含参数的一元二次不等式的解法（教案）

<<含参数的一元二次不等式的解法>>教案

高二年级 数学 何二敏

一． 教学目标：

1. 使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法。 2. 使学生掌握数形结合、分类讨论、等价转换的数学思想方法。

3. 使学生掌握分类讨论的标准有三个：二次项系数、判别式、根的大小。

4. 与学生共同学习社会主义核心价值观的相关内容 （1） 建立有中国特色社会主意 的共同理想； （2） 弘扬民族精神和时代精神； （3） 树立社会主义荣辱观；

（4） 马克思主义指导思想是社会主义核心价值体

系的灵魂。

二． 教学重、难点：

1. 重点：使学生掌握含参数的一元二次不等式的解法。 2. 难点：数形结分类讨论、等价转换等数学思想的应用和理解，分类讨论的标准。 三． 课型： 习题课。

四．课时安排：两课时。

一、按x2项的系数a的符号分类，即a?0,a?0,a?0; 例1 解不等式：ax2??a?2?x?1?0

教师：解一元二次不等式时解集形式是什么？

学生：大于在两边，小于在中间。

教师：这个结论确定吗？请同学们画出图形进行观察。 学生：前提条件是二次项系数是正数。 教师：本题中二次项系数的正负确定吗？ 学生：不确定，需要进行讨论。

教学：对。然后呢，欲解不等式先解什么？ 学生：方程。

教师：方程一定有根吗？用什么判断？ 学生：不一定，用判别式。 教师：请大家写出判别式。

学生：判别式大于0，可以利用求根公式解出两根，然后分类讨论。

教师：很好。下面我们一起写出解题过程。 解：∵???a?2?2?4a?a2?4?0 解

得

方

程

ax2??a?2?x?1?0两根

?a?2?a2?4?a?2?a2?4 x1?,x2?2a2a??a?2?a2?4?a?2?a2?4???或x?∴当a?0时,解集为?x|x?? 2a2a????1??当a?0时，不等式为2x?1?0,解集为?x|x??

2??2??a?2?a2?4???a?2?a?4??x?当a?0时, 解集为?x|? 2a2a????教师：好，我们已经初步掌握了含参的一元二次不等式的解法，下面我们进行练习。 我请一位同学来板演。 练习： 解不等式ax2?5ax?6a?0?a?0?

分析 因为a?0，??0，所以我们只要讨论二次项系数

的正负。

解 ?a(x2?5x?6)?a?x?2??x?3??0

?当a?0时，解集为?x|x?2或x?3?；当a?0时，解集为

?x|2?x?3?

教师：本题中我们应用了那些数学思想方法？ 学生：数形结合，分类讨论。

教师：是不是我们记住这些方法题目就一定能做对？ 学生：不一定，还要结合具体的题目。

教师：就像我们学习了马克思主义一定要和中国国情相结

合，要建立具有中国特色的社会主义国家一样，以马克思主义为指导，一定要结合中国的国情，马克思主义指导思想是社会主义核心价值体系的灵魂。因此，同学们做题时要具备一些相关的数学知识，包括公式、概念、定义、定理数学思想，但有了这些想要把题做好，还要结合具体的题目，两者相辅相成。 二、按判别式?的符号分类，即??0,??0,??0； 教师：此不等式讨论什么？ 学生：根的情况。 教师：用什么讨论？ 学生：判别式。

教师：请一位同学说，老师写。 例2 解不等式x2?ax?4?0

分析 本题中由于x2的系数大于0,故只需考虑?与根的情况。

解：∵??a2?16

∴当a???4,4?即??0时，解集为R；

a?当a??4即Δ＝0时，解集为?xx?R且x???；

?2??a?a2?16x1?2当a?4或a??4即??0,此时两根分别为

，

?a?a2?16，显然x1?x2, x2?2??a?a2?16?a?a2?16???∴不等式的解集为?xx?或x〈? 22????教师：这位同学说的好不好？ 学生：好。

教师：我们应不应该向他学习？ 学生：应该。

教师：同学们知道什么是民族精神和时代精神吗？ 学生：知道。 民族精神和时代精神具有丰富的思想内涵。民族精神是一个民族在长期的共同生活和共同的社会实践基础上形成和发展的，为民族大多数成员所认同和接受的思想品格、价值取向和道德规范，是一个民族的心理特征、文化传统、思想情感等的综合反映。

时代精神是一个社会在最新的实践中激发出来的，反映社会进步的发展方向、引领时代进步潮流、为社会成员普遍认同和接受的思想观念、价值取向、道德规范，是一个社会最新的精神气质和精神风貌的综合体现。

教师：民族精神和时代精神要统一。同样的道理，每个人都有自己的学习方法，相互之间要相互借鉴，取长补短，这样才能共同提高。

教师：下面请同学们做例题3.我请同学们来板演。

例3解不等式?m2?1?x2?4x?1?0?m?R? 解 因m2?1?0,??(?4)2?4?m2?1??4?3?m2?

1??3，即??0时，解集为?x|x??；

2??当?3?m?3，即??0时，解?2?3?m22?3?m2???xx?或x〈??； 22m?1m?1????当m??3或m?3，即??0时，解集为R。

所以当m??集为

教师：对于做题中出现的错误，应该怎么办？ 学生：改正

教师：有几个人能真正做到呢？同学们知道什么叫八荣八耻吗？

学生：以热爱祖国为荣，以危害祖国为耻；（忠） 以服务人民为荣，以背离人民为耻；（义、责） 以崇尚科学为荣，以愚昧无知为耻；（智） 以辛勤劳动为荣，以好逸恶劳为耻；（勤） 以团结互助为荣，以损人利己为耻；（惠） 以诚实守信为荣，以见利忘义为耻；（信） 以遵纪守法为荣，以违法乱纪为耻；（守） 以艰苦奋斗为荣，以骄奢淫逸为耻。（...）

教师：这就像我们在做题时出现对下与错，给同学们布置一道思考题：

请大家总结一下在数学课堂中或学习中出现的八种对与错的行为。

三、按方程ax2?bx?c?0的根x1,x2的大小来分类，即

x1?x2,x1?x2,x1?x2；

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