原子Bose-Einstein凝聚中的Feshbach共振 - 图文

◆ 可爱的自由度—— 原子Bose-Einstein凝聚中的

Feshbach共振

张 永 德

中国科学技术大学

合肥微尺度物质科学国家实验室

量子信息部 二零一零年五月

1

目 录

序 言

一，低能共振散射与原子Bose-Einstein凝聚

I，低能势散射

II，低能势散射中的共振现象

III，全同雾状原子的Bose-Einstein凝聚

a，凝聚温度的估算之一， b，凝聚温度的估算之二二，超冷全同原子凝聚体Feshbach共振（I）

I，低能Feshbach共振理论 II，Feshbach共振宽度 III，Feshbach共振的散射矩阵

IV，磁可控，超精细诱导Feshbach共振

三，原子凝聚体Feshbach共振的多体效应（II）

V，全同原子多体系统中的 Feshbach共振相互作用 VI，凝聚体混合动力学 VII，粒子损失效应

VIII，关于分子凝聚体形成的结论与注记

四，原子凝聚体Feshbach共振的静力学（III） 五，附录——超精细Zeeman分裂与内态之间的散射

I， 碱金属的基态电子构形与超精细分裂 II，Li原子例子及双态模型计算 III，不同内态之间的散射

2

序 言

这篇讲义主要依据脚注 1 几篇文献，讲解Bose-Einstein凝聚系统多体行为的Feshbach共振现象。因时间仓促和作者知识所限，只限于基本理论推导和主要物理解释，不涉及相关问题的历史及应用。

按照定义，Feshbach共振涉及两体准束缚的中间态，所以又称作闭道碰撞。这些中间态并不像字面那样被束缚住，由于和（比如，入射弹丸-靶系统的）其它道连续态相互作用，这些中间态只能生存有限寿命，所以称作准束缚态。比如，在电子-原子和电子-离子散射中，中间态会发射所俘获的电子而衰变掉。这些态被称作自动电离态。 现在感兴趣的原子-原子散射的Feshbach共振中，中间态是带有电子和核自旋（精细相互作用重排了两个碰撞原子的自旋）的分子。入射道连续态是单道原子-原子散射问题的散射态，而中间分子态将与入射道连续态相互作用。

稀薄超冷原子Bose-Einstein凝聚的性质对散射长度数值极为敏感，尤其是在Feshbach共振情况下。此外，更重要的是，这种冷原子系统粒子间有效相互作用强度可以通过外磁场灵敏地调控。在多体研究中，这种可以灵敏调控的自由度是可爱的。所以超冷原子Feshbach共振极端重要，在多体研究中成为有高度兴趣的课题，是很有前途的实验手段。

1

①E.Timmermans et al., Feshbach resonances in atomic Bose-Einstein condensates, Physics Reports, 315(1999)199-230。② Immanuel Bloch et al.，Many-body physics with ultracold gases，Rev. Mod. Phys.，80(2008)885-964。 ③ R.A.Duinwe, et al., Atom—molecule coherence in Bose Gases, Physics Reports, 396(2004)115-195。 ④ S. Giorgini, et al., Theory of ultracold atomic Fermi gases，Rev. Mod. Phys.，80(2008)1215-1274。

3

一，低能共振散射与原子Bose-Einstein凝聚

I，低能势散射（此节公式编号与与脚注14文献相同）

两个不可区分的玻色性原子碰撞。设原子间相互作用V?r?，分波法展开

??r,????clPl?cos??Rkl?r?,?kl?r??rRkl?r?l?0?d2?kl?2l?l?1?2M?k??Vr????kl?r??0?222drr???

轨道角动量产生一个势垒，高度~l?l?1??2ML2，L为原子间相互作用的

力程，M是单个原子质量。就是说，在力程范围内随量子数l增加而增加。所以此势垒的物理作用，就定态而言是离心作用，使原点成为零点（详细情况及塌缩讨论见脚注3文献[附录C]）；就散射而言是阻止原子间碰撞，尤其阻止原子之间的各向异性散射。低能散射下，平动能量很低，碰撞粒子能量不足以克服轨道角动量造成的离心势垒，各向异性的高阶分波散射全部消失，只剩下各向同性的s分波散射。设L~10aB，此势垒为~?10?100?mK。于是在温度低于1mK的冷原子样品中，玻色性原子经受纯s波散射。作为对照，Bose-Einstein凝聚温度的量级为1?K。

下面只求解径向s波的渐近波函数：

kr???sin?kr??0?kr?? uN?r???? ?exp?ikr?i?0??exp??ikr?i?0???2ikr （1）

?0为s分波相移。出射态的波函数（f为散射振幅）为

kr???k?r,??????exp?ikz??fexp?ikr?r (2)

f???s0?1??2ik (3) ?exp?2i?0??1??2ik?? 4

这里s0?exp?2i?0?。在波函数?k?r,??分波展开中，s分波成份为 2 ：

kr???k?r,??s????exp?i?0?uN?r? (4)

