考研数学笔记(数学一)

笔记

高等数学

高中公式

三角函数公式

和差角公式 和差化积公式

sin( ) sin cos cos sin sin sin 2sin cos

cos( ) cos cos sin sin 22tg( ) tg tg

sin sin 2cos sin

1tg tg

22

ctg( )

ctg ctg 1cos cos 2cos cos

ctg ctg 22cos cos -2sin

2sin

2积化和差公式 倍角公式

sin2 2sin cos

2tan

sin cos 11 tan2

2

[sin( ) sin( )]cos2 2cos2

1 1 2sin2

cos sin 12

[sin( ) sin( )] cos2 sin2

1 tan2 1 tan2 cos cos 12

[cos( ) cos( )]tg2 2tg 1 tg2 ctg2 ctg2

12ctg sin sin 12[cos( ) cos( )]

sin3 3sin 4sin3

cos3 4cos3 3cos

3

3tg tg3tg 1 3tg2

半角公式

sin

2 cos 2

tg 2 1 cos sin sin 1 cos 　ctg

2

1 cos sin

sin 1 cos

V11

棱柱=SH V棱锥=3SH V棱台=3

)

球的表面积：4πR2

球的体积：4椭圆面积：πab 3

R3

椭球的体积：43abc R3

第1章 极限与连续

1.1集合、映射、函数

空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界确界存在定理：凡有上映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，(下)界的非空数集必有有限的上

(下)确界。

因变量，基本初等函数 1.2数列的极限

性质：1.2. 3. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。

（有界性）收敛数列必为有界数列。 （子列不变性）若数列收敛于

注注1.a，则其任何子列也收敛于a。

2. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，若数列注3. 就是原数列，则原数列也收敛于{x有两个子列{x仍不能保证原数列收敛。n}p},{xq}均收敛于a，且这两个子列合起来

性质3提供了证明了某数列发散的方法，a。

即用其逆否命题：4. （对有限变动的不变性）若数列该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。若能从

得到的新数列仍收敛于a。 {x，则改变{x

n}收敛于an}中的有限项所

5.

（保序性）若limx a,limy b，且a<b，则存在N，当n>N时，有

n

nn

n

xn<yn。

判别法则：

1.夹逼法则：若 N,当n>N时，xn≤yn≤zn，且limxn=limzn=a, 则

n

nlimyn=a。

n

2.注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。单调收敛原理：单调有界数列必收敛。

3.在正整数柯西收敛准则：数列N ，使得当{xm，n}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数n>N时，有|xε，都存m-xn|<ε。

1.3函数的极限

性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。判别法则： 1.夹逼法则：若

邻域

xlim xf(x) limx xh(x) A，且存在x0的某一去心0

Uo

(xx Uo

0, )，使得 (x0, )，均有f(x)≤g(x)≤h(x)，则limx xh(x) A。

2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。

3. 柯西收敛准则：函数f(x)收敛的充要条件是： ε>0, >0, x’,x’’∈ Uo

(x0, )

,

有|f(x’)-f(x’’)|<ε。

4.海涅(Heine)归结原则：

对于任何满足

xlim xf(x) A的充要条件是：0

的数列{xn}，都有xlim xxn x0limf(xn) A。

n

收敛于该点的自变量归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方面的，者选出两个收敛于该点的数列x的数列{x例如可以挑选一个

却具有不同的极限。 {xn}，而相应的函数值数列{f(xn)}却不收敛；或n},{x’n}，而相应的函数值数列{f(xn)},{f(xn)}1.4无穷小与无穷大 若

xlim

(x)

，当

0

x0

(x)

ll 时，则称x→x 00时称α(x)是β(x)的

1

高阶无穷小，记作 (x) o( (x))

(x) O( (x)) 同阶无穷小，记作

等阶无穷小，记作 (x)~ (x)常用等价无穷小

sinx tanx arcsin x arctanx ex 1ln(1 x)~x1 cosx~1

2x2 (1 x)a 1~ax ax 1~xlna

若f(x=0), f’(0)≠0,则

x

f(t)dt

1

2

f (0)x2 确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式 1.5连续函数

极限存在连续简断点： 左右极限存在且相等，且等于该点函数值。 左右极限存在且相等。

左右极限至少有一个不存在。1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；

2.闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。

1.6常见题型

求极限的方法：泰勒公式；7.放缩法；

5.洛必达法则；1.四则运算；6.利用函数极限求数列极限；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换； 4.求极限limx,就要将数列xn放大与缩小成：zn≤xn≤yn.

n

n

8.求递归数列的极限

(1)先证递归数列{an}收敛（常用单调收敛原理），然后设limn

x

n

A, 再对递

归方程an 1

f(an)取极限得A=f(A), 最后解出A即可。

(2)先设

limxn A，对递归方程取极限后解得

A，再用某种方法证明

n

lim

an A。

n第2章 导数与微分

2.1求导法则和求导公式 求导法则：

1

笔记

1.[αu(x)+四则运算法则 βv(x)]’=αu’(x)+

βv’(x) [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+ u(x)v’(x)

[u(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v(x)] v(x)

2.复合函数求导

(f[ (x)]) f [ (x)] (x)

关键在于区分哪些是中间变量，哪些是自变量 3.反函数求导 [f 1(y) ]

1 f (x)

4.5.隐函数求导参数式求导

x x(t)y(t),dydx y (t)x (t),d2yy (t)x (t) y (t)x (t)

dx

2 y [x (t)]36.7.对数求导法分段函数求导

(1)按求导法则求连接点处的左右导数 设

f(x) g(x),x x x0x),x,若g (x h(

0) h (x0) A,则f (x0) A.0 x x

(2) 按定义求连接点处的左右导数 设

g(x), x x x0

f(x)

A, x xg(x)与f(x)在点x0处无定义， 0,

h(x), x x x 可按定义求g

(x0)与h (x0)0(3)对于

g(x),x x f(x) limf(x) f(x0) 0(1)f(x)很复杂，按定义求,f (x0) x x0A, x x,

x x0

0(2)否则，先求出f (x)，再求limx xf (x)

8.变限积分求导

y

(x)

(x)

f(t)dt,

dy

dx

f( (x)) (x) f( (x)) (x) 求导公式：

(C) 0

(sinx) cosx(arcsinx) (x

) x 1

(cosx) sinx

(ax) axlna(tanx) sec2

x(arccosx) ) cscx(log1(ctgx

2

ax) 1xlna(secx) secx tanx(arctgx)

cscx ctgx1 x2

(cscx)(arcctgx)

1

1 x2

2.2高阶导数和高阶微分 求高阶导数的方法： 1.莱布尼茨（Leibniz）公式：n

(u(x)v(x))(n) Ck(k)

nu(x)v(n k)(x)

k 02.常用公式

(eax b)(n) aneax b

(sin(ax b))(n) ansin(ax b

n 2

)(cos(ax b))(n) ancos(ax b n

)

2

((ax b) )(n) an ( 1)...( n 1)(ax b) n

(

1ax b)(n) an

( 1)nn!

