管理统计学第7章习题解答

习题7.1

1、 随机地从一批钉子中抽取10枚，测得长度（单位：cm）如下：

2.11，2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.14，2.12，2.13

试求这批钉子长度总体均值μ及方差σ2的矩估计值，并求样本方差s2 .

?1101102解：??X＝?Xi＝2.127；?＝(Xi?X)2＝0.014182＝0.000201； ?10i?110i?1?110s??(Xi?X)2?0.014942?0.00022.

9i?122、 设总体X服从几何分布，其分布律为：

P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，……，

其中p为未知参数，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求p的矩估计. 解：EX＝

???k(1?p)k?1?k?1p?p?k(1?p)k?1.

k?1设f(x)??kxk?1k?1，|x|<1.

?x0f(x)dx??xk?k?1?x/1x)?，?f(x)?(. 21?x(1?x)1?x?111EX＝pf(1?p)?,p?,?p?.

EXpX3、 设总体X的概率密度为

?2?(??x),0?x??, f(x)???2

?0,其他.?其中θ>0,(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，试求未知参数θ的矩估计. 解：EX＝

????xf(x)dx??x0?2?2(??x)dx??3,?=3EX, ??3X.

?4、设( X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求下述各总体的概率密度函数中的未知参

数θ的最大似然估计.

???x??1,0?x?1,（1）. f(x)??

0,其他.??解：似然函数为 L(θ)=

nnn?f(x)??ii?1i?1?xi??1??n/2(?xi)i?1??1 (0≤xi≤1,i=1,2,…,n) ，

n lnL?(?)2?ln??(?(0≤x≤1,i=1,2,1)x l n?ini

…

,n) ，

i?1dlnL(?)n1令 ??d?2?2??lnxi?1ni?0，

从中解得

???n2(?lnxi)i?1n2 ，此即为θ的最大似然估计.

??2?xe??x,x?0,（2）f(x)??

其他.??0,解：似然函数为 L(θ)=

2?f(x)??2?xeiii?1i?1nn??xi2?(2?)(?xi)eni?1n???xi2i?1n (0

lnL(?)?nln2???lnx???xii?1i?1nn2i (0

dlnL(?)nn2令 ???xi?0，

d??i?1从中解得

???ni?1?xin ，此即为θ的最大似然估计.

2

5、设总体X服从二项分布B(m,p)，其中m已知，p为未知参数，(X1,X2,…,Xn)是取自总

体X的一个样本求p的矩估计和最大似然估计.

X1n解：EX＝mp,p=EX/p, p??Xi. ?mmni?1?6、设总体X服从指数分布Exp（λ），概率密度函数为

??e??x,x?0, f(x)??x?0.?0,(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本.求未知参数λ的矩估计与最大似然估计. ?1解：EX＝1/λ, 所以λ的矩估计??.再求λ的最大似然估计.

X似然函数为 L(λ)=

nn???f(x)???eii?1i?1??xi??en?xii?1n (0

lnL?(?)nl?n???ix (0

i?1ndlnL(?)nn令 ???xi?0，

d??i?1从中解得??

?1 ，此即为θ的最大似然估计. X习题7.2

1、设(X1,X2,…,X6)是取自总体X的一个样本，θ=E(X)为待估参数.问下列点估计中哪些是θ的无偏估计？

?1?(X1?2X2?3X3?4X4?5X5?6X6)/6

??2?(X1?2X2?3X3?4X4?5X5?6X6)/21

??3?(X1?X2?X3?X4?X5?X6)/6

解：E?1????121(??2??3??4??5??6?)????； 66???1E?2?(??2??3??4??5??6?)??，E?3??. ?2，?3是θ的无偏估计.

211n2、设随机变量X～P（λ），(X1,X2,…,Xn)是取自X的一个样本.试证???Xi(Xi?1)ni?1是参数λ2的无偏估计.

?21n1n22解：E(?)??{E(Xi)?E(Xi)}??{D(Xi)?[E(Xi)]?E(Xi)}

ni?1ni?11n1n22??{?????}?????2 ni?1ni?11n所以???Xi(Xi?1)是参数λ2的无偏估计.

ni?1?113、设随机变量X～U(??,??)，试证??X是参数θ的无偏估计.

22?2?2解：EX=θ，E(?)?E(X)?EX??，所以??X是参数θ的无偏估计.

