文刀川页丛书高考数学二轮复习专项：数列（含详解）

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高考数学二轮复习专项：数列

?a?aa1. 已知数列n为等差数列，每相邻两项k，k?1分别为方程

是正整数）的两根. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 求求

x?4k?x?22ck?0，（k?an?的通项公式;

c1?c2???cn??之和;

2an对于以上的数列｛an｝和｛cn｝,整数981是否为数列｛项数；若不是,则说明理由.

cn｝中的项？若是,则求出相应的

{a}2. 已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f(x)?6x?2，数列n的

'前n项和为

Sn，点

(n,Sn)(n?N)?均在函数y?f(x)的图像上．

（Ⅰ） 求数列

bn?{an}3的通项公式；

Tn?m20对所有n?N都成立

?（Ⅱ） 设

3. 已知函数

anan?1，

Tn是数列

{bn}的前n项和，求使得

的最小正整数m.

f(x)?(x?1)2，数列{

an}是公差为d的等差数列，数列{

bn}是公比为q的等

b?f(q?1)比数列（q≠1，q?R），若a1?f(d?1)，b1?(q?1)，3

（1）求数列{

an}和{

bn}的通项公式；

c1?c2（2）设数列{

cn}的前n项和为

Sn，对n?N都有

?b1?b212??cnbn?an?1…

px2 求

n??limS2n?1S2n

f(x)??(p?q)x?qlnx.4. 各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn,函数

我们共同努力！

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?(n,2Sn)(n?N)（其中p、q均为常数，且p>q>0），当x?a1时，函数f(x)取得极小值，点

y?2px2?qx?f?(x)?q均在函数

（1）求a1的值； （2）求数列

bn?{an}的图象上，（其中f′(x)是函数f(x)的导函数）

的通项公式； ?q,求数列{bn}n4Snn?3 （3）记

的前n项和Tn.

1f(x)在(?1,1)上有意义,f()??1,25. 已知函数且任意的x、y?(?1,1)都有

f(x)?f(y)?f(x?y1?xy).

12,xn?1?2xn1?xn2{xn}满足x1?(n?N),求f(xn).* （1）若数列

11111?f()?f()??f(2)?f()511n?2n?3n?1 （2）求的值.

6.

已

知

函

数

f(?x)*alo且x?ga?，

a若数列：

2,f(a1),f(a2),?,f(an),2n?4(n?N)成等差数列.

(1)求数列

{an}的通项

an；

b?an?f(an){b}S(2)若a?2，令n，求数列n前n项和n；

*b?fn?N(3)在(2)的条件下对任意，都有n?1(t)，求实数t的取值范围.

我们共同努力！

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7. 已知函数f(x)?ax证明：|b|?1

若f(0)??1,f(x)?1，求实数a的值。

(x,f(x0))若a?0,b?0,c??2，记f(x)的图象为C，当x?(0,?)时，过曲线上点0作

2?bx?c(a,b,c?R)，当x?[?1,1]时，|f(x)|?1

曲线的切线l1交x轴于点P1(x1,0)，过点(x1,f(x1))作切线l2交x轴于点P2(x2,0)，……依次类推，得到数列

f(x)?lnx,g(x)?ax?ax?2f(x)x1,x2,x3?,xn,?，求

limn??xn

8. 设函数 ．

（1）若g(x)在定义域内为单调函数，求a的取值范围； （2）证明：①f(x)?x?1(x?0)；

ln2?ln332 ②2

2???lnnn2?2n?n?14(n?1)2(n?N,n?2)*

9. 某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入Tn与时间n（以月为单位）的关系为Tn=an+b，且入世第一个月时收入将为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．

f(x)?a?2?a?22?1xx,(x?R).10. 已知奇函数

（Ⅰ）试确定实数a的值，并证明f（x）为R上的增函数；

我们共同努力！

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an?f[log2（Ⅱ）记

(2?1)]?1,Sn?a1?a2???an,n求n??limSn；

（Ⅲ）若方程f(x)??在（－∞，0）上有解，试证?1?3f(?)?0．

x1?34{x}11. 已知f(x)?x?sinx，数列n满足

?，

2xn?1?cosxn???0。（n?N）

*判断并证明函数f(x)的单调性；

yn?|xn??数列

{yn}满足

2，Sn为{yn}的前n项和。证明：Sn < 2。

|?12. 已知数列

?an?的前n项和为Sn，若a1?2,n?an?1?Sn?n?n?1?，

（1）证明数列

Tn??an?为等差数列，并求其通项公式;