下面考虑的是入射和出射球面波的叠加，由（1）式可得

????0?r??exp??ikr?r?s0exp?ikr?r??2ikexp?i?0?uN?r?,r?? (6)

在原子阱凝聚体中，两个一价碱金属原子通过相互作用（可称作分子势）结成束缚态。于是，按照Levinson定理 3，uN?r?在原子间相互作用区域内存在节点，节点个数等于相应位势中束缚态数目。进一步，超冷碰撞能量的渐近解uN?r?基本上与能量无关：这时de Broglie波长2?k大大超过原子间相互作用区域尺度L。于是，当核间距离r处于L?r?k?1区域内时，ru?r?~?r?a?，a为散射长度（?0??ka），渐近解和碰撞能量无关，只由单参数a决定：

uN?r???kr??0?kr?1??0kr?1?ar,?L?r?k? (7)

?1这里，对吸引力，?0?0，a是负的；对排斥力，?0?0，a是正的。

II，低能势散射中的共振现象

在整个散射实验范围里，最显著的现象大概就是共振散射了。它最简单的形式就是（作为能量函数的）总截面出现尖锐峰。在原子物理、核物理、粒子物理中都可以观察到这种共振散射现象。对这种现象有许多不同的理论研究。它们全都认为，在入射粒子某些能量Ek处，入射粒子--靶粒子系统可以构成准束缚态。入射粒子被俘获而处于这类亚稳状态。这种准束缚态的存在是导致散射总截面突然增大的

2

下面(4)式见张永德，《量子力学》，p.272。即为该书??r,??渐进展开式中第一项（l?0）。

3

张永德，《高等量子力学》，下册，p.488。

5

直接原因。

已知：S矩阵在角动量表象矩阵元为（fl?k?为Jost函数）4：

sl?k??exp?2i?l?k???fl??k?fl?k?,fl?k??fl?k?e?i?l?k? （A）

一般结论是，它在复平面k(E??2k22m)物理叶上半平面Imk?0(k有正虚部，对应推迟Green函数，出射球面波) 的极点对应束缚态；在非物理叶下半平面Imk?0(k有负虚部，对应超前Green函数，入射球面波) 的极点可以满意地解释作为共振 5。于是令

Er?pr22m?ER?i? (B) 2附带指出此处取复值的物理含义：这时对应准定态波函数时间因子为

exp??iEt???exp??iERt??exp???t2?? (C)

因此，波函数模平方给出所有的概率都按exp???t??规律随时间衰减。特别是，发现入射弹丸留在这个准稳定系统之内的概率是按这个规律随时间衰减的。在靠近共振点处，可将相移分解为背景相移和共振相移两部分

fl?E???dfldE?E?E?Er?;r?l?E???arg?dfldE?E?arg?E?Er???l,backg??l,reson; （D）

r?l,reson??arg?E?Ereson?低能共振?backg很小 6，由靠近ER的实轴点E?矢量Ereson的幅角得 7 ：

sin?l?sin?l,reson??2?E?ER????2?22 (E)

4

J.R.Taylor, 散射理论, 科学出版社，1987，p.204，p.231。 5

同上，p.271。 6

同上，p.281。 7

同上，p.273，277，p.272-276。

6

由此，分波截面为

4??2l?1?2??2? (F) ?l?E??sin?E???l222k?E?ER????2?2(F)式就是著名的Breit-Wigner公式。对于低能散射，共振区内粒子de Broglie波波长远大于散射系统尺寸，只有s分波（l?0）散射是重要的。

由（D--F）式得到一个简单的总结性结论：从本质上说，共振不是由于极点附近振幅数值大，而是由sl?k?相位的迅速变化所引起。

共振散射中的时间滞后问题。对于吸引势，出射分波位相被拉向散射中心，?0?0。但它们随入射能量增加而减少。于是，对s散射分波，其滞后时间的量级为

?reson?1d?0a? (G) v0dkv0与此同时，设靶尺寸为b，势散射的时间延迟是?poten?bv0。于是，准束缚态导致共振散射时，应当有

?reson??poten (H)

III，全同雾状原子Bose-Einstein凝聚

i，凝聚温度的估算之一 8

定义：转变温度（又称凝聚温度）TC为开始出现Bose-Einstein凝聚体的最高温度。它的量级可如下估计：对于自由粒子的均匀气体，相关物理量只有三个：粒子质量m，密度?和Planck常数h?2??。由m,?,?构造出能量的唯一方式是?2?23m。于是，除以Boltzmann

8

C.J.Pethick,et al., B-E Condensation in Dilute Gases, Cambridge Univ. Press, 2002, p.4。

