阶方阵，且R?A??r＜n，则A中（ ）.

A. 必有r个行向量线性无关 B. 任意r个行向量线性无关

C．任意r个行向量构成一个极大无关组 D. 任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示

2. 设A是m?n矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX?0有非零解.

A. m?n B.A的秩等于n C．m?n D.A的秩等于m

3. 设矩阵A?aij??m?n，AX?0仅有零解的充分必要条件是( ).

A. A的行向量组线性相关 B.A的行向量组线性无关

C．A的列向量组线性相关 D.A的列向量组线性无关

4. 设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵A的秩为r，则AX?0有非零解的充分必要 条件是（ ）.

A.r?n B.r?n C．r?n D.r?n

5. 如果矩阵A的秩等于r，则（ ）。

A. 至多有一个r阶子式不为零； B. 所有r阶子式都不为零；

C. 所有r?1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零； D. 所有低于r阶子式都不为零

二．填空题

1．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为 .

?1?112???2. 设矩阵A??3??12?，且R(A)?2,则????53?6???3. 设A为n阶矩阵，且A?1,则 R(A)?______________.

?,????.

4.含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组AX?0有非零解的充分且必要条件是 .

三．计算与证明

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班级 姓名 学号 §3 矩阵乘积的行列式与秩

一．选择题

1. 如果AB?BA?E，那么矩阵A的行列式A应该有（ ）.

A.A?0； B.A?0； C．A?k,k?1； D.A?k,k??1

2. A是n阶矩阵，k是非零常数，则kA? ( ).

A. kA； B. kA； C． knA D. |k|nA

3 A,B为n阶方阵，A?O，且R(AB)?0，则（ ）.

A.B?O； B.R(B)?0； C．BA?O；D.R(A)?R(B)?n.

二．证明

1．设A、B为同阶矩阵，求证：rank(A?B)?rank(A)?rank(B). 2．设A、B为n阶方阵，证明：如果AB?0，那么rank(A)?rank(B)?n. 3． 设A为n阶方阵，求证，rank(A?E)?rank(A?E)?n. 4.

n阶方阵A满足A2?2A?4E?O，若A?E的秩为n，证明：A?3E的秩也为n.

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班级 姓名 学号 §4 矩阵的逆

一．选择题

1. 设A*为n(n?2)阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是（ ）.

A. (A*)*?|A|n?1A B. (A*)*?|A|n?1A

C．(A*)*?|A|n?2A D.(A*)*?|A|n?2A

2. 设A为n阶方阵A的伴随矩阵，则AA?（ ）.

*

*A.A B.A C．An2nn2?n D.An2?n?1

3. 设A、B为n阶方阵，则有（ ）.

A. A，B可逆，则A?B可逆 B. A，B不可逆，则A?B不可逆

C．A可逆，B不可逆，则A?B不可逆 D. A可逆，B不可逆，则AB不可逆

4. A，B，C是同阶方阵，且ABC?E，则必有（ ）.

A. ACB?E； B. BAC?E； C．CAB?E; D． CBA?E.

5. 若由AB?AC必能推出B?C（A,B,C均为n阶方阵），则A 满足( ).

A.A?0 B.A?O C．A?O D.AB?0

?16. 设A为任意阶(n?3)可逆矩阵，k为任意常数，且k?0，则必有(kA)?（ ）.

A.knA?1 B.kn?1A?1 C．kA?1 D.

1?1A k7. 设n阶矩阵A满足A2?A?2E?0，则下列矩阵哪些可能不可逆（ ），哪些一定可逆（ ）.

A. A?2E; B. A?E; C． A?E; D. A.

8. 设原方程组为AX?b，且R?A??R?A,b??r，则和原方程组同解的方程组为( ).

A.ATX?b； B.QAX?b（Q为初等矩阵）；

C．PAX?Pb（P为可逆矩阵）； D.原方程组前r个方程组成的方程组.

二．填空题

1．设矩阵A可逆，且A?1，则A的伴随矩阵A的逆矩阵为 .

?

22

班级 姓名 学号 2. 设P、Q都是可逆矩阵，若PXQ?B，则X? . ?13. 设A为5阶方阵，且detA?3，则detA? ，det(AAT)? ，A的伴随

矩阵A的行列式det(A?)? .