4、设总体X的数学期望为μ，(X1,X2,…,Xn)是取自X的一个样本.a1,a2,…,an是任意常数，验证(???aX)/?a(?aiiii?1i?1i?1nnni?0)是μ的无偏估计.

nnnn解：E(?aX)/?aiii?1i?1niiinni?(?aiEXi)/?ai?(?ai?)/?ai??，

i?1i?1i?1i?1所以(?aX)/?a是μ的无偏估计.

i?1i?1n5、设第1题中的总体X的方差Var(X)存在.问θ的哪个无偏估计较为有效？

解：D?2???DX91DX(1?4?9?16?25?36)?≈0.21DX， 212441????DX D?3?≈0.17DX，D?3?D?2，??3较?2有效.

6习题7.3

1、测试某种清漆的干燥时间，随机抽取12个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 6.0，5.7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0，6.2，5.9，6.4

2

设干燥时间总体服从正态分布N(μ,σ)，对以下两种情况分别求μ的95%置信区间. (1)若由以往经验知σ=0.5（小时）；(2)若σ为未知. 解：(1)X＝6.0417，s＝0.5071，α＝0.05，

X?u1??2?n?6.0417?1.96Sn0.512＝（5.7588，6.3246）；

(2) X?t1??2(n?1)＝6.0417?t0.95(11)0.507112＝（5.7195，6.3639）.

2、包糖机某日开工包了10包糖，称得的重量（单位：g）分别为 505,515,520,525,510,485,490,505,500,495

假设糖包重量服从正态分布，试求糖包平均重量的95%置信区间. 解：X＝505，s＝12.9099，α＝0.05，t1??2(n?1)＝t0.975(9)?2.2622，

X?t1??2(n?1)Sn＝505?2.262212.909910＝505?9.2354＝（495.765，514.235）.

3、为估计一批钢索所能承受的平均张力，从其中随机抽样做了9次试验.由试验结果算得张

22

力的样本均值为6720kg/cm, 样本标准差s为220 kg/cm.设张力服从正态分布，试求钢索所能承受平均张力的95%置信区间.

解：X＝6720，s＝220，α＝0.05，t1??2(n?1)＝t0.975(8)?2.3060，

X?t1??2(n?1)Sn＝（6720?169.11）＝（6550.89，6889.11）.

4、设炮弹初速服从正态分布，随机地取9发炮弹做试验，得炮弹初速度样本标准差为11（m/s）,

2

分别求炮弹初速度的方差σ和标准差σ的90%置信区间.

?(n?1)S2(n?1)S2??8?1128?112?,,2解：σ的置信区间?2（62.42，354.19）； ?＝?＝?15.5072.733?(n?1)?(n?1)??/2?1??/2??2

?(n?1)S2(n?1)S2??＝（7.90，18.82）. ,σ的置信区间?2??12??/2(n?1)???/2(n?1)??5、对某农作物两个品种A,B计算了8个地区的亩产量（单位：kg）如下：

品种A 430，435，280，465，420，465，375，395 品种B 400，395，290，455，385，410，380，330

假定两个品种的亩产量分别服从正态分布N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)， 试求两个品种平均亩产量之差μ1-μ2的95%置信区间.

?11??解：置信区间?X?Y?t1??2(n1?n2?2)S????，X＝408.125， Y＝380.625，nn12??s1＝60.3524，s2＝50.3869，

t1??2(n1?n2?2)＝t0.975（14）＝2.1448，

27?3642.4122?7?2538.8397(n1?1)S12?(n2?1)S22?3090.62595，＝Sw?S?14n1?n2?22w?11???X?Y?t1??2(n1?n2?2)S?n?n??＝

12??27.5?2.1448×55.5934×0.5＝（-32.12，87.12）

6、随机地从甲批导线中抽取4根，从乙批导线中抽取5根，测得其电阻(单位:Ω)分别为 甲批导线: 0.142, 0.143, 0.137, 0.143

乙批导线: 0.138, 0.140, 0.136, 0.140, 0.142

22

设两批导线电阻分别服从N(μ1,σ)和 N(μ2,σ)，并且它们相互独立，试求μ1-μ2的95%置信区间.

解：置信区间?X?Y?t1??2(n1?n2?2)S????11??， ??n1n2?X＝0.14125， Y＝0.1392，s1＝0.002872，s2＝0.002280，

t1??2(n1?n2?2)＝t0.975（7）＝2.3646，

23?0.000008?4?0.000005(n1?1)S12?(n2?1)S2?0.000006，＝S?7n1?n2?22w?11???X?Y?t1??2(n1?n2?2)S?n?n??＝0.00205?0.0039＝（－0.002，0.006）

12??7、两台机床加工同一种零件，从中分别随机抽取6个和9个零件，测量其长度，并计算出

两个样本的方差分别为S12=0.245(mm)2, S22=0.357(mm)2.假定各台机床所加工的零件长度总

22

体都服从正态分布.试求两个总体方差之比σ1/σ2的置信水平为95%的置信区间.