7

常数k，就得到凝聚温度的量级为

?2?23TC?C mkC为常系数，近似为3.3（脚标8文献，p.22）。例如，对于适当密度

的饱和蒸气压下的液4He，由此公式估出的转变温度为3.13K。

ii，凝聚温度的估算之二

a，物理概念。其实，气体这种从近独立自由分散状态向凝聚

状态的变化是一种相变。其物理根源是：粒子热运动的动量随温度降低而减少，相应的de Broglie波波长增大。加之，不确定性关系表明，空间分布的不确定性也增大。于是粒子波动性将逐渐增大，相邻粒子间波函数的相干叠加逐渐增强。正是它们，形成着和改变着“空间相干性”，或者说，产生了粒子间的“量子纠缠”和改变着“纠缠模式”。这就是导致物态的各种相变的基本原因，空间相干性质不同（如何短程相干或怎样长程相干）对应的相态将会不同。

换一种语言表达这个思想。注意到，Fermi气体有几个特征长度：Fermi波数kF、气体中自由程l、热de Broglie波波长?T、粒子间相互作用力程L、低能散射散射长度a。考虑到气体相变是由于空间相干性出现的观点，于是相变将和这几个特征长度的关系有关。比如，

1考虑到全同Fermion气体的Fermi波数kF??13~l?1、再注意到，??T，

由低能散射的Ramsauer效应，散射过程完全由单一参数，即散射长度a所表征（见上下文）。于是当kFa?1，即散射长度变得大于粒子间的间距，并依次大大于原子间相互作用力程L时，也就是，相互作用很强但力程很短的稀薄超冷气体，将会出现这种与相互作用势的细

8

节无关，而只与原子de Broglie波波动性有关的、带有一定普适形式的相变。实验和理论都表明，这种气体是足够稳定的 9。

b，热de Broglie波长?T与转变温度TC的计算。 设体积V中含N个全同粒子，E?p22m，?为化学势。有

dVd3pdNd3p4?p2dp2??2m?dN???3??33hdVhhh332EdE,?pdp?mdE?

代入Bose-Einstein分布，并作积分。有下面等式，

Nex???dNe?E???kT0?1??V?EdE32? 2?2m??3??E???kT?0?he?1这里已经取能量零点为单粒子最低能级。积分只对处于激发态的原子进行，也即，下限处排除处于基态原子数Nex?N?N0。化学势?不可能为正值，因为那样一来对一些低能级的概率分额会是负值。如果全部粒子均未参与B-E凝聚，处于基态的原子数目自然为零，于是负值函数??T?随温度的变化将始终保证积分值等于原子总数N。

对于已出现凝聚体的极低温度，Nex数值与温度有关。当温度下降至转变温度T?TC时，??T????TC?由负值趋近于零10。这时引入无量

9

但是，在临界温度以下，是在结成Cooper对的BCS区域里，还是在整体BEC的区域里显示超流性呢？对于BCS--BEC转型的多体问题研究，目前还没有定论的解析理论。常用的方法是标准的平均场近似。此段叙述参见脚注1文献 ④中p.1227-1228。 10

对全同Fermion体系，“T?0时化学势?等于Fermi能” 导致，对理想Fermion气体（下面设每个态上只许占据一个粒子；若为电子，因为容许两个态，括号内系数应为3?）：

2?223kF,free??6????,EF,free???6?????kBTF,free

2m2m而对于三维谐振子势阱中的全同Fermion气体，“T?0时化学势?等于Fermi能”导致：

232?E22????3?dE?EE2???geo??dE3geo?????????N?????E?0????EF,haN?0exp??E????10exp?E?14?? ????2132?2kF,freeEF,ha?kBTF,ha??6N????geo,

13?geo???x?y?z?139

纲变数EkTC?x，用粒子总数N等式，有 11：

?V?xdx32?2?2mkT?N,??C3?x?0?he?1??0xdx??2.612ex?1232??N?2.612V?2?mkTC?h332?2?mkTC??2.612??h2???2.612

??TC?3在TC附近，可按此处表示，引入热de Broglie波长?T。于是有

???T???2.612,3T2??2 ?T?mkT由此，另一个将转变温度TC和粒子密度?关联起来的等价方法是：在理想气体中，只当温度如此之低，以致热de Broglie波长?T不小于粒子间平均间距??13?l，即?T???13时，才会发生Bose-Einstein凝聚。

对碱金属原子，对应以前1013cm3到最近?1014?1015?cm3的密度，转变温度从100nK到几?K。对于氢原子，因质量较轻，转变温度较高。显然，高温下?T很小，气体的行为是经典的。

c，凝聚体的份额。利用?0发态的粒子总数为：

Nex?C????x??1dxx?????????，可得处于激e?10E??1?dEEkT?C??????????kT? e?1注意，这个分额并不依赖于粒子总数N。代入TC的表达式，即得

?T?Nex?N?? ?TC??于是，处于基态形成凝聚体的原子份额为：

11

推导所涉及的积分是下面一般形式积分的特例:

?