SnnT?Tn?1T?m2，①当n为何正整数值时，n：②若对一切正整数n，总有n，

（2）令

求m的取值范围。

13. 如图，将圆分成个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为an。求 （Ⅰ）a1, a2, a3, a4； （Ⅱ）an与

an?1?n?2?的关系式；

nn2?2n?n?N*1n?a?的通项公式a，并证明a（Ⅲ）数列

n?。

3456789

14. 设{an}{bn}是两个数列，点

M(1,2),An(2,an)Bn(n?12,)nn为直角坐标平面上的点.

*n?N,若三点M,An,Bn共线，求数列{an}的通项公式； （Ⅰ）对

我们共同努力！

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logcn?a1b1?a2b2???anbna1?a2???an（Ⅱ）若数列{

bn2}满足：

，其中{cn}是第三项为8，公比

为4的等比数列.求证：点列P1(1，b1),P2(2,b2),?Pn(n,bn)在同一条直线上，并求出此直线的方程.

15. 已知数列

f(x)?13{an},{bn}3中，a1?t(t?0),a2?t2，且x?t是函数

(an?1?an)x?(an?an?1)x的一个极值点。

（1）求数列

{an}的通项公式；

(1,bn)(n?N)?（2）若点Pn的坐标为，过函数

g(x)?ln(1?x)2图象上的点

1?t?2(an,g(an))的

切线始终与1b1?1b2???opn平行（点O为坐标原点）；求证：当2nn时，不等式

1bn?2?22对n?N成立。

?

16. 函数

f(x)??1(x?21)x?(的反函数为，

数

列

1)f?1(x)，数列

满

{an}满足：足

：

a1?1,an?1?f(an)(n?N*){bn}b1?12?b2?222???bn?n2n?an(n?N*)，

（1）求数列（2）记

{an}n和

{bn}的通项公式；

b)]n(?n0t?1)且t??c?cn?1n?N，若对任意的，恒有ncn?t[n(lg2lg?)tlg(?成立，求实数t的取值范围.

3P(x,y)lx17. 已知曲线y=?x，过曲线上一点nnn（异于原点）作切线n。

（I）求证：直线

lnP(x,y)与曲线y=x?x交于另一点n?1n?1n?1；

3 我们共同努力！

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xn?1与xn1x1（II）在（I）的结论中，求出

?x?的递推关系。若x1?1，求数列n的通项公式；

2x3?3x5?????nx2n?1Rn??（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数m，M，

使得不等式m

n?n?1?2n?an18. 设数列

?an?a1?t(t?1)，an?1?，(n?1，2，……)满足

an?

(n?1，2，……)n??n?1???n?2?t?n??n?1?t （I）用数学归纳法证明：

lima1a2……an?1n!；

（II）求n??

。

19. 某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：

新植亩数 沙地亩数 1998年 1000 25200 1999年 1400 24000 2000年 1800 22400 而一旦植完，则不会被沙化： 问：（l）每年沙化的亩数为多少？

（ll）到那一年可绿化完全部荒沙地？

20. 已知

f(x)?(x?1)2，g(x)?10(x?1)，数列

?an?满足

a1?2，

我们共同努力！

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bn?910(n?2)(an?1)(an?1?an)g(an)?f(an)?0，

．

（Ⅰ）求证：数列?an?1?是等比数列；

（Ⅱ）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值；

tm（III）若

bm?tm?1bm?1对任意m?N恒成立，求实数t的取值范围．

*21. 以数列

{an}的任意相邻两项为坐标的点

{bn}Pn(an,an?1)(n?N)均在一次函数y?2x?k的图象上，数列满足条件：

bn?an?1?an(n?N,b1?0)，

（1）求证：数列（2）设数列 22.