(ax b)n 1

(ln(ax b))(n) an( 1)n 1(n 1)!

1

(ax b)

n

3.分解为上述初等函数之和分解法

第3章 中值定理和泰勒公式

3.1中值定理

费马定理：若是函数的极值点必为驻点x0是f(x)的一个极值点，且f’(x0)存在，则必有f’(x0)=0(可微1.)，

(a,b)罗尔定理：若函数2.区间拉格朗日定理：若函数内可导；(iii)f(a)=f(b)f(x)满足以下条件；，则在(a,b)内可导，则在(a,b)f(x)内至少存在一点满足以下条件；(a,b)内至少存在一点(i)在闭区间[a,b]上连续；(ii)在开区间ξ(i)，使得在闭区间ξ，使得

[a,b]上连续；f’(ξ)=0.

(ii)在开f(b) f(a)

f ( ).

b a

3.开区间柯西定理：若函数(a,b)内可导；(iii)f(x) 和 xg(x)∈(a,b),g’(x)≠0满足以下条件；，则在(i)(a,b)在闭区间内至少存在一点[a,b]上连续；ξ，使得(ii)在

f(b) f(a)

g(b) g(a)

f ( )

3.2泰勒公式 求泰勒公式的方法：

1.泰勒公式（拉格朗日余项）：n

f(x)

f(k)(x0)(x x)k

f(n 1)( )0k 0

(n 1)!

(x x0)n 1 k!2.常用麦克劳林公式（带拉格朗日余项）

ex 1

xx2

xnxn 11! 2!

n! x

(n 1)!e3 1sinx x xx5

3! 5! ( 1)n

1x2n(2n 1)! ( 1)nx2n 1

(2n 1)!

cos x

2cosx 1

xx4

( 1)n

x2nx2n 2

2! 4!

( 1)n 1(2n)!(2n 2)!

cos xln(1 x) x

x2x3

xnnxn 1

2 3

( 1)n 1

n ( 1)(n 1)(1 x)n 1

(1 x) 1 x

2 x2

0

n xn n 1 xn 1(1

x) (n 1) 1

1 x x2 ... ( 1)nxn ( 1)n 1xn 1(1 x) 1 (n 1)

1 x

1

1 x x2 ... xn xn 1(1 x) 1 (n 1)

1 x

n11 1x ( 1)k 1(2k 3)!!xk ( 1)n(2n 1)!!xn 1

(1 x)2

(n 1)2k 2(2k)!!(2n 2)!!3.逐项求导或逐项积分 若

f(x) (x)或f(x) x

(t)dt，

φ(x)的泰勒公式可以比较方便的求出来，x0然后对其逐项求导或逐项积分便可以得到f(x)的泰勒公式。 例如：arctanx

x

1

21dt x0

t

2

0(1 t t4)dt o(x5) x 11

3x3 5

x5 o(x5)

3.3函数的极值、最值

驻点，导数不存在的点为极值可疑点。驻点，导数不存在的点，端点为最值可疑点。

极值判别法则：1.微，如果在设点x为函数

0值点。反之必为极小值点。(x-δ,xf(x)内的极值可疑点，f’(xf(x)在点x0的邻域内连续，去心邻域内可00)0)≥0，在 (x0,x0+δ)内f’(x0)≤0，则x0必为f(x)的极大2.(大若点)值点。x

0是

f(x)的驻点且f’’(x0)存在，则当f’’(x0)>0(<0)时，x0必为f(x)的极小3.设函数f(x)在点x0处有n阶导数，且f (

x0

) f (x0

) ... f(n 1)(x0

) 0，

但

f

(n)

(x0) 0，则(i)当n为偶数时，f(x)在点x0处取极值，当f

(n)

(x0) 0时

取极小值，当f(n)(x0) 0时取极大值；(ii)当n为奇数时f(x0)不是极值。

3.4函数作图

定理：设函数上是凸（凹）函数的充要条件是：f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间2. f(λx1.f’(x) 在开区间(a,b)(a,b)内可导，则内单调递减（增）f(x)在。[a,b] 3. f’’(x1)+ (1-λ)x2)<(>) λf(x1)+(1-λ) f(x2), λ∈(0,1). 若函数0)≤(≥)0.拐点的必要条件：f(x)在点

x0处凹凸性相反，则点x0称为拐点的充要条件：f’(xf(x) f’’(x)0)=0经过时变号。或f’(x0)不存在。

渐近线：1.垂直渐近线：x=a是垂直渐近线 lim 0

或xlim a 0

.

x a2

笔记

2.斜渐近线：f(x)=ax+b,a

x)

xlim

f(

,b lim(f(x) ax)或

x

x a lim

f(x)x

x

,b 。 xlim (f(x) ax)（水平渐近线为其特例）

函数作图的步骤：1.2. 确定函数的定义域；

3. 观察函数的某些特性，奇偶性，周期性等； 4. 5. 判断函数是否有渐近线，如有，求出渐近线；

6. 确定函数的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，并列表； 适当确定一些特俗点的函数值； 根据上面提供的数据，作图。

第4章 积分

4.1不定积分 4.1.1.基本积分表

x

dx 1

1

1x

C 1xdx ln|x| C axdx 1x

lna

a C

sinxdx cosx C cosxdx sinx C

tanxdx ln|cosx| C cotxdx ln|sinx| C

secxdx ln|secx tanx| C

cscxdx ln|cscx cotx C ln|cscx cotx C ln|tanx

2| C sec2

xdx tanx C csc2

xdx cotx C

tanxsecxdx secx C cscxcotxdx cscx C arcsinx C或 arccosx C 1

1 x2dx arctanx C或

arccotx C

1a

2

x2dx 1aarctanxa C arcsinx

a C11a x

a2 x2dx 2aln|a x| C ln|x C

1 1x axx2 a2dx2aln|x a| C ln( C

2ax2arcsina

C2

a2lnxC

a22

ln(x C eax

cosbxdx eaxa2 b2(acosbx bsinbx) C

esinbxdx eaxax

a b(asinbx bcosbx) C e

x2

1sinx2cosx2sinxcosx

不可积的几个初等函数：

lnxxx

4.1.2.换元积分法和分部积分法

换元积分法： 1.2.第一类换元积分法，即凑微分法，合并。第二类换元积分法，拆分。

分部积分法：

u(x)v (x)dx u(x)v(x)

u (x)v(x)dx

4.1.3.有理函数和可化为有理函数的积分 有理函数

R(x)