?0?x??1dxx?????????,??????n???Riemannzetafunction e?1n?110

??????rkkr????m4?32??dr??2k?2?i?r?HPM?m3??2k????2???????????ims?wave3??????dr?k?rk?kr??r?HPM?m2ss?2??? ???iexp?ikr???im??3???dr??k??expi?ur?????r?HPM?m0N22??kr????Mexp?ikr??3??????expi?drurH?r?????0?NPMm24??r于是

Mexp?ikr?????rGP?E?HPM?m??exp?i?0??4??2r (28)

???d3r?m?r?HMPuN?r?注意径向波函数uN?r?,?m?r?均为实函数，又有

????mHMP?P??2ikexp?i?0??d3r?m?r?HMPuN?r???2ikexp?i?0??druN?r?HPM?m?r???2ikexp?i?0??3

?????M?2exp?ikr????rGP?E?HPM?m?mHMP?P?iexp?2i?0???k2?4??r?? (29)

exp?ikr??iexp?2i?0??m?E?r于是将（26）式P?向r投影，最终得到散射态的径向渐近表达式：

??exp??ikr?i?m?E?exp?ikr?rP????1?exp2i?（30） ???0rE?E?i?E2r??mm??认出此式方括号与S矩阵的关联，得到（?0??ka）

???m?E?S?exp??2ika??1?i? （31）

E?Em?i?m?E?2??注意，S矩阵是厄米的S?1，因为不存在有损失的散射道。 结果是用有效散射长度S?exp??2iaeffk?,aeff?a?a?。即

??E?Em?i?m?E?2?m?E?exp??2ika????1?i （32） ??E?Em?i?m?E?2?E?Em?i?m?E?2?

16

aeff?a??m21 （33） tan?1k?E?Em?在凝聚体的合适超低能极限下，E、Em?0，E?Em???，?可正可负，是分子束缚态能量对P道连续态能量之差，是Feshbach共振的失谐度（detuning）。在这种极限下，可将上式按k值的最低阶展开，注意?m?2?k，得

limaeff?E??a?E?0?m112?k??a??a? （34）

2k?E?Em?2k???对于相互作用比较弱的多体系统，用散射长度a描述，不如用相互作用强度描述更为方便。假如粒子间散射能够用Born近似，则“散射振幅f??,??将正比于粒子间相互作用势Vhf?r,s1,s2?中相应的Fourier分量”。而参数?就代表粒子间相互作用势的Fourier变换的零动量成分。即（见脚注2文献，p.278(10.15b)式、p.285(10.30) 式），

??M??????iq?r???f(?,?)fi?e?|Vr,s,s|?dr?q?0?????f12i4??2? MM????a??|V?r?,s1,s2?|?idr???4??2?f4??2???于是，?和散射长度a的关系是（?量纲是能量E乘体积V）

???4??2M?a

然而，Born近似不能用来描述低能双原子碰撞。这时，相互作用强度仍旧正比于散射长度，虽然后者必须更精确地由整个势散射问题来确定。按同样精神，可以引入一个等效强度?eff??4??2M?aeff来描述低能双原子碰撞，于是

?eff??4??2M??a?????????2?? （35）

此处用了约化宽度表达式???2?M4??2?。

17

IV，磁可控，超精细诱导Feshbach共振

通过研究可变外磁场下双原子相互作用行为，在每个实验中都观察到了“低能Feshbach共振”。双原子相互作用中的共振行为是由超精细相互作用所引起。这种超精细相互作用翻转了两个碰撞原子之一的电子和原子核的自旋。从而将两个价电子自旋平行的双原子碰撞体系从连续的P道（开道）转入自旋反平行的M道（闭道）。当两个价电子的自旋反平行时，它们空间波函数的对称性使它们“彼此不回避”（与此相对照，空间波函数反对称使它们“彼此刻意回避”）。这使静电相互作用势能提高。于是，外磁场升高了自旋翻转成反平行原子系统的连续能级，从而将道M封闭，原子彼此囚禁（还可见后面叙述）。如果这时正好有一个束缚态能级在附近（有一个正或负的能级差?），碰撞原子就暂时以束缚态处于自旋反平行的势阱中，组成一个准束缚的分子状态m（共振体resonate）。这样一直等到超精细相互作用再次诱导这对原子，使它们自旋变成平行。就是说，第二次自旋翻转后，自旋平行的双原子体系看到的是较低的势阱，势垒消失，彼此分开没有问题，准分子拆开，使体系返回初始P道。假如??0，即中间准束缚分子的能量等于P道的连续能级，上面所描述的碰撞过程就处于共振中。改变外磁场实际移动了M分子的和P道双原子的能量，于是就调谐或失谐，也即使原子相互作用靠近或远离共振。准分子的寿命，也就是原子在势阱中所处的时间等于自旋两次相继翻转的时间间隔。显然，它应当很大于两个碰撞原子直接穿过彼此势场的时间。

18

为了说明Feshbach共振形成而涉及的两个不

同散射道的势能曲线图。Eth是进入道的阈能

?p2?H0???Hinter?1??Hinter?2???Eth??????????????