已

知

{bn}是等比数列； 的前n项和分别为

Sn{an}，

{bn}，

Tn，若

S6?T4，

S5??9，求k的值.

函数

f(?x)*alox且?ga?，

a若数列：

2,f(a1),f(a2),?,f(an),2n?4(n?N)成等差数列.

(1)求数列

{an}的通项

an；

b?an?f(an){b}S(2)若a?2，令n，求数列n前n项和n；

*b?f(3)在(2)的条件下对任意n?N，都有n?1(t)，求实数t的取值范围.

g(x)?px?qx?2f(x)23. 设数). (1)求

p.其中

f(x)?lnxg(e)?qe?pe?2，且

(e为自然对数的底

与的关系；

pq(2)若g(x)在其定义域内为单调函数，求

的取值范围；

我们共同努力！

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(3)求证：(i) f(x)?x?1(x?0)；

ln2?ln332(ii) 2

2???lnnn2?2n?n?14(n?1)2(n?N,n?2)*

f(x)?ax?bx?2lnx,f(1)?024. 已知函数．

（Ⅰ）若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；

an?1?f?(1an?n?1)?n?12（Ⅱ）若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且知a1 = 4，求证：an ? 2n + 2；

1?11?a2?11?a3???，已

11?an2（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较明你的理由．

答案 1.解： (1) 设等差数列

1?a1与5的大小，并说

?an?的公差为d，由题意得

?ak?ak?1?4k?2?ak?ak?1??ck ??1??2?(k是正整数)

?ak?ak?1?4k?a?ak?2?4(k?1)?1?由 得 ?k?1?3??4?

?d?2

?4???3??3?得得ak?2?ak?4?2d

由

an?an?1?an?an?2?4n,?an?2n?1?a1?a2?4?a?a3?8?1?另解:由 得 ?2由?2?式得an?an?1?2cn?d?2得??a1?1 (其余略)

(2)

我们共同努力！

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?cn?2anan?1?2(2n?1)(2n?1)131315?12n?1?12n?11

12n?1)?1?12n?112n?1 (10分)

c1?c2???cn?(1?)?(?)???(2n?1?

?c1?c2???cn???lim(c1?c2???cn)?lim(1?n??n??)?1

由?1??2?得2ancn?(2n?1)(2n?1)2(3)

∵n是正整数,

2a5

2(2n?1)(2n?1)是随n的增大而增大, ?1573又

c5?8912a6c6＜981,

2an＞981

∴ 整数981不是数列｛

cn｝中的项.

2.解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点

(n,Sn)(n?N)?S均在函数y?f(x)的图像上，所以n＝3n2－2n.

23n?1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－?（?2(n?1)?＝6n－5.

?当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）

bn?3anan?131（Ⅱ）由（Ⅰ）得知

n＝(6n?5)?6(n?1)?5?＝26n?5(1?16n?1，

)故Tn＝i?11?bi11111?1?11(1?)?(?)?...?(?)?77136n?56n?1??＝2（1－6n?1）. ＝2?1m1m?因此，要使2（1－6n?1）<20（n?N）成立的m,必须且仅须满足2≤20，即m≥10，

