2014年全国高中数学青年教师展评课：三次函数的图象和性质教学设计（青海西宁五中郭占禄）

“三次函数的图象与性质”教学设计

青 海 西 宁 五 中

郭 占 禄 2014/10/23

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“三次函数的图象与性质”教学设计

一、教学内容解析：

三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。

本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为：

重点：

（1）探究系数a,b,c,d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律；

（2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。 难点：

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根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。 二、教学目标设置：

根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标：

1、知识与能力：

①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。

②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。

③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。 2、过程与方法：

通过对函数f(x)?ax3?bx2?cx?d,(a?0)性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。 3、情感态度与价值观：

通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。

三、学生学情分析：

本节课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具和图形技术（几何画板）来研究三次函数的图象和性质，符合学生

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的认知规律。三次函数的导数是二次函数，二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数，学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识，并在某些方面具备了把握规律的能力。三次函数虽同样是初等函数，学生能通过导数解决一些三次函数性质相关的题型，但利用几何画板探究三次函数的性质仍显力不从心。首先学生对《几何画板》不够熟悉。其次三次函数的图像与性质本身就有一定的难度。对于观察图像探究系数的变化对图像的影响，学生通过自己的努力基本能够解决。但由此归纳总结性质就存在问题，因为函数的图像与性质本身就很复杂，对学生能力方面的要求较高，不仅需要调动广泛的知识，而且需要有比较清晰的思路。因此这方面教师要通过设置问题、追问、恰当提示等方法加强引导，从而达到突破教学难点。 四、教学策略分析：

根据这节课内容的特点，本节课设计强调学生主动探究式的学习方式，这也是新课程所倡导的教学理念。为突破难点，紧紧围绕教学重点，结合学生已有的基础：会用导数研究三次函数的性质，通过创设问题情境，搭设台阶，并以追问或问题串的形式引导学生积极参与教学。利用多媒体呈现和结合几何画板动态演示，让学生凭借图象的直觉去发现、去探索，逐步加深对三次函数图象和性质的认识，实现从具体到抽象，从感性到理性。对于基础较弱的学生，让他们回答较为基础的问题，若如需要，适时给予点拨、提示、鼓励，并给他们充分思考的时间和空间。对于有良好数学基础的同学通过提问和追问的形式满足他们的求知欲望，激励他们进行深入学习，并适时给他们提

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供展示的平台。在探究图像和性质的过程中为充分调动每个学生的积极性，让同学们在小组内通过自主、合作探究达到教学目标。

教学中通过学生对问题的回答和练习的情况、以及学生的精神状态的观察来了解学生学习对知识的理解和掌握情况并判断其原因、及时调控教学进度或采取有针对性的补救教学。同时为学生提供反思学习过程的机会、引导学生检查学习效果。 五、教学流程：

（一）、设置情景、导入新课

同学们，我们已经学习了二次函数的一般形式？那么你能类比二次函数给出三次函数的定义吗？

学生回答，教师根据学生回答归纳：

形如y?ax3?bx2?cx?d(a?0)的函数叫做三次函数。定义域：R； 思考：三次函数的导函数是什么？

答：导数是：f(x)?3ax2?2bx?c,(a?0)，是二次函数。 思考：判别式是??b2?4ac吗？

答：不是，是??(2b)2?4?3a?c?4(b2?3ac)