?2mr?而Eres是一个（准束缚的）闭道态的能量 15

作为一个很好的说明，首先讨论并非是现在实验情况的强外磁场极限

????下的碰撞。外磁场B?Bz，电子自旋s，原子核自旋i。为确定起见，113?m??,m??考虑超冷原子23Na?，有自旋投影。两个这样的i?is???2?22原子相互作用由电子平行耦合时的位势所描述。在三重态（P道）上，两个原子中的两个价电子，它们空间行为就像是两个不可区分的Fermions“相互回避”，于是一般说就降低了电子间Coulomb斥力。相反，假如碰撞原子的自旋被按排在单重态（M道）上，价电子的空间行为“并不相互回避”，于是和三重态位势相比，Coulomb斥力会抬高原子间van de Waals势的曲线。就是说，这时分子内两原子相互作用的“剩余Coulomb势”——van de Waals势的势阱和势垒曲线抬高。所以，M道的连续谱比入射P道的连续谱高（注意，是谱高，

15

C.J.Pethick,et al., B-E Condensation in Dilute Gases, Cambridge Univ. Press, 2002, p.133。

19

不是态具有的能量高。态能量不变）。

???因此，原子间的相互作用依赖于总电子自旋S?s1?s2的量子数

S。从自旋量子数为

1的三重态P道，因超精细作用而翻转为自旋量

子数为零的单重态M道，翻转后与翻转前相互作用之差为

???Cs13???????1?s2s?0??3C4Cs1?s2??s?s?1??????????Cs1?s22?2???Cs1?s2s?1?C4s?0s?1??C?0

此自旋相互作用内能是减少的。由于超精细作用是内部的，而且很小，假如不存在外场，体系总能量将基本不变。于是，翻转后两个电子自旋相互作用内能的减少转化为它们空间电荷排斥能的增加。

如果有外磁场，整个过程将是：两原子体系从有自旋、有外磁场取向能的P道，转化为无总自旋、无外磁场取向能的准分子M道，再转化为有自旋、有外磁场取向能的P道。后面（M?P）转换过程中附加能增加??B?。于是不?2?e??N??（?e是电子磁矩，?N是核磁矩）能按M?P直接演化过去。换个说法，处于M道的两个原子所看到的连续谱要比P道时看到的连续谱高出?，于是不能直接彼此分离。所以，自旋平行耦合的三重态是开道（P道）；自旋反平行耦合的单态，由于（已设定的入射）能量小于势垒，对散射而言是闭道（M道）。只当内部演化使自旋再次平行，双原子体系才能再次回到P道。

这时，双原子体系的初始自旋态为

Sin?ms??12111111,mi???ms??,mi???,?222222?0,011??,?22eeiiii?1,0?11??,?ee22?1,0ii11??,?ee22

其中当两电子处于自旋单态0,0ee时，两原子不能超越势垒，不发生

20

散射，所以两原子通过电子三重态1,0ee的分子位势进行相互作用。然而，双原子超精细相互作用

Vhf?ahf??2???????s1?i1?s2?i2?? ?2??2不和总自旋S??s1?s2?对易，它能够翻转三重态电子自旋为单态构

形。在核间距离大的情况下，这个单重道对应于单个自旋翻转原子的双原子体系。在接近共振条件下，单态（M道）位势支持着一个准束缚态?m?r?Sj?。它是一个靠近P道连续谱的能量为Em、（电子和核的）总自旋态为Sj?的准束缚分子态。

在H演化下，原子--分子的耦合转换P?M由两个过程

HPM?HMP之和组成。耦合由双原子精细相互作用Vhf所提供。表征共

振的是显示此处道间耦合强度的参数?，它是自旋矩阵元和正规三重态波函数与分子单态波函数交叠的乘积，

??Sf?VhfSin??d3r?m?r?uN?r? （36）

?由于观察到的共振是在中等磁场强度下制备的，所以事实上单个原子真正自旋态并不是mi,ms为好量子数的态。代替单个原子自旋，自由度占据在这样一个态上，这个态将把单原子Hamilton量

Hspin(1)ahf????2s1?i1?B?????2?es1??Ni1?? （37）

?右边第一项是单原子超精细相互作用，由ahf所表征，这个能量依赖于同位素（比如，对23Na有ahf?42.5mK）。在零磁场（B?0）下，对角化产生超精细态，它们好量子数是f（单原子总自旋f?s?i）。在高磁场（B?ahf?e?）下，超精细相互作用可以按最低阶微扰论处理，电子和核自旋都处于mi,ms为好量子数的态。对任意磁场强度，原子

21

态为线性叠加态c?12mi?m?,ms?12?111系数可?c12mi?m?,ms?。

222将Hspin(1)对角化。于是当每一个碱金属原子都处于特定自旋态时，两个碱金属原子系统一般处于单态和三重态的线性叠加态上。

?将原子采用投影向总电子自旋S为好量子数的态的投影算符?S?表示成双原子Hamilton量： 间相互作用V??V?r??V?S?S （38）

S也将双原子超精细相互作用的自旋标量乘积写作总电子自旋和总核

???自旋（I?i1?i2）：

?????????????s1?i1?s2?i2??s?s?i?i?s?s?i??12?12?12?1?i2?2 ???????S?I?Sd?Id??2??????这里Sd,Id分别表示“自旋差算符”。它们在交换脚标时反号，是反称