P(x)的积分可以归结为下列四种简单分式的积分：Q(x)

（1）

A；（2）Ax adx ；

(x a)ndx

（3）

Mx+N；（4）

Mx+Nx2 px qdx (x2 px q)ndx

I n

dx(x2

a2)n

1x2n 3

2a2(n 1) (x2 a2)n 1 2a2(n 1)

In 1三角函数有理式的积分一般用万能代换tanx2

t，对于如下

形式可以采用更灵活的代换：

对于积分R(sin2x,cos2x)dx，可令tanx=t； 对于积分

R(sinx)cosxdx，可令sinx=t； 对于积分 R(cosx)sinxdx，可令cosx=t，等等。 某些可化为有理函数的积分

1.

R(xdx型积分，其中n>1，其中ad ≠bc。

t。

2. R(x型积分,其中b2 4ac 0，a ≠0。由于

ax2 bx c a(x

b24ac b2，故此类型积分可以化为以下三种类型：2a) 4a2

R(udx，可用三角替换u ksint； R(udx，可用三角替换u ksect；

R(udx，可用三角替换u ktant。

In1

tann 1n tanxdx

n 1

x In 2 倒代换：2

2 12 1 x，1 x，由此还可以求出

1 x4dx

1 x4dx

1 x4dx， x1 x4dx

a1sinx b1cosx

x bcosx

dx,(a2 b2 0)

asin解：设a1sinx b1

cosx A(asinx bcosx) B(acosx bsinx)，为此应有

aA bB a1，解得

bA aB bA aa1 bb1ab1 ba1，故 2,B 21

a b2

a b2

a1sinx b1cosxasinx bcosxdx A dx B (asinx bcosx)

asinx bcosxdx

aa1 bb1a bx ab1 ba1

a2 b

2

ln|asinx bcosx| C 224.2定积分 4.2.1.可积条件

可积的必要条件：若函数可积函数类：闭区间上的连续函数，单调函数，有界且只有有限个间断点。f(x)在闭区间[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上有界。

4.2.2.定积分的计算 1.换元积分法

b

a

f(x)dx f( (t)) (t)dx

从右到左，相当于不定积分的第一类换元积分法，从左到右，相当于第二类换元积分法。 2.分部积分法

b

b

a

u(x)v (x)dx u(x)v(x)|ba a

u (x)v(x)dx

常见的积分和式

n

b

i(b a)(b a)

af(x)dx limn

f(a

i 1n)n

n

b

a

f(x)dx limn

f(a (i 1)(b a)(b a)i 1

n)

n

3

笔记

n

lim1nf(i

n

) 1n

0f(x)dx

i 1

20

f(sinx)dx 20

f(cosx)dx

f(sinx)dx 2 0

f(sinx)dx

xf(sinx)dx

2

f(sinx)dx 20

f(sinx)dx

In 20

sinnxdx 20

cosnxdx,In 1

n

nIn 1

4.2.3.定积分的应用 (1)平面图形的面积

dS f(x)dx (y)dy

12

2

r( )d (2)旋转体的体积

dV f2(x) 2(y) 2 xf(x)dx

(3)弧长、曲率 弧微分公式：ds

曲率：

K |

d|y(t)x(t) y(t)x (t)||y |

ds|

[x 2(t) y 2(t)]3/2

(1 y 2)

3/2

(4)静矩、转动惯量 mr, mr2 (5)

引力 F G

m1m2

r2

①均匀细杆质量为M，长度为l，在杆的延长线上离右端为a处有一质量为m的质点，则质点与细杆之间的引力为F=kMm/a(a+l).

②均匀圆环质量为M，半径为r，在圆心的正上方距离为b处有一质量为m的质点，则质点与均匀圆环之间的引力为

F=

kMmb

.

3

(r2 b2)③均匀圆盘可以看作是无数个均匀圆环。 4.3广义积分

广义积分审敛法1.比较法 f(x)≤kg(x),k≥0

2.比较法的极限形式

xlim

f(x)

g(x)

k

3.柯西收敛准则|

A

A

f(

x)dx|

几个常见的广义积分

1.

dx 收敛,pbaxp,a 0 1； 发散

,p 1 dx

a(x a)p,a 0 收敛,p 1 发散,p 13.

dx 收敛,p 1 k x

收敛, 0a

xlnpx,a 1 ； 发散,p 1 a

xedx,k 0 发散, 0

I

1x 1

0

(1 x2)(1 x

)dxtI=

4

e x2

dx第5章 无穷级数

常数项级数敛散性的判定 1.若limn

u

n

0，级数发散，等于零，需进一步判定。

2.若

u

为正项级数，根据一般项的特点选择相应判别法：

n

n 1

①一般项中含有 ②一般项中含有以n!

或③一般项中含有形如n为指数幂的因子，采用根值判别法；n的乘积形式，采用比值判别法；

④利用已知敛散性的结果，结合级数的性质，判别其敛散性；nα（α不一定是整数）的因子，采用比较判别法；

⑤采用定义，部分和数列{S有上界。

n}3. 若

u

为任意级数，若其为交错级数，采用莱布尼茨判别法，若不为交

n

n 1

错级数或是交错级数但不满足莱布尼茨判别法的条件，采用比值判别法和根值判别法。

求函数项级数的收敛域：（1）比值法

lim|

un 1(x)；（2）根值法ux)

| 1n1。n

n(求幂级数的收敛域：（1）比值法

liman 1n

|

a| 或lim|un 1(x)；

nn u| 1

n(x)

（2）根值法n 或n1。

常数项级数的求和：1.直接计算部分和Sn，然后求极限； 2.利用相应的幂级数。

幂级数的求和：利用逐项求导，逐项积分，四则运算等手段，将其化为可求

和形式（即前面的麦克劳林公式）。

求函数的幂级数展开式：就是求泰勒公式（前面有求泰勒公式的三个方法）。

f(x)

a0

傅立叶级数

2

，

a1 n

f(x)cosnxdx

(a

n

cosnx bnsinnx)

bn 1 n 1

f(x)sinnxdx 狄利克雷充分条件

f(x)，续点 S(x)

f(x 0) f(x 0)，间断点

2 1

2

[f( 0) f( 0)]，x 几个重要的级数 1.几何级数

aq

n 1

当|q| 1时收敛 2.p-级数n 1

当|q| 1时发散 1 当p 1时收敛

p

n 1n 当p 1时发散

3.