所以满足要求的最小正整数m为10. 3.解：（1）数列{ 又∵ ∴

an}为等比数列， ∴

a3?a1?2d2 为等比数列，

2a3?a1?f(d?1)?f(d?1)?d?(d?2)22，

d?(d?2)?2d，解得d＝2，

a1?f(1)?0 我们共同努力！

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b3?q2 ∴

an?2(n?1)b3 又∵

?{bn}2为等比数列，∴

(q?2)2b12

而

b1?f(q?1)f(q?1)(q?2)q2，∴

q2?q

n?1b?4(?2) ∵ q?1，q?R，∴ q??2，b1?4 ∴ n?(?2)n?1

c1 （2）由

c1?b1c2b2?c2b2??cnbn?an?1…

?cn?1bn?1 ①

b1??an… ②

cn ①-②得

bn?an?1?an?2 ∴

cn??2cn?2bn?2?(?2)n?1?8(?2)n?1

对于

{cn}，

cn?1，c1?8，知其为等比数列 ?83[1?(?2)]nSn?8[1?(?2)]1?(?2)n ∴

lim，

2n?12nS2n?1?83[1?(?2)2n?1]，

S2n?83[1?(?2)2n]

S2n?1S2n ∴

n???1?(?2)n??lim1?(?2)??2 qx?px2f?(x)?px?(p?q)??(p?q)x?qx?(x?1)(px?q)x,4.解：（I）解：

f?(x)?0,得x?1或x?qp,?0?qp?1, 令

1 （1，+∞） 当x=变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： qqp q（0，p） f′(x) + （p，1） － 0 极小值 + 0 极大值 f(x) 所以f(x)在x=1处取得最小值，即a1=1. y?2px2?qx?f?(x)?q?2px2?px?p,（II）

2Sn?2p?an?p?an?p,(n?N)2*，

由于a1=1，所以

2a1?2p?a1?p?a1?p,得p?1.2

我们共同努力！

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?2Sn?2an?an?122 ……………………①.

…………………………②。

12)?0, 又

?2Sn?1?2an?1?an?1?122 ①－②得

22an?2(an?an?1)?an?an?1,2

?2(an?an?1)?(an?an?1)?0,?(an?an?1)(an?an?1?1

1由于an?an?1?0,?an?an?1?2，所以{an}是以a1=1，公差为2的等差数列，

?an?1?(n?1)?12?n?12.

（Ⅲ）

Sn24Snn(n?1)1n?3nnn?n???,由bn??q?nq,224n?3

所以,Tn?q?2q?3q???(n?1)q234n23n?1?nq由??p?q?0,而p?1?,故q?1,n?1n

qTn?q?2q?3q???(n?1)q?nq, ?q(1?q)1?qn(1?q)Tn?q?q?q???qnn?123n?1?q?nqnn?1?nqn?1?Tn?q(1?q)(1?q)2?nq1?q?????????14分

2xn1?x2n?1?xn?2|xn|?|2|?1又x1?12.5.解：（1）?|2xn1?x2n

|?11f(x1)?f()??12

f(xn?1)?f(2xn1?x2n)?f(xn?xn1?xnxn)?f(xn)?f(xn)?2f(xn).而?f(xn?1)f(xn)?2

?{f(xn)}是以?1为首项,以2为公比的等比数列,故f(xn)??2n?1

f(0)?f(0)?f(0?01?0)?f(0),故f(0)?0 （2）由题设，有

x?(?1,1),有f(x)?f(?x)?f(

x?x1?x2)?f(0)?0,又

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得f(?x)??f(x),故知f(x)在(?1,1)上为奇函数. 由

11k211?k?11??3k?1f(1kn2?1(k?1)(k?2)?11k?1?(k?1)(k?2)1?(k?1)(k?2)1k?21?1k?21(k?1)(k?2)

1)得

?3k?1)?f()?f(?)?f(k?1)?f(k?2

于是

?k?1f(k2111)?f()?f()??1?f().2n?2n?2 ?3k?1111111?f()?f()??f(2)?f()?0.511n?2n?3n?1故

f(an)?2?(n?1?1)?2?2n?26.解：(1) 由2n?4?2?(n?2?1)d求得d?2，所以，

求得(2)

an?a2n?2.

2n?2bn?an?f(an)?(2n?2)a?(n?1)?22n?3，

Sn?(3n?2)?292n?5?26Sn?2?2?3?2?4?2???(n?1)?25792n?3，错位相减得

bn?1(3)

bn5?n?2n?16?4?1，所以

?1{bn}为递增数列.

bn中的最小项为

b1?2?2?2f,t(?)t2，所以t?6.

