实变函数测试题与答案

实变函数测试题

一，填空题

?1?A?1. 设n?,2?, n?1,2?,

?n?An????????????????. 则limn??2. ?a,b?????,???,因为存在两个集合之间的一一映射为??????????

?????????????????????????????????????????????.

1??cos,x?0y??2xE3. 设是R中函数的图形上的点所组成的

?0,????????x?0??集合，则E?????????????????????????，E????????????????????????.

n4. 若集合E?R满足E??E, 则E为???????????????????????集.

5. 若??,??是直线上开集G的一个构成区间, 则??,??满足:

????????????????????????????????????????, ????????????????????????????????????????.

6. 设E使闭区间?a,b?中的全体无理数集, 则mE?????????????????.

f(x)?f(x)??0, 则说?fn(x)?在E上???????????????? 7. 若mE??n?????????????????????????????????????????.

8. 设E?R, x0?R,若????????????????????????????????????????,则称x0是

E的聚点.

nn9. 设?fn(x)?是E上几乎处处有限的可测函数列, f(x)是E上 几乎处处有限的可测函数, 若???0, 有?????????????????????????????????

1

????????????????????????????????????????, 则称?fn(x)?在E上依测度收敛于

f(x).

10. 设fn(x)?f(x),x?E, 则?得????????????????????????????????????????.

?fn(x)?的子列?fnj(x), 使

?二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若A,B可测, A?B且A?B,则mA?mB. 2. 设E为点集, P?E, 则P是E的外点.

1??3. 点集E??1,2,?,??的闭集.

n??4. 任意多个闭集的并集是闭集.

5. 若E?R,满足m*E???, 则E为无限集合. 三, 计算证明题

1. 证明:A??B?C???A?B???A?C?

2. 设M是R空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M为可数集.

n3. 设E?R,E?Bi且Bi为可测集, i?1,2?.根据题意, 若有

3n m*?Bi?E??0,???i???, 证明E是可测集.

3?ln1?x?,?????????x?P??f(x)??4. 设P是Cantor集, . 2x,?????????????????????x?0,1?P????求(L)?0f(x)dx.

35. 设函数f(x)在Cantor集P0中点x上取值为x, 而在P0的余

1 2

集中长为

13n的构成区间上取值为

16n, ?n?1,2??, 求

?10f(x)dx.

1(R)?6. 求极限: lim0n??nx1?nx23sinnxdx.

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实变函数试题解答

一 填空题 1. ?0,2?.

?????x?a???,x??a,b?. 2. ?(x)?tan?2??b?a?1?3. ?(x,y)y?cosx,x?0??(0,y)y?1; ?. ????4. 闭集.

5. ??,???G.????G,????G. 6. b?a.

7. 几乎处处收敛于f(x) 或 a.e.收敛于f(x). 8. 对???0,??U(x0,?)有?E??x0????.

0mE?9. lim?fn(x)?f(x)?????0 n??10. fn(x)?f(x)??a.e.于E.

二 判断题

1. F. 例如, A?(0,1), B??0,1?, 则A?B且A?B,但

mA?mB?1.

2. F. 例如, 0?(0,1), 但0不是(0,1)的外点.

4

3. F. 由于E???0??E.

1??14. F. 例如, 在R 中, Fn??,1??, n?3,4?是一系列的

n??n1?闭集, 但是?Fn?(0,1)不是闭集.

n?35. T. 因为若E为有界集合, 则存在有限区间I, I???, 使

*得E?I, 则mE?mI?I???,??于mE?????.

**

三, 计算证明题. 1. 证明如下:

A??B?C??A??B???????????????????????A??????????????????????A??SSSCS?B??C??B?C?

?????????????????????A??SB???A?C??????????????????????A?B???A?C?

2. M中任何一个元素可以由球心(x,y,z), 半径为r唯一确定,

x,y, z跑遍所有的正有理数, r跑遍所有的有理数. 因为有理

数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M为可数集.

?Bi, 则E?B?Bi且B为可测集, 于是对于?i, 3. 令B?i??1都有B?E?Bi?E, 故

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