1

1时收敛 4.nlnn =

当p1

1 2 n 2 当p 1

时发散n 0n! e5.

2

n 1n6第6章 微分方程

1. 可分离变量方程dy

dx

g(x)h(y)

2.

可化为可分离变 齐次方程dydx f(x,y) (yx) 量方程的方程

可化为齐次方程的方程

dy f(a1x b1y c1dxa)

2x b2y c23.一阶线性方程

dy

P(x)y Q(y) y e P(x)dx(C Q(x)e P(x)dxdx) dx

4

笔记

4.伯努利方程dy

dx

P(x)y Q(x)y 令y z1

dz

dx

(1 )P(x)z (1 )Q(x) 5.全微分方程 特殊路径法，凑微分法

6. dp

可降阶的 不含y y f(x,y ) 令p y ,y

dx 高阶方程

不含x y f(y,y ) 令p y ,yydp

dy

7.

(1)已知y1

线

二阶齐次 y p(x)y q(x)y 0 (2)令y2 u(x)y1，代入求出y性 2 (3)y c

1y1 c2y2 微

(1)求出对应齐次方程的y分

1,y2

方 二阶非齐次 (2)令y*

u u1 y1 u2 y2 1(x)y1(x) u(x)y(x),求出u,u0程

y p(x)y q(x)y f(x) 2212 u1 y1 u2 y2 f(x)

(3)y c c*

1y12y2 y 8.常系数线性微分方程 二阶齐次

特征方程的根

微分方程的 微分方程的 y p(x)y 线性无关解

通解

q(x)y 0

互异实根

er1x,er2x

y c1xr2x1er c2e r1,r2

二重实根

erx

,xe

rx

(crx1 c2x)e r1=r2=r

共轭复根

e xcos x,e xsin x

e x(c1cos x c2sin x)

r1,2=α±iβ

二阶非齐次

（1）求对应齐次方程的y1,y2 y p(x)y （2）令y* Q(x)e

x

xk(A0 A1x ... A x

mxm)e

q(x)y f(x)

Q (x) (2 p)Q (x) ( 2

p q)Q(x) pm(x)

（3）y c1y1 c2y2

y*

9.欧拉方程

xny(n) p1xn 1y(n 1) ... pn 1xy pny f(x)

dk

令x et,Dk

dt

k,则xky(k) D(D 1)...(D k 1)y [D(D 1)...(D n 1) p1D(D 1)...(D n 2) ... pn 1D]y f(et)第7章 向量代数与空间解析几何

i

jk

a b ax

aya,b,c) (a b) c(平行六面体的体积)

z (abx

by

bz

点法式 x x0

A(x x0) B(y y0)+C(z-z0

)=0 参数式 mt

y y平面 三点式 混合积为零 0 nt 直 z 方程 截距式 xyz z0 ptx

a b c 1 线

对称式 x0y y0z z0 一般式 Ax By Cz D 0 方m n p 程

一般式 A1x B1y C1z D1 0

A2x B2y C2z D2 0

平面束方程 (A1x B1y C1z D1) (A2x B2y C2z D2

) 0

两平面夹角

两直线夹角 cos

sin (平面与直线的夹角)

点到直线的距离d

点到直线的距离

d

|p1p0 s||s|

x2z2x2z2

柱面：椭圆柱面

a2 b2 1 双曲柱面a2

-b2 1 抛物柱面x2 2pz 22 球面x

2 y2 z2 R2

椎面xyz2a2 b

2 c2 0 x x x(t)

常 y

y(t) 绕z轴旋转 y 见

z z(t) z z(t) 二

x2+y2z2

旋转椭园面 次 旋转面 22 1

ab曲 f(x,z)

x2+y2z2绕z轴旋转 线 f(z) 0 旋转双2 2 1(单叶) y 0

ab 曲面 x2y2 z2

2 2 1(

ab双叶)

旋转抛物面x2 y2 2pz x2 x222222 y2 z(椭圆) 2 椭球面 单 a2b

a2 yb2 zc2 1 双曲面xa2 yb2 zc2 1

双 抛物面 x22

a-yb z(双曲)第8章 多元函数微分学

复合函数微分法，关键在于确定哪些是中间变量，哪些是自变量

(x) y Fx 由方程确定的隐函数 Fi1,x2,...,xn

x F

iy

隐 1 函 du

(F,G)F(x,u,v) 0 dx J (x,v)数

微 G(x,u,v) 0 dv 1 (F,G) 由方程组确 dxJ (u,x)分 定的隐函数

1 (F,G)du1 (F,法 u

F G)J (x,v), y J (y,v)

(x,y,u,v) 0 x

G(x,y,u,v) 0 v 1 (F,G), v 1 (F,G)

xJ (u,x) yJ (u,y)(x (t0),y (t0),z (t0))

(Fx(P0),Fy(P0),Fz(P0))曲线的切线 y (x) 曲面的切平面(f

0),z (x0x(x0,y0),fy(x0,y0), 1)和法平面( (F,G) (F (y,z),,G) (z,x), (F,G) (x,y))和法线( (y,z) (u,v), (z,x) (x,y) (u,v), (u,v)

)

二元函数泰勒公式

)n

(h

l )(k(h l )(n 1)f(x x y0 h,y0 l)

k!f(x) x y

0,y0n!f(x0 h,y0 l)k 0

多元函数取极值的必要条件：fx(x0,y0) 0,fy(x0,y0

) 0

多元函数 (1)AC B2 0,A 0,正定,有极小值;A 0,负定,有极大值

取极值的

0,A 0,不定,无极值

(2)AC B2 充分条件 (3)AC B2

0,不能确定

求条件极值，用拉格朗日数乘法

min(或max)z f(x,y) Fx 0 (x,y) 0 ,令F(x,y) f(x,y) (x,y),有

0 F y

(x,y) 0

方向导数 u

u u u l

xcos u ycos u

z

cos 梯度( x,

y,u z) 5

笔记

第9章 多元函数积分学

9.1二重积分

1.x 型区域I badx y2(x)yf(x,y)dy

1(x) 2.y 型区域I dx2(y)

cdy x(y)f(x,y)dx

1

二重积分 3.换元法 令 x x(u,v) I I f(x,y)d

y y(u,v) f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv DD x u a 1 平移变换 令 I f(u a,v b)dudv y v bD x rcos