22??S12/S2S12/S2解：置信区间?,?＝

?F1??/2(n1?1,n2?1)F?/2(n1?1,n2?1)??0.245/0.3570.245/0.357??0.245/0.3570.245/0.357?， ,,?????＝（0.142，4.639）

F(5,8)F(5,8)4.821/6.76?0.025?0.975??8、有两位化验员甲、乙，他们独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测定值的样本方差依次为0.5419和0.6065，设甲、乙测得的数据总体分别服从方差依次

为σ

21

和σ

22

的正态分布，试求σ1/σ

222

的置信水平为95%的置信区间.

22??S12/S2S12/S2解：置信区间?,?＝

?F1??/2(n1?1,n2?1)F?/2(n1?1,n2?1)??0.5419/0.60650.5419/0.6065??0.5419/0.60650.5419/0.6065?,,?????＝（0.222，

F(9,9)F(9,9)4.031/4.03?0.9750.025???3.601）

2

9、设某种电器零件的电阻（单位:Ω）服从正态分布N(μ,σ).从这种零件中随机抽取15只，测得电阻为：

3.0，2.7，2.9，2.8，3.1，2.6，2.5，2.8，2.4，2.9，2.7，2.6，3.2，3.0，2.8. 试求：(1)电阻均值μ的95%单侧置信下限； 解：X?t1??(n?1)Sn2

＝2.8?t0.95(14)0.223615?2.8-1.7613×0.223615＝2.698.

(2)电阻方差σ的95%单侧置信上限.

(n?1)S214?0.2236214?0.22362解：2＝＝＝0.1065. 26.571??/2(n?1)?0.05(14)10、试求第6题中，μ1-μ2的置信水平为95%的单侧置信下限. 解：X?Y?t1??(n1?n2?2)S?11.X＝0.14125， Y＝0.1392， ?n1n2 t1??(n1?n2?2)＝t0.95（7）＝1.8946，S??0.000006?0.00245，

?11???X?Y?t1??(n1?n2?2)S?n?n??＝-0.001

12??

复习题七

1、 总体X服从区间（0，b）上的均匀分布，（1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1）是来自总体的

一组样本值，试用矩法估计总体均值，总体方差及参数b.

?b152解：EX?X＝1.2，DX?S??(Xi?X)＝0.407，EX?，?b?2X＝2.4.

26i?1??22、 设总体X服从Γ分布，其概率密度为

?????1??xxe,x?0,?f(x)???(?)

?0,x?0,?(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，试求α及λ的矩估计.

??解：E(X)??0???(??1)??????x1???x?. ＝xedx＝(?x)ed(?x)???(?)??(?)??(?)0E(X)?21???2?0??(??2)?(??1)???1??1??x22

，DX=EX-（EX）＝. ?xed(?x)＝222???(?)??(?)????????，?????????X2EX????????EX?DX，??22????DX???(EX)??DX1n(Xi?X)2?ni?1X1n(Xi?X)2?ni?1.

3、设总体X服从几何分布，其分布律为：

P（X=k）=（1-p）k-1p，k=1，2，……，

其中p为未知参数，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求p的最大似然估计.

解：L(p)=

?P(Xi?1ni?xi)??p(1?p)i?1nxi?1?p(1?p)i?1n?xi?nn

对数似然函数为：lnL(p)?nlnp?(?xi?n)ln(1?p)，

i?1nxi?n)?n1dlnL(p)n(i??1对p求导并令其为0: =0，解得： p?n? ??dpp1?p?xxi?1in4、 设总体X服从区间[0，θ]上的均匀分布，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本，求

未知参数θ的最大似然估计.

?1?,0?x??;解：f(x)???

?其它。?0,?1?1?n,0?xi??,i?1,2,...,n;?n,max(xi)??;L(θ)= ?f(xi)??? ???i?1??其它。其它。?0,?0,nL(θ)在（-∞，max（xi））恒为0，在（max（xi），+∞）单调递减，所以L(θ)在 θ＝max（xi）处取到最大值，最大似然估计为??max(xi).

x|1?|?e，(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本.5、 设总体X的概率密度为f(x;?)?2??求未知参数θ的最大似然估计. 解： L(θ)=

?i?1n|xi|1??1??i?1f(xi)??e?e, n2?(2?)i?1n|xi|?1n对数似然函数为: lnL(?)??nln(2?)?|x|， ??ii?11ndlnL(?)?n1对θ求导并令其为0: ??d???21n从中解得 ???|xi| 即为θ的最大似然估计.

ni?1??|x|?0

ii?1n6、设?是参数θ的无偏估计，且有Var(?)>0,试证??(?)不是θ的无偏估计.