的。它们只将量子数I,S相差为1的量子态（单重态——三重态）耦合起来。

?,H将上面Vhf,V总和起来，碰撞中双原子体系的自旋相关spin(1?2)Hamilton量有如下形式： HSpin?1,2?即

???HSpin?1,2??HSpin?1,2???VS?S?0S??2?eS??NI?ahf????ahf??????2S?I?B???VS?S?2Sd?Id

2??2?Sahf??S?Id （40） 2d2?此方程提示，将碰撞道如下划分很方便：将双原子/自旋系统划分成为（由态I,S;MI,MS适当叠加而成的）好量子数I,S的、能将算符

22

??HSpin?1,2?对角化的子空间j。相应的本征值决定j道的连续能级。通过

0???构造，原子--原子相互作用位势V对这些道是对角化的，但Sd?Id项是

非对角项。在描述碰撞中，将入射双原子系统的自旋态Sin投影到碰撞道j:Sin??Sin;j。相互作用Sd?Id将j道跃向另一个自旋翻转的

j??双原子自旋态Sf?，如果这个自旋翻转道的相互作用位势能够支撑一个束缚态?m?r?Sf?，且其能量Em靠近入射道的连续能量，就会发生Feshbach共振。相应的参数?等于

?j,j?,m?ahf2?2Sf????Sd?IdSin;j??d3r?m?r?uN,j?r?

?这里，磁场强度是实验的旋钮，控制着共振调谐。失谐参数?是准束缚态能量Em与入射原子连续能量之差。令束缚道（闭道）势阱Vclch?r?与散射道（开道）势阱Vopch?r?在r??时之差为?：

????Eclosedchannel?r??Eopenchannel?r???r???Em??

这里Em为准束缚态的束缚能。当B?Bm取共振值时，从入射道看，准束缚分子能量在入射原子连续能级线上，以致?等于束缚态的束缚能??Em。靠近共振处??Em?????B???B?Bm??。于是失谐参数?为

????Em?????B???B?Bm?? 最终，靠近共振处的有效散射长度方程（34）式成为

??B?? （42） aeff?a?1?,?B??a????B??B?Bm?于是，对磁场强度的依赖关系是“断续而发散的”。同样，有效相互作用强度方程（35）式成为

?eff???1??

?? （43） B?Bm?23

?B?

6Li散射长度对外磁场的一个宽Feshbach共振，

间断点是共振点B0?843G（Bourdel, etal.，2003）16 在Feshbach共振点附近，散射长度对外磁场改变异常灵敏，从而很便于用外磁场来调控 17。比如说，可以从大磁场下很小的负a值出发，将磁场减小，以便增加a的绝对数值，达到共振点，同时散射长度发散。再考察共振的另一边，那里a变成正值，并且最终变得很小。

不要天真地认为，用这种使a变成正值办法，就达到了排斥气体的区间。并非如此的原因是存在Feshbach共振。散射长度的正数值并非来源于斥力，而是来源于两体问题中出现二聚物的束缚态。这种二聚物尺寸量级上是散射长度，束缚能是?bound???2ma2。这些二聚物由两个Fermion组成，具有boson性质。假如气体足够稀薄和低温，它们最终会导致Bose-Einstein凝聚。然而，二聚物的尺度不能太小，它们应当比分子的深束缚能级的尺度要大。这要求a~R?，于是就保

16

S. Giorgini, et al., Theory of ultracold atomic Fermi gases，Rev. Mod. Phys.，80(2008)1222。 17

同上，p.1226。

24

证了弱束缚二聚物系统有足够的稳定性，使得当二聚物间碰撞时，二聚物向分子深束缚能级的跃迁可以忽略。

三，原子凝聚体Feshbach共振的多体效应（II）

V，全同原子多体系统中的 Feshbach共振相互作用

目前，对于整个BCS?BEC转型过程还没有一个精确的解析解。 为了描述“同类”粒子组成的多体系统的物理性质，采用二次量子化方法很恰当。对现在情况，最方便的是选用单粒子平面波作为准粒子基，进行产生或湮灭的描述。由此，将“场”按这组基展开作为：

??1??????r,t??ck?t?expik?r ???k??二次量子化的Hamilton量密度和Hamilton量为

2????????????????????????Hr??r??Vr?r??r?r?r?r???????????????????ext?2m2?? （44） ?????d3rH??rH????当超稀薄原子阱系统的密度n??1013?1015?cm3，有na3??10?8?10?4?。因此，粒子间的相互作用本质上是双原子体系的。特别是，原子-原子相互作用可以描述成双原子碰撞，部分理由是碰撞复合体生存时间如此短促，以致于碰撞复合体和其它粒子的相互作用可以忽略。这个假设是一个重要的依据，使我们在原子-原子相互作用的形式多体处理中，作为“阶梯近似”的结果能够重新引入双原子散射长度。这种处理的最后结果就是前面的???4??2M?a。较低的气体密度允许采用处理方案???eff，这里?eff是方程（43）的描述双原子碰撞的有效相互