I 2 极坐标变换 令

y rsin f(rcos ,rsin )rdrd D 9.2三重积分

1.二套一，一套二

换元 x x(u,v, 2. 法 令 w)

y y(u,v,w) I (u,v,w) f(x(u,v,w),y(...),z(...))|J|dudvdw

z zv

x u a (1)平移变换 令

y v b I c f(...)dudvdw

三重积分

z w v

I f(x,y,z)dv (2)柱坐标 令 x rcos y rsin I f(...)rdrd dz v 变换 z zv (3)球坐标 x rsin cos

2

变换 令 y rsin sin I f(...)rsin drd d

z rcos v

椭球 x arsin cos

(4)坐标令 y brsin sin I f(...)abcr2sin drd d 变换 z crcos

v 9.3重积分的应用

(1)曲面面积 dxdy cos(n,z)

x (x,y,z)

(2)物体重心 x dvv

(x,y,z)dvv (3)转动惯量(mr2) 对z轴dJ2z (x y2) (x,y,z)dv 对xy平面dJxy z2 (x,y,z)dv

9.4曲线积分

第一类(f(x,y,z)ds) 代入弧微分公式

L 第二类(代入参数方程

L( Pdx Qdy Rdz)

[P(...)x (t) Q(...)y (t) R(...)z (t)]dt A,B)

9.5曲面积分

第一类(f(x,y,z)dS)

代入面积元素

S 第二类 (

Pdydz Qdzdx Rdxdy) z z

S [P( ) Q( ) Dxy x yR]dxdy

9.6格林公式

Q

Pdx Qdy L ( Q P xdxdy Qdy

DL

D x y)dxdy P dxdy D y

Pdx

L

(i) Pdx Qdy 0 (ii)与路径无关 (iii)du Pdx Qdy (iv) Q P (i) L

x y (1)不定积分法 求Pdx Qdy的原函数 (2)若 Q P

x y,特殊路径法

(3)凑微分法 9.7高斯公式

P

dv v

x PdydzS

Pdydz Qdzdx Rdxdy ( )dv S

P Q R Q

v x y z v

ydv

Qdzdx

S

R

dv v

z Pdxdy

S

9.8斯托克公式

dydzdzdxdxdy Pdx P PL dzdx dydx)S z y

Pdx Qdy Rdz L x y z Qdx L Qdxdy Q dzdy)S x z PQR R Rdz ydydz R

xdxdz) LS

(i) Pdx Qdy Rdz 0 (ii)与路径无关 (iii)du Pdx Qdy Rdz L

(iv) R Q P R Q P y z, z x, x y (i)9.9如何简化计算 1.2.

选择积分顺序（二重积分，三重积分）3. 选择投影方向（第4. 利用对称性与奇偶性II类曲面积分） 5. 换元 6.曲线和曲面积分，利用已有方程

7.

利用几何或物理意义利用三个公式

线性代数

第1章 行列式

上三角行列式

下三角行列式

a11

*a11

a

22

a22

a11a22...ann0

ann*

ann

次三角行列式

*

an

an

n(n 1)

a 2

a ( 1)

2

a1a2...an

2

a1

a1

*

两种特殊的

A*

A0

拉普拉斯(

0B *B

ABLaplace)展开式 *A0

A

( 1)mnAB

B0B行列式的性质：行列不变；行行变反；倍加行不变。 范德蒙行列式 三对角行列式

6

笔记

3.2矩阵的秩

ab0

1111cabDx1x2x3xnca

bn aDn 1 bcDn 2

x21

x22x23x2n xj)

1

(xij i n

c

abxn 1 1

1xn 12xn3xn 1

ncab0

ca

重要公式：

AB ABA* An 1

A 1 A 1

Ak A

k

Cramer法则：

xj Dj/D

第2章 矩阵

2.1基本概念

奇异矩阵，非奇异矩阵，零矩阵，同型矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，对角块矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵 2.2矩阵的运算

加法，数量乘法，乘法，转置，逆，伴随

(AB)T BTATA 1

A*

A

AA* A*A AI(AB) 1 B 1A 1 (A 1)T (AT) 1 (A 1)* (A*) 1 (A 1)n (An) 1(AB)*

B*

A*

(A*)T

(AT)*

(A*) 1

(A 1)*

(A*)*

A

n 2

A

n,r(A) n

r(A*

)

n 1

1,r(A)

0,r(A) n 22阶矩阵的伴随矩阵：主对角线互换，副对角线变号 2.3初等变换

Ei(c) Eij(c) Eij 左乘是行变换，右乘是列变换

E(1

i)Ei(c) I Eij( c)Eij(c) I EijEij I

c

2.4分块矩阵 同型对角块矩阵

C1

C D1 C1D1 2

D2

C2D2

C n D n C nDn

1

A-1 A 1

A1A 1 A

1 1 n

2

A-1

2A2

A A 1 A-1

n

2

n An

A-1 1

B0 -1

B 1 0 CD = D 1CB

1D 1

2.5常见题型

求方阵的幂：1.r(A)=1；2.A=B+C；3.相似对角化，An P 1 n

P 求逆矩阵：公式法，分块矩阵法，初等变换法

第3章 线性方程组

3.1 n维向量

线性组合，线性表出，向量组等价，线性相关，线性无关，向量组的秩，极大线性无关组

1.2.

矩阵的秩初等变换不改变矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列秩

=矩阵的非零主子式的最高阶数 r(A B) r(A) r(B) r(AB) min(r(A),r(B))

A是m×n矩阵，若AB=0，则r(A) r(B) n 标准相抵型

PAQ I

r

0 00

同型等秩 相抵

3.3齐次方程组Ax=0

判定：有非零解解的结构： r(A)<n

行中第一个非零系数所在列代表的未知数是基本未知量（有有n-r个基础解系。对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，自由未知量，对自由未知量按阶梯形赋值后，再代入求解就可以得到基础解r个），剩余的是每个非零系。

3.4非齐次方程组Ax=b

设（A是m×n矩阵，方程组Ax=b，则 （1（2）3） ） 有唯一解 r(A)=r(A,b)=n； 有无穷解无解 r(A)+1=r(A,b) r(A)=r(A,b)<n。 ； 解的结构：x x0

x

3.5常见题型

1.线性无关的证明，常用思路是是设k1 1 k2 2 ... kn n

0，两边同乘

作恒等变形。

2.Ax=0和ATAx=0同解。

3.基础解系的证明：是解，线性无关，n-r

第4章 向量空间与线性变换

4.1基本概念

自然基，标准基，标准正交基，基，维数，坐标，过度矩阵，向量的内积，欧氏空间，线性空间 4.2坐标变换

基变换：B1A=B2 坐标变换：x=Ay 旋转变换

A

cos sin

sin cos

4.3施密特正交化

1 1

1

j j

ij

i

,k

ij

( j, i)i kj 1

( i, i)

4.5正交矩阵

正交矩阵ATA=I 列向量组是标准正交基

设A,B是正交矩阵,则AT,A 1,AB也是正交矩阵. Ax,Ay的长度,夹角和内积保持不变.