*4. 设A为4阶矩阵，且A?2,则 2AA?____________.

??1?5. A为3阶矩阵，A?0.5，则(2A)?5A=（ ）.

三．计算与证明

1. 设n阶可逆方阵A的伴随方阵为A*, 试证：（1）detA??(detA)n?1； （2）(A?)??(detA)n?2A.

22. 若n阶矩阵A满足A?A?2E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?.

?123. 若n阶矩阵A满足A?2A?4E?O，证明A?E可逆，并求?A?E?.

?14. 设A,B是n阶可逆矩阵, 证明: (1) (AT)?1?(A?1)T； (2) 乘积AB可逆. 5. 已知n阶方阵A可逆，证明：A的伴随方阵A也可逆,且(A*)?1?(A?1)*.

*

23

班级 姓名 学号

24

班级 姓名 学号 §5 矩阵的分块

1. 设A，B均为n阶方阵，（1）计算 ??EE??AB???0E????BA??E?E???0E??;

（2）证明：ABBA?A?B?A?B.

2． 设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中A?0并且AC?CA，证明：AC3．设X???0A??B0?，已知A,B均可逆，证明X可逆，并求其逆矩阵. ?4．已知A可逆，（1）证明??AA?A?A?可逆，并其逆矩阵;

????1?1111? （2）利用（1）求矩阵?1?11?1???. ?11?1?1??1?1?11??

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BD?AD?CB.

班级 姓名 学号 第四章 二次型

§1 二次型及其矩阵表示

1．二次型f(x,y,z)??x2?y2?z2?xy?xz?yz的矩阵是_____ ______.

??1?2．二次型f(x1,x2,x3)??x1,x2,x3???4???3?n22i2232??1???x1?1???x2?的矩阵是_____ ______. 2??????x3??1???n?3. 二次型n?x???xi?的矩阵是_____ ______.

i?1?i?1?a114. 设A?aija12a22an2x2a1na2nannxnx1x2的矩阵是

??a21n?n. 二次型f?x1,x2,,xn??an1x1xn0

_____ ______.

5. 设A, B是两个同级的对称矩阵，证明：二次型XTAX可用非退化线性替换化为二次型

YTBY的充要条件是：A与B合同. 6. 证明：

??1??2? ???合同，其中i1,i2,

??? 与 ???n???i1???????i2???? ??in??,in是1,2,,n的一个排列.

31

班级 姓名 学号 §2 标准型

1. 分别用配方法和初等变换法求一个非退化线性替换把二次型

2f(x1,x2,x3)?2x12?x2?4x2x3?4x1x2

化为标准形.

2. 给定二次型f(x,y,z)??4xy?2xz?2yz.

1） 将其化为标准型；

2） 指出f(x,y,z)?a2为什么曲面；

3. 设f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3, 求其在x1?x2?x3?1时的最大值与最小值. 4. 设A是一个n级矩阵，证明：

1）A是反对称矩阵当且仅当对任一个n维向量X有X'AX?0； 2）如果A是对称矩阵，且对任一个n维向量X有X'AX?0，那么A?0.

222 32

班级 姓名 学号 §3 唯一性

1. 设n阶实对称矩阵A合同于一个主对角线上有p个正元素， r?p个负元素的对角矩阵，则二次型xTAx在复数域上的规范形是 ，在实数域上的规范形是 ，符号差为 . 2. 设f(x1,x2,2,xn)?l12?l2?22?lp?lp?1?2,2,?lp?q，其中li (i?1,p?q)是

x1,x2,,xn的一次齐次式. 证明：f(x1,x2,,xn)的正惯性指数?p，负惯性指数?q.

33

班级 姓名 学号 §4 正定二次型

0??11??是正定阵，则k满足条件__________________.

01. A?1k????00k?2??2222. 当t满足条件什么条件时，二次型f?x1?2x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2tx2x3是正定

的?

3. 证明：n个变量的二次型f(x1,x2,子式都大于零.

4. 设A是n级实对称矩阵，证明：存在一正实数c使对任一个实n维向量x都有

,xn)???aijxixj是正定的充要条件是其一切主

i?1j?1nnxTAx?cxTx.