25

而是意味着凝聚体系统多体物理学中基本和可观察的差异。

我们指出，分子凝聚体成分的形成并不违背通常的常识。比如，在分子被极快破坏的极限下，为响应磁场突变所发生的振荡是“过阻尼”的，并且找不到分子凝聚体的信号。于是，有兴趣和重要的是去注意，分子凝聚体的寿命能够大大地超过单个分子的寿命。

还应当指出，分子凝聚体的出现并不破坏能量守恒。的确，在双体碰撞中，分子从入射原子那里得到的能量和动量一般说是“在壳外”，这使得分子的创生只能被理解为在虚粒子意义上。然而，这个考虑并不阻止“分子凝聚体”的出现。在一个凝聚体系统中，不可能为总波函数的一个单粒子分量去设定一个确定的能量。但是，可以对“分子凝聚体”设定一个化学势：?a是原子凝聚体的化学势，?m是分子凝聚体的化学势。这两个化学势包含着非线性自身相互作用项（比如，

?a?a就是对?a的一种贡献），而?m则包含着单个分子能量?。形成

2单个分子所需要的能量于是就等于?m?2?a。有趣的是，在平衡的凝聚体混合物中?m?2?a（如同下节讨论的那样）。于是在平衡的凝聚体混合物中，制造一个分子并不耗费能量，即便?不等于零也如此。在这个意义上，分子的能量和动量是“在壳上”，并且可以将它们看成不破坏任何守恒律的长寿命实粒子。

四，原子凝聚体Feshbach共振的静力学（III）

见脚注文献14第219页以下，从略。

五，附录——超精细Zeeman分裂与内态之

31

间的散射

I，碱金属基态的电子构形与超精细分裂 20

Z 电子自旋 电子构形

H 1 12 1s Li 3 12 1s22s1

Na 11 12 1s22s22p63s1 K 19 12 1s22s22p63s23p64s1 Rb 37 12 ?Ar?3d104s24p65s1 Cs 55 12 ?Kr?4d105s25p66s1

其中，?Ar??1s22s22p63s23p6，?Kr??1s22s22p63s23p63d104s24p6。

???B?Bez下，原子中价电子磁矩与原子核磁矩与外磁场作外磁场

用，以及它们相互作用产生原子光谱超精细分裂（hyperfine splitting

—hf）的Zeeman效应。

?????????。于?设电子角动量为J，原子核角动量为I，总角动量F?J?I是和外磁场的相互作用Hamilton量为 21

???????IzI????Hinter?Vhf??2?BJz???B,?????II??? ??????2??????16??????1n?je?V????B?AI?J????0I?J,B?dV????B?hf2?3Icr???由此即得超精细分裂的能移为

?Ehf?????AI?JF?I?JF?I?J?A?F?F?1??I?I?1??J?J?1???2?F?I?JF?I?J

20

同脚注15文献，p.42。 21

也见L.D.Landau et al., 量子力学（非相对论理论），下册, 高教社，§121公式(121.9)。

32

???，超精细?为简单，考虑碱金属，这时价电子轨道角动量为零，J?S分裂是双分裂。于是有

?Ehf?216?I?121???B???0???I??A 3I2??例如，87Rb原子核反常磁矩??2.751?N（?N为核磁子，其数值远小于Bohr磁子?N???B），核自旋I?32，其 ?E?2A。

将上面相互作用Hamilton量简记作 22：

????????DI?,C?g?B,D???BI Hinter?AI?J?CJzzB对87Rb有D??1.834?N。注意CD~mpme?2000，对大多数应用来说D可以忽略。在同样量级上电子g因子可取作2。取无耦合表象?mI,mJ?共计8个基矢。这个Hamilton量可以用统一方式求解（见脚注22）。

?1????IzJz??I?J??I?J??下面用脚注15文献第44-48页办法求解。由I?J2直接求得其中两个能级为

1313?31?3??3?1?3E?,??A?C?D;E?,??A?C?D

2222?22?4?22?4?守恒，于是它们对磁场的依赖是线性的。由于此Hamilton量保持Fz叠加只在mI,?11,mI?1,之间进行 22F,mF?mI?111??mI,???mI?1, 222于是其它态的能量可将相应的2阶矩阵对角化求得。首先考虑

mI?mJ?1??32,?12,12,12?情况，这时

22

其实，对任意磁场强度，此Hamilton量可以统一求解。详见张永德《量子力学》，科学出版社，2008年。第九章。

33

?313??A?C?D22?4?3A??2?3A??????2????E???