第5章 特征值和特征向量

5.1特征值和特征向量

概念：特征值，特征向量，特征矩阵，特征多项式，特征方程定义： 性质：Ax=λx 1. 不同特征值的特征向量是线性无关的

2.

nnn

i aii; i detA

i 1

i 1

i 1

3. kλ, λ+k, λm, λ-1

4.

A和AT，AB和BA的特征值相同。

5.2相似矩阵

定义：若存在性质：１P-1AP=B，就称A２.若A~B，则A+kI~B+kI,A相似于m~BmB；，记作 A~B。 相似的充分条件：矩阵有相同的特征向量，特征向量线性无关。.相似矩阵的特征值相同。

7

笔记

5.3可对角化的条件

(1)空间的维数。有n个线性无关的特征向量；或 (2)每个特征值的重数等于对应特征向量子5.4实对称矩阵

性质：１２.. 实对称矩阵一定是可对角化的；

实对称矩阵的特征值全是实数，特征向量全是实向量，不同特征值的特

３

. 征向量是正交的；存在正交矩阵Ｔ，使得

T-1AT=diag(λ1,λ2,…,λn) 求T：先求得特征向量，再正交化。

第6章 二次型

6.1二次型的定义和矩阵表示

二次型：二次型就是二次齐次多项式（即每项都是二次的）矩阵表示：xTAx

合同矩阵：若存在CTAC=B，就称A合同于B，记作AB。

6.2化二次型为标准型 １２.３. 正交变换法 . 配方法初等变换法

6.3惯性定理和二次型的规范性

惯性定理：对于一个其中正平方项的项数和负平方项的项数都是唯一的。n元二次型，不论做怎样的坐标变换使之化为标准型，规范型：设A为n阶实对称矩阵，若A的正、负惯性指数分别为

p和q，则 Adiag(1,…,1,-1,…,-1,0,…,0)

其中 1或者说对于二次型有p个，-1有q个。xTAx ，存在坐标变换x=Cy，使得

xTAx y2 ... y2p

y2p 1

... y21

p q

把右端的二次型称为T

合同的充要条件：合同的充分条件： Ax、AxB有相同的正惯性指数和负惯性指数。的规范型，把上面的对角矩阵称为A的合同规范型。 合同的必要条件：A~Br(A)=r(B) 。（二者的前提是，A, B是实对称矩阵） 6.4正定二次型和正定矩阵

定义：如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,…,xn)T都有xTAx>0，就称xT正定二次型，称二次型正定的充要条件：A为正定矩阵。 Ax为１ ２.３. xTAAx的正惯性指数为是正定二次型；n，即

ATI； ４. 存在可逆矩阵P，使得A=PP； ５.

. AA的特征值全大于的顺序主子式全大于0； 0. 必要条件：1.aii>0；2.|A|>0。

概率论与数理统计

第1章 概率论的基本概念

1.1基本概念

随机试验：样本空间，样本点，随机事件，事件发生，基本事件，必然事件，不可能事1.可以重复；2.总体明确；3.单个未知。

件，差事件，不相容事件，对立事件，逆事件 1.2频率和概率

数 n在相同条件下，进行了n次试验，在这n

A发生的次A称为的概率。对随机试验A发生的频数，比值E的每一事件nAA/n称为AP(A)，称为时间fn(A)。 ③可列可加性：集合函数 当n→∞时频率P(AP(.)满足下列条件：①非负性：P(A) ≥0；②规范性：P(Ω) =1；A1∪fA2∪…)=P(A1)+ P(A2)+…。 n(A)在一定意义下接近于概率P(A)。

加 若

A1,A2,...,An互不相容,则P(A1 A2 ... An) P(A1) P(A2) ... P(An)法

广义的,P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P() P(B) P() 公 P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)n

n

式 P(A i) i 1

P(Ai) 1 P(AiAj) i j n1 i P(AiAjAk) ... ( 1)n 1P(A1A2...An)i 1j k n减法 若B A,P(A B) P(A) P公式

(B) 任意的,P(A B) P(A) P(AB)

1.3等可能概型

１２.具有以上两个特点的试验称为等可能概型，也叫古典概型。. 样本空间包含有限个元素。每个基本事件发生的可能性相同。

1.4条件概率

设A、B是两个事件，且

P(A)>0，称

P(B|A)=

P(AB) P(A)

为在事件

A发生的条件下事件B 乘法公式全概率公式 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

P(A)=P(A|B1)+ P(A|B2)+…+ P(A|Bn) 贝叶斯公式

P(BP(A|Bi)

i|A)=

n

P(A|B

j

)

j 1

1.5独立性

、B是两个事件，如果满足等式A、B独立。 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A、BB A与 与B相互独立 B与相互独立 P(A|B)=P(A|)=P(A) P(B|A)=P(B|A)=P(B)

第2章 随机变量及其分布

2.1随机变量

值单值函数，称设随机试验 X=X(e)E的样本空间为S={e}，X=X(e)是定义在样本空间S上的实值，且它的取值有一定的概率。这些性质显示了随机变量与普通函数有着本随机变量的取值随随机试验的结果而定，为随机变量。 在试验之前不能预知它取什么质的差异。

2.2离散型随机变量及其分布律

散型随机变量。如果随机变量X全部可能的取值是有限个或可列无限个，则称X为离 P(X=x 几个常见分布：k)=pk为X

１. 0-1分布 P(X k) pk(1 p)1 k,k 1,2

２. 二项分布 P(X k) Cknpk(1 p)1 k,k 0,1,2,...,n

３. 泊松分布

P(X k)

k

k!

e ,k 0,1,2,...

４. 几何分布 P(X k) pqk 1,k 1,2,... ５. 超几何分布

Ckn kP(X k)

N1CN

2

C

n

,k

0,1,2,...n

N1 N2

2.3随机变量的分布函数

设X是一个随机变量，

x是任意实数，函数F(x)=P(X≤x)称为X１分布函数 F(x)具有以下性质： ２.３. . F(x) 0≤F(x)≤1是一个不减函数

F(x+0)= F(x)，且，即F(-∞)=0, F(+∞)=1F(x)是右连续的 2.4连续型随机变量及其概率密度

意实数如果对于随机变量x，均有

X的分布函数F(x)，存在非负函数f(x)，使得对于任F(

x)

x

f(t)dt为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X１. f(x)概率密度 ≥0; f(x)具有以下性质： ２.