追问：二次函数的系数会对函数的图像与性质有怎样的影响？请同学们回想一下、然后思考并回答以下问题

（同学们虽说对二次函数较熟悉，但提高到理论层面仍有点难度：所以通过以下问题串引导。）

（1）系数a是如何影响图像的？

答：开口：a为正时开口向上，a为负时开口向下

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大小：a的绝对值越大，开口越小。

a的绝对值越小，开口越大。 （2）系数a和b的变化是如何影响图像的？

答：对称轴的左右平移变化

（3）系数c对图像的影响是怎样的？对函数的单调性影响吗？

答：（上下平移、不影响） （4）图像与x轴的交点个数由谁来确定？

（由判别式??b2?4ac来确定，这里?是个综合参量） 学生思考回答，教师因势利导：

由刚才的复习，我们知道，三次函数的导数是二次函数，而二次函数的图像与性质和系数的变化有关，不难看出，三次函数

f(x)?ax3?bx2?cx?d,(a?0)的图像与性质和系数a,b,c,d的变化有直接

的影响。那么系数是如何影响函数的图像与性质呢？就让我们带着这个问题一同进入今天的学习探究中。（引入课题）

设计意图：旨在引导学生从熟知的二次函数的情形出发，类比联想，发散、拓展学生思维。为接下来探究三次函数的图像与性质作铺垫。并由此导入新课。

（二）、借助工具、尝试探究：

1、探究一：初识系数a,b,c,d的变化将怎样影响三次函数的图像与性质

例：利用几何画板画出三次函数f ( x 3 ? bx 2 ? cx ? d , (a ) ? ax? 0 ) 的图像，观察图像并思考一下问题。

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思考：①你能猜想哪个系数对函数的单调性没有影响？

让学生类比二次函数做出猜想，之后几何画板演示验证 结论：系数d不影响函数的单调性

②观察系数a变化时函数图像有何特征？

（教师通过几何画板演示让学生观察，教师适时提示引导学生思考、归纳图像的特征）

③当系数a >0时，系数b和c分别变化时，图像有何特征？ 追问：（1）当系数a >0时，系数b和c都变化呢？

（2）那么当系数a >0时，系数a,b,c三个都变化时，图像特征会变化吗？

引导学生分析得出结论：分析函数的图像时只要看两个量：系数a和导函数的判别式?。

（3）那么当系数a<0时，请同学们类比a>0猜想一下图像变化的规律？

（学生类比 a>0猜想，教师通过几何画板演示验证） （4）根据系数a和导函数的判别式?的不同情况，完成下表。 （鉴于学生的不同认知程度，教师在通过几何画板演示，让学生认真观察，自主探究或同桌或前后讨论交流、合作研究。教师适时加以点拨、归纳总结）

归纳总结：三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)图象

a>0

a<0 ?>0 ??0 ?>0 ??0 - 7 -

图 象 y 0 X y x y 0 x y 0 x 设计意图：本题探究系数对单调性的影响，让学生观察图像有多种情形下引导学生明确探究思路和方向，并正确进行分类。

2、探究二：三次函数的单调性、极值

问题：由探究一不难发现，三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d,(a?0)单调性和极值。其中：a?o且??0和a?0且??o两种情形下三次函数在R上是单调函数，另外两种不是单调函数。那么它在R上一定有几个单调区间，如何来确定单调区间？

答：利用导函数来确定。（教师根据学生回答情况引导学生思考三次函数与导函数的图像间的关系）

追问：①观察下面图像，你能说出它们的单调区间吗？

追问：图中的x1和x2的值如何来确定呢？ x1 x2 x1 x2 x

（鉴于学生抽象思维的局限，教师通过几何画板演示三次函数和导函数的图像，让学生直观感知。明确x1和x2的实际意义和求法）

注：f?(x) =3ax2?2bx?c，记?=4b2?12ac?4(b2?3ac)，（其中x1,x2

?b?b2?3ac是方程f?(x)=0的根，且x1

3a?b?b2?3ac） x2?3a②根据上图能说三次函数的极值情况吗？ 学生回答，教师引导归纳、并完成下表。 归纳总结：

函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)的图像与性质（单调性、极值）。

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a>0 图 象 极值 a<0 ?>0 x1 x2 x ??0 ?>0 ??0 x0 x2 x x0 x 单在(??,x1),(x2,??)上,调是增函数； 区在(x,x)上,是减函12间 数； 在(x1,x2)上，是增函在R上是增函数 数； 在(??,x1),(x2,??)上，是减函数 在R上是减函数 f(x)极大值?f(x1)f(x)极小值?f(x2) 无极值 f(x)极小值?f(x1)f(x)极大值?f(x2) 无极值 设计意图：利用多媒体呈现三次函数的图象，从感性到理性，凭借图象的直觉去发现、去探索，从数形结合层面进行思考逐步加深对三次函数图象与性质的认识。 3、探究应用、加深理解：

例1、已知三次函数f(x) ＝ax3+bx2+cx+d的导函数f?(x)的图象如右图所示,则y =f (x)的图象最有可能的是 （ C） y

O 1 2 x y y y y 2 O 1 2 x O 1 2 x O 1 O 1 2 x x 设计意图：直接给出导函数图像，然后设计了四个选项，意在通过对图像的观察，问题的判断，直接考查三次函数的性质。同时也培

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养学生的数形结合意识和能力。 例2、（2010北京卷）

设定函数f(x)?x3?bx2?cx?d,(a?0)，且方程f'(x)?9x?0的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线y?f(x)过原点时，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)在(??,??)无极值点，求a的取值范围。

解：由f(x)?x3?bx2?cx?d，得：

f?(x)?ax2?2bx?c

a3a3因为f?(x)?9x?ax2?2bx?c?9x?0的两根分别是1，4 所以：??a?2b?c?9?0 ------ ⑴

16a?8b?c?36?0??2b?c?6?0

?8b?c?12?0（Ⅰ）当a?3时，由（1）式得：?解得：b??3,c?12 又因为d?0

所以：f(x)?x3?3x2?12x

（Ⅱ）由于a?0，所以若f(x)在(??,??)无极值点等价于

f?(x)?ax2?2bx?c?0在(??,??)内恒成立。

也即：??(2b)2?4ac?0 ------（2） 又由（1）式得：2b?9?5a,c?4a

所以：??9(a?1)(a?9)?0，解得：1?a?9

4、深化练习、巩固提升：

（2010江西卷）设函数f(x)?6x3?3(a?2)x2?2ax.

（1）若f(x)的两个极值点为x1,x2，且x1x2?1，求实数a的值；

（2）是否存在实数a，使得f(x)是(??,??)上的单调函数？若存在,求出a的值；若不存在，说明理由。

解：由 f(x)?6x3?3(a?2)x2?2ax得：

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