111???????A?C?D?422?若要非零解，即矩阵对角化，给出

E??A3212?D?A??A?C?D? 444对态叠加mI?mJ??1???32,12,?12,?12?情况，对应的矩阵只需作替换C??C,D??D即可。对mI?mJ?0??12,?12,?12,12?情况，矩阵为

1?1??A?C?DA???4???????2?????E???11??????A?A??C?D??? ???42?E??112A?A2??C?D?44其余从略。

II，Li原子例子及双态模型计算

Li原子

23

。电子自旋12核自旋1。考虑a,b两个Li原子碰撞，分

别制备在状态mf??12上，即a?ms??12,mi?1（混有少量；b?ms??12,mi?0（混有少量ms?12,mi??1）。ms?12,mi?0）

于是，在这两个最低态上的两个原子主要是散射向它们的三重态。相当一般性地，在碰撞中的相互作用能够写作求和的形式：

V?r??1??????3Vr?Vr?Vr?Vrs????????tsts1?s2 ????4这里，Vs和Vt分别是单态和三重态的分子位势。si是每个原子的价电

23

Immanuel Bloch et al。，Many-body physics with ultracold gases，RMP，80，885（2008）。

34

?子自旋。在大距离上，位势Vs和Vt有着van der Waals吸引势的同样行为，但在短距离上行为相当不同：有很深的吸引势深阱，而且Vs的吸引势深阱比Vt的吸引势深阱更深一些。现在，在强磁场下，初态a,b并不是纯粹的三重态。由于V?r?的张量性质，这个自旋态在碰撞期间将发生演化，更精确地说，因为V?r?第二项在基a,b中并不是对角的，自旋态a,b可以耦合到其它散射道c,d，只要保持总自旋z分量mfa?mfb?mfc?mfd即可。当两个原子彼离开时，c,d的Zeeman效应加上精细能量超过制备在a,b态的这对原子初始动能。超过的量为精细结构能量的量级。由于热能远小于超冷碰撞的动能，道c,d很靠近，并且经碰撞后原子总是在开道态a,b出现。然而，由于a,b通过

V?r?第二项（它典型的量级是ev）和c,d的强耦合，于是开道的有

效散射振幅能被显著的修改。

现在构造一个简单的双道模型，以体现低能Feshbach共振的主要特征。考虑以折合质量Mr相碰撞的两个原子。开始制备在开道上，其位势势Vop?r?导致本底散射长度abg。选取能量的零点使得

Vop????0。在开道入射碰撞过程中，经过矩阵元W?r?发生和具有位

势Vcl?r?（Vcl????0）的闭道相耦合。W?r?的区间为原子尺度rc的量级。为简单只考虑一个闭道，这和考虑孤立共振峰相对应。

??2????VrWr??????op2Mr? H?????2W?r????Vcl?r?????2M?r?再假定abg的量级为van der Waals长度。当闭道有一个能量接近于零的束缚态时，散射共振就发生了。假定碰撞态的磁矩不同于开道和闭

35

道的，将它们差记作为?。通过改变磁场?B，就能相对于开道移动闭道的能量??B。也即相对于开道调谐闭道的位置。

III，不同内态之间的散射 24

以前处理原子--原子散射常采用忽略来自原子核与电子自旋的内部自由度。其实，这些内部自由度会引起超精细Zeeman分裂。当核自旋为I时，核自旋态数目为?2I?1?，于是对处于基态的两个碱金属原子超精细态总数为??2?2I?1???个，用?,?表示它们。于是

Hrel??p2?Hinter?1??Hinter?2??H??H0?V:?02mr

?V??atom?atominteraction?2??H0的本征态记作??,k，?k是相对运动动量。当两个原子本征态直

积时，E???k????2?2k??2mr????????????）。??????（或者H0??k?????E????k??????k???波函数渐近表达式为

??e??ik???r????f????????????????1ik?????r??k??,k????e???? r??????，可得 由能量守恒E???k????E?????k??2?2k????2mr?2?2k??2mr??????????????

?2如果左边k?便说该道是封闭的。换一种方式表述为：假如该道????0，

?????小于阈能Eth??????????????，就说该散射道相对运动总能量E?????k?是封闭的。

由散射矩阵T的Lippmann-Schwinger方程出发：

T?V?VG0T 24

同脚注15文献，p.120。

36

;G0??E?H0?i??

?1??针对各种相互作用，如表示自旋flip-flop的自旋标积CS1?S2，相应

??V?Vs?3Vt4??V????t?Vs?S1?S2 其中包括接触式的自旋交换

V?4??2?at?as??????mS1?S2??r?

还有磁偶极-偶极相互作用

2V??0?2?B??4?r3??S??????1?S?r?2?3S1????S???2?r????? 等等，求得散射矩阵T的矩阵元，

f??????????k??,k?????m?r2??2????T?k??????,k?????;E??? 从而得到微分截面：

d??????????d??f2v?????????????k????,k??????v?fk???????????k????,k??????2????k??

37

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