；

f(x)dx 1３.

P{xxx2

1 X x2} F(x2) F(1) xf(x)dx；

1

４. 若f(x)在点x处连续，则有F (x)

f(x)。

几个常见分布： １. 均匀分布

1

0,x a， f(x) b a,a x b ,F(x)

x a

,a x b

0,其他

b a

1,x b记为X~U(a,b)

8

笔记

２. 指数分布

f(x) x e,x 0 1 e x,x 0

0,其他,F(x)

0,其他指数分布和几何分布具有“无记忆性” (x )2

３. 正态分布

f(x) X~N(μ,ζ2

)。特别地，当

μ=0, ζ=1时，称

(1) 若X~N( , 2),则X ~N(0,1)

(2)

F(x) (

x

)

(3) Φ(-x)= 1-Φ(x)

(4) 若X~N( , 2),则aX b~N(a b,a2 2) 2.5随机变量函数的分布

求随机变量函数的分布：１. 离散型随机变量函数的分布

２. 列举法：逐点求出

连续型随机变量函数的分布Y的值，概率不变，相同值合并 (1) 分布函数法

F(y) P{Y y} P(g(X) y)

f(x)dx

Yg(x

) y

(2) 公式法如果

型随机变量，其概率密度为y=g(x)处处可导且恒有

g’(x)>0(g’(x)<0)，则Y=g(X)也是连续f fX

[h(y)]|h (y)|,y Rg

Y(y)

0,其他其中x=h(y)是

y=g(x)的反函数。

第3章 多维随机变量及其分布

3.1二维随机变量

设随机试验E的样本空间为S={e}，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空

(X,Y)，叫做二维随机向量或x,y是任意实数，函数

F(x,y) P{X x Y y} 记成

P{X x,Y y} 称为二维随机变量 １分布函数(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。２.３. F(x,y)0≤F(x,y)是变量F(x,y) ≤1，且x和具有以下性质： F(-y∞,y)= F(x,的不减函数。-∞)= F(

-∞, -∞)=0，F(+∞, +∞)=1。 ４.. F(x,y)对关于x右连续，关于y也右连续。

F(x于任意的(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2，有F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1

,y2)+

1,y1) ≥0。 (X,Y)如果二维随机变量 为离散型二维随机变量。(X,Y)P{X=x,Y=y则称ij}=pij是(X,Y)使得对于任意实数如果对于二维随机变量x，y，均有

(X,Y)

的分布函数F(x,y)f(x,y)，F(x,y)

y

x

f(x,y)dxdy

则称称为随机变量(X,Y)为连续型二维随机变量，其中函数f(x,y)称为(X,Y) １. f(x,y)概率密度X ≥0. f(x,y)和Y具有以下性质：的联合概率密度。 ２.

f(x,y)dxdy 1.

３.

P{(X,Y) D} f(x,y)dxdy

.

D

４. 若f(x,y)在点(x,y)处连续，则有 2

F(x,y)

x y

f(x,y)

.

3.2边缘分布

边缘分布函数：FX(x) F(x, ),FY(y) F( ,y) 边缘分布律：

P{X x

i} pij pi ,P{Y yj} 1

pij p j

j i 1

边缘概率密度：f

,y)dy,f

X

(x)

f(xY(y)

f(x,y)dx

3.3条件分布 条件分布率：

P{X xP{X xi,Y yj}

i|Y yj}

P{Y y

pij j}

p j

条件概率密度：

ff(x,y) X|Y(x|y)

fY(y)

3.4相互独立的随机变量

X和Y相互独立 F(x,y) FX(x)FY(y) f(x,y) fX(x)fY

(y)(连续

型)

P{X xi,Y yj} P{X xi}P{Y yj}(离散型)

3.5二维随机变量函数的分布 １. 离散型二维随机变量２. 列举法连续型二维随机变量

(1) 分布函数法

F(z) P{Z z} P(g(X,Y) z)

x,y)dxdy

g(x

f(,y) z

(2) 公式法①Z=X+Y

fZ(z)

f(x,z x)dxX,Y对称

f(z y,y)dy

当X和Y相互独立时，有卷积公式

fZ(z) fX*fY

fX(x)fY(z x)dx

fX(z y)fY(y)dy

②Z=max(X,Y)和Z= min(X,Y)

Fmax(z) FX(z)FY(z) Fmin(z) 1 (1 FX(z))(1 FY(z))

第4章 随机变量的数字特征

4.1数学期望 离散型nE(X)

x连续型

kpkE(x)

k 1

xf(x)dx n

g(xk)pk,离散型

E(g(X)) k 1

g(x)f(x)dx,连续型

E(Z) E(g(X,Y))

g(x,y)f(x,y)dxdy

性质：1.E(C)=C

2.E(CX)=CE(X) 3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)

4.当X，Y相互独立时，E(XY)=E(X)E(Y)

4.2方差

D(X)=E{[X-E(X)]2性质：}=E(X2)-E(X)2 1.D(C)=0 2.D(CX)=C2

3.D(X±Y)=D(X)±D(X) 2Cov(X,Y)+D(Y)=D(X)±2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=

4.D(X)=0D(X)±2[E(XY)-E(X)E(Y)]+D(Y) 常见分布的数字特征： P{X=C}=1 离散型： 1.0-12.分布

3.二项分布 E(X)=p,D(X)=pq 4.泊松分布 E(X)=np,D(X)=npq 几何分布 E(X)=D(X)=λE(X)=1/p,D(X)=q/p

25.连续型：超几何分布 E(X)=n●N

1/N,D(X)=n●N1/N●N2/N●(N-n)/(N-1) 1.2.均匀分布 23.指数分布 正态分布 E(X)=(b+a)/2,D(X)=(b-a)2/12 E(X)=1/λ,D(X)1/λE(X)=μ,D(X)=ζ2 4.3协方差及相关系数

协方差性质：

Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}= E(XY)-E(X)E(Y) 9

笔记

1.2.

Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)

Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y)

相关系数

XY性质：1.| XY

|≤1

2.|

XY

|=1 P{Y=ax+b}，且当a>0时 XY

=1，当a<0时

XY

=-1。

独立一定不相关，不相关不一定独立。对于二维正态分布，独立与不相关等价。

4.4矩、协方差矩阵

E(Xk

),k阶原点矩

E{[X E(X)]k}，k阶中心矩

E(Xk

Yl)，k+l阶混合矩

E{[X E(X)]k[Y E(Y)]l}，k+l阶混合中心矩

c11c12 c ，协方差矩阵

21c22

第5章 大数定律和中心极限定理

5.1大数定律

１. 切比雪夫设随机变量(Chebyshev)公共上界，则对于任意实数X大数定律

1,X2,…,Xn相互独立，ε>0，有期望和方差都存在，

且它们的方差有lim1nn

P{|

n X 1n

E(X. i

i)| } 1i 1n i 1

切比雪夫不等式P{|

X | } 2

2

２. 伯努力大数定律设随机变量任意实数ε>0X

，有1,X2,…,X

n相互独立且都服从参数为p的0-1分布，则对于n

lim1

n

P{|

n Xp| } 1，即limP{|nAi p| i 1n n

} 1 ３. 辛钦大数定律设随机变量望，则对于任意实数X

1,X2,…,Xε>0n相互独立，有

,服从统一分布，且具有共同的数学期lim1nn

P{|

n X1，即X P

i | } i 1

5.2中心极限定理

１. 列维设随机变量-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）方差，则

X,X

12,…,Xn相互独立，服从同一分布，且具有共同的期望和 n

X

k

n

近似地

近似地

N(0,1)N(0,1)

２. 李雅普诺夫设随机变量(Liapunov)X,…,X定理

1,X2n相互独立，他们具有数学期望和方差：

E(X2

k) k,D(Xk) k,k 1,2,...,n,

n记B2

2n k，若存在正数

，使得当n 时，

k 1

n

n

1Xk k

近似地

k 1

B E{|X2

} 0，则 k 12k k|n

BN(0,1)

n

３. 棣莫弗-拉普拉斯(De Moivre-Laplace)定理（二项分布以正态分布为极限）limn

P x} (x)

第6章

数理统计的基本概念

6.1随机样本

为总体

X。

X，一般不区分总体与相应随机变量，笼统称来自总体X的n

6.2抽样分布

设gX1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，

n常用的统计量：中不含未知参数，则称 g(X)是一个连续函数，若1,X2,…,Xn) 样本均值

X 1nn

n X 样本方差i 1i 1

n (Xi )2 i 1样本k阶原点矩

X 1nk 样本k1nn X阶中心矩

i

X i 1

n (Xi X)k i 1经验分布函数F(x) 1S(x)表示值小于x的随机变量的个数。

n

n

S(x)，F(x) P

n F(x)

来自正态总体的几个常用抽样分布：１. χ2设分布X

1,X2,…,Xn是来自总体N(0,1)的样本，则称统计量 2 X21

X22

... X2n

服从自由度为n的χ2分布，记为χ2~χ2(n). 现Xi~N(0,1),由定义X2~ 2(1)，即X2

~ (1

ii

2

,1)，再由分布的可加性知

n

2 X

2ni~ (,1)

i 1

2

E(χ2

２. t分布)=n,

D(χ2)=2n 设X~N(0,1),Y~χ2 (n),且X,Y相互独立，则称随机变量

t

从自由度为当n的t分布，记为t~t(n).

３. TF分布的上n足够大时，t分布近似于N(0,1)分布。

分布

α分位点记为tα(n)，由其概率密度的对称性知t1-α(n)=- tα(n). 设U~χ2(n1),V~χ2(n2)，且U,V相互独立，则称随机变量

F

U/n1服从V/n2

自由度为的F分布，记为F~F(n1,n2).

F(1)分布的性质：(2) 若若 t~t(n),F~F(n 则1,n2t2),~F(1,n). 则1/F~F(n2,n1). F分布的上α分位点记为Fα(n)，

F1 1 (n1,n2)

F (n1,n2)

正态总体样本均值与样本方差的抽样分布：

首选，不论X服从什么分布，总有2

E() ,D() n

,E(S2) 2.

１. 2

X~N( , n

),且X与S2相互独立

２.

(n 1)S2

2

~ 2(n 1)

３.

~t(n 1)

４.

S22

1/S

2,若 22

~F(n1

1,n2 1) 221 2 ,则 1/ 2

~t(n1 n2 2),sw第

7章 参数估计

7.1点估计

于总体 设总体X１. 矩估计法X

用样本原点矩

a来估计总体的原点矩k

1na E(Xk)，用样本的

n Xkiki 1

10

笔记

中心矩

1n来估计总体的中心矩b E[(X E(X))k]。

k

第8章 假设检验

bk n (Xi )ki 1

２. 最大似然估计法

(1) 写出似然函数

nn

L( ) f(xi, )(或L( ) p(x.

i, ))i 1

i 1

(2) 求出使L(θ)达到最大值的 . L(θ)是n个乘积的形式，而且L(θ)与ln L(θ)在同一θ处取极值，因此的θ 最大似然估计量 可以从dln( )

（对数似然方程）求得。

d

0(3) 用 作为θ的估计量。 7.2估计量的评价标准 １. 无偏性 E( )=θ ２. 有效性 D( 1)≤D( 2) ３. 相合性 P

7.3区间估计

设总体X的分布函数F(x; θ)含有一个未知参数θ，对于给定值α(0<α<1)，若 由来自X的样本X1,X2,…,Xn确定的两个统计量 (X1,X2,...Xn)和

(X1,X2,...Xn)，对于任意θ满足P{ } 1 ，则称随机区

间( ,)是的置信水平为的1-α置信区间。 置信水平为的区间越小表示估计的精度越高。1-α置信区间不是唯一的。 7.4正态总体期望与方差的区间估计

8.1假设检验

拒绝域：当检验统计量落入其中时，则否定原假设。小概率事件原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生，若在一次试验

中发生了，就认为不合理，小概率的值常根据实际问题的要求，规定一个可以接受的充分小的数小概率事件。α(0<α<1)，当一个事件的概率不大于统计推断有两类错误，弃真和存伪，只对犯第一类错误的概率加以控制，而α称为显著性水平。

α时，就认为它是不考虑第二类错误的检验称为显著性检验。的最大允许值。Α就是允许犯第一类错误的概率假设检验的基本步骤；

１２.３. 根据实际问题的要求，提出原假设

给定显著性水平α和样本容量H0和备择假设H1； ４.n； ５. . 确定检验统计量以及拒绝域的形式； 按取样，根据样本观察值做出决策，是接受P{H 0为真拒绝H0}≤α求出拒绝域；

H0还是拒绝H0。 8.2正态总体样本均值与样本方差的假设检验

如果笔记中有错误或遗漏了重要的考点，欢迎反馈。电子邮件：作者博客：soulmachine@ 本笔记遵循创作共享协议2.0，禁止一切商业用途。 [研究研究

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