?n?25. 证明：n?xi???xi?是半正定的.

i?1?i?1?

n2 34

班级 姓名 学号 第五章 多项式

§1整数的整除性§2一元多项式

一 填空题

1． （681，542）= .

2．求f(x)?x4?4x3?1除以g(x)?x2?3x?1的商多项式和余式分别为 .

35

班级 姓名 学号 §7 多项式函数

一 填空或选择

1．设g(x)?x?1是f(x)?x6?k2x4?4kx2?x?4的一个因式，则k?（ ）.

A．1 B．2 C．3 D．4

2．设a?0，用g(x)?ax?b除f(x)所得的余式是 .

3．设a,b是两个不相等的常数，则多项式f(x)除以(x?a)(x?b)所得的余式为 __ _.

4．设f(x)?R[x]使得?(f(x))?2，且f(1)?1，f(?1)?3，f(2)?3，则

f(x)? . 二 计算或证明

1. 若(x3?x2?x?1)|(f(x2)?xg(x2)), 则(x?1)|f(x), (x?1)|g(x).

x2?2. 证明：1?x?2!xn?不能有重根. n!3. 证明：如果f'(x)|f(x)，则f(x)有n重根.

41

班级 姓名 学号 §8 复系数、实系数多项式的因式分解

一 填空或选择题

1．在实数域上多项式f(x)?x3?x2?2x?2的标准分解式为 . 2．下面论述中, 错误的是( ) .

A. 奇数次实系数多项式必有实根； B. 代数基本定理适用于复数域；

C．任一数域包含Q； D． 在P[x]中, f(x)g(x)?f(x)h(x)?g(x)?h(x).

二 求下列多项式在复数域和在实数域内的因式分解： 1. xn?1; 2. x?x

nn?1??x?1.

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班级 姓名 学号 §9 有理系数多项式的因式分解

一 选择或判断题

1. 整系数多项式f(x)在Z不可约是f(x)在Q上不可约的( ) 条件.

A. 充分 B. 充分必要 C.必要 D．既不充分也不必要

2. 若整系数多项式f(x)在有理数域可约，则f(x)一定有有理根.（ ） 3. 若f(x)无有理根，则f(x)在Q上不可约.（ ） 4. 两个本原多项式的和仍是本原多项式.（ ）

5. 对于整系数多项式f(x)，若找不到满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么f(x)不可约.（ ） 二 计算或证明题

1. 在有理数域上分解多项式x?2x?2x?1为不可约因式的乘积. 2. 求下列多项式的有理根：

（1）4x?7x?5x?1； （2）x?6x?15x?14. 3．判断下列多项式在有理数域上是否可约：

423232 （1）x4?8x3?12x2?2； （2）x2?x?1； （3）xp?px?1，p为素数.

（4）x2?1．

4. 设p为素数，a为整数，f(x)?axp?px?1，且p(a2?1)，证明：f(x)在有理数域上不可约.

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班级 姓名 学号 §10-11 多元多项式、对称多项式

一 填空题

1．设?1,?2,?3为方程x3?px2?qx?r?0的根，其中r?0，则

122331?12??22??32? ，1?1?1 = .

???123二 计算或证明题

1. 用初等对称多项式表示对称多项式?x1?x2??x1?x3??x2?x3?. 2. 用初等对称多项式表示下列n元对称多项式：

23； (2) ?x1x2. (1) ?x12x2????????? ，1?1?1= ，

122331????????axxl1l212lnl2xn表示所有由ax1l1x2lnxn经过对换得到的项的和.

?3. 求x3?ax?b的判别式.

4. 求三次方程，使其三个根分别是三次方程x3?ax2?bx?c?0的三个根的立方.

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班级 姓名 学号 第六章 向量空间

§1 集合 映射

1. 对下列情形各构造一个映射： 1）是满射但不是单射； 2）是单射但不是满射；

3）既是满射又是单射，并写出其逆映射. 2. 设M与M'是两个集合,

?是M到M'的一个映射, 如果存在M'到M的映射?,使得

??为M的恒等映射,

??为M'的恒等映射, 则称?为一个可逆映射. 证明：?是可逆映射

的充要条件是它是一个双射.

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