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7.解：

1?b?[f(1)?f(?1)由题意|f(1)|?1,|f(?1)|?1（1）

2证明：

11由?|b|?|f(1)?f(?1)|?(|f(1)|?|f(?1)|)?122f(1)?a?b?c,f(?1)?a?b?c(2)由f(0)??1,f(1)?1?c??1,b?2?a2

?f(x)?ax?(2?a)x?1?当x?[?1,1]时|f(x)|?1?|f(?1)|?1即|2a?3|?1?1?a?2考察实数而f(?a?22a4aa?22a?12?1a?[?212,0]a?22a)?1?(a?2)4a2)?a?(2a?22a)?(2?a)?(?1?1(a?2)?0?a?22(3)当a?1,b?0,c??2时，f(x)?x?2函数f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为令y?0得x1?x0?同理得x2?x1?f(x0)f'(x0),?xn?1?xn?f(xn)f'(xn)y?f(x0)?f(x0)(x?x0)'f(x1)f'(x1)xn?1?xn?xn?22xn2?12(xn?2xn)即

?12(xn?2xn)xn?1?xn?xn2?22xn上式两边取极限令limn??xn?1?limn??12(xn?2xn)limxn??n?A2A),A?02则A??A?12(A?2即limxn?n??

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g?(x)?a?ax28.解：（1）

?2x?ax?2x?ax22

∵g(x)在(0,??)单调，

2(0,??)恒成立， ∴ax?2x?a≤０或ax?2x?a≥０在

2即

a?2xx?1或

2a?2xx?12在

(0,??)恒成立，

∴a≤０或a≥1．

??(x)?1x （2）① 设?(x)=f(x)?x?1，则当x?1时，??(x)=0

?1，

当0?x?1时，??(x)＞0 ∴?(x)递增， 当x?1时，??(x)＜0 ∴?(x)递减， ∴

?(x)max??(1)?0

∴?(x)=f(x)?x?1≤0 即f(x)?x?1（x＞0）

f(x)② 由①，

1x?1?1x(x?0)

12又n＞n(n?1)?1n?1n?1

222f(3)f(n)?1?f(2)??????2222?23n? ∴左边=

1?111?(1?)?(1?)???(1?)222??23n? ≤2??12121(n?1)?122(12?132???1n2)

?(n?1)?1111111(???????)22334nn?1

21112n?n?1?(n?1)?(?)??222n?14(n?1)右边

∴原不等式成立

9.解：入世改革后经过n个月的纯收入为

Tn?300?n万元

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70n?[3n?n(n?1)2?2]不改革时的纯收入为

?90?a?b?170?2a?b又?

?a?80???b?10 （7分）

由题意建立不等式80n?10?300?n?70n?3n?(n?1)n 即n?11n?290?0得n?12.2 ?n?N,取n?13

2答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．

f(?x)?a?2?x?x?a?2?1210.解：（I）

2??f(x)??a?2?a?22?1xx得

(a?1)?2?(a?1)?0x

?a?1,?f(x)?1?2?1

x

设???x1?x2???

f(x1)?f(x2)?x1x22(2(2x1x1x1?2x2)?1)x2

?1)(2x2

?f(x1)?f(x2)

?2?2,2?1?0,2?1?0 ?f(x)在R上单调递增 （II）

an??22?1?1n??12n?1

123

Sn??(1?12?122????12n?1)??(2?12n?1)

?limSn??2n??

?1 （III）

又f（x）为奇函数，且在R上为单调增函数 ?f(x)?(?1,1) 当x?(??,0)时f(x)?(?1,0) 欲使f(x)??在(??,0)上有解

??1???0 （10分）?f(?1)?f(?)?f(0)即 即?1?3f(?)?0.

?13?f(?)?0f(x)?1?22?1x

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