2

???2?2解：E{(?)}＝Var（?）+[E（?）]= Var（?）+θ>θ,所以不是θ的无偏估计.

2

2

2

2

?2???7、设( X1,X2,…,Xm) 与( Y1,Y2,…,Yn)分别是来自正态总体N(μ1,σ)和N(μ2,σ)的样

22

本，S1,S2分别是这两个样本的样本方差.验证统计量

2

2

2(m?1)S12?(n?1)S2S?

m?n?22w是σ的无偏估计.

22(m?1)S12?(n?1)S2(m?1)E[S12]?(n?1)E[S2]解：E{}＝＝

m?n?2m?n?22

(m?1)?2?(n?1)?222

＝σ，所以是σ的无偏估计.

m?n?28、设总体X服从指数分布Exp（λ），其概率密度为

??e??x,x?0, f(x;?)??x?0.?0(X1,X2,…Xn) 是取自总体X的一个样本.

（1）试证：X和nZ=n[min(X1,X2,…,Xn)]都是参数??1?的无偏估计；

（2）求X与nZ=n[min(X1,X2,…,Xn)]的方差，判断这两个无偏估计中何者较有效. 解：（1）E（X）＝E（Xi）＝

1???;

Z的分布函数为：FN（Z）＝1-[1-FX（Z）]n，概率密度为fN（Z）＝n[1-FX（Z）]n-1fX（Z）,

?1?e??x,x?0,?n?e?n?z,??e??x,x?0,FX(x)?? ,f（=f(x;?)?? f（＝?Xx）NZ）

x?0.x?0.?0?0?0??z?0,z?0.

EZ=

?1?n?z?? =, E(nZ)= zf(z)dz?zn?edzN??n???01??所以X和nZ=n[min(X1,X2,…,Xn)]都是参数???的无偏估计.

?222

（2）Var（X）＝；Var（Z）＝E（Z）-(θ/n).

n??E（Z）=效.

2

?zn?e02?n?z2?2dz=2, Var（nZ）＝n2DZ=θ2. Var（X）< Var（nZ）, X较有

n 9、设从均值为μ，方差为σ>0的总体中，分别抽取容量为n1,n 2的两个独立样本，X和12

X2分别是这两个样本的样本均值，试证,对于任意常数a,b(a+b=1), Y?aX1?bX2都是

μ的无偏估计.并确定常数a,b,使Var(Y)达到最小.

解：EY?aE(X1)?b(X2)?a??b???所以Y是μ的无偏估计.

Var(Y)＝aσ/n1+bσ/n2，用拉格朗日乘数法，求aσ/n1+bσ/n2在条件a+b=1下的最小

2222

值.构造函数F＝aσ/n1+bσ/n2+λ（a+b-1），

2

2

2

2

2

2

2

2

??F2a?2n1?????0a???n1n1?n2??a?令?，解之得 ?2n2??F?2b????0?b???n1?n2n2???b10、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径(mm)如下： 14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8 (1)求该日生产的滚珠其直径均值的矩估计；

2

(2)如果滚珠直径服从正态分布N(μ,σ)，且标准差σ=0.15mm,求直径均值μ的95%置信区间.

解：(1) 直径均值的矩估计为X＝（14.6+…+14.8）/9＝14.911；

X?u1?0.05/2?n?14.911?1.960.159＝（14.813，15.009）

2

11、测得一批钢件20个样品的屈服点（单位：1000kg/cm）为：

4.98，5.11，5.20，5.20，5.11，5.00，5.61，4.88，5.27，5.38， 5.46，5.27，5.23，4.96，5.35，5.15，5.35，4.77，5.38，5.54.

22

设屈服点总体服从正态分布N(μ,σ)，求μ和σ的95%置信区间及σ的单侧置信上限. 解：μ的置信区间X?t1??2(n?1)SnX＝5.21，，S＝0.220263，t1??2(n?1)＝t1?0.052(19)＝2.0930，μ的置信区间为5.21?2.0930?0.22026320＝（5.1069，5.3131）.

?(n?1)S2(n?1)S2?? ,σ的置信区间?2??12??/2(n?1)???(n?1)/2???19?0.220263219?0.2202632,＝??32.8528.907?2

??＝（0.1675，0.3217）， ??(n?1)S219?0.22026320.9218及σ的单侧置信上限2＝＝＝0.0911 210.117?0.05(19)??(n?1)

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