2004年高考数学试题（重庆文）及答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（文史类）（重庆卷）

第Ⅰ部分（选择题 共60分）

参考公式：如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k

一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数y?log1(3x?2)的定义域是

2

D．(2 3,1]

（ ）

A．[1,??)

B．(2 C．[2 3,1]3,??)

x2?1f(2) 2．函数f(x)?2, 则?

1x?1f()2

A．1

（ ）

33 D．? 553．圆x2?y2?2x?4y?3?0的圆心到直线x?y?1的距离为

B．－1 C．

A．2 4．不等式x?B．22（ ）

C．1

D．2 2?2的解集是 （ ） x?1 A．(?1,0)?(1,??) B．(??,?1)?(0,1) C．(?1,0)?(0,1) D．(??,?1)?(1,??)

5．sin163sin223?sin253sin313? A．?1

2???? D．3 （ ）

222?????????6．若向量a与b的夹角为60，|b|?4,(a?2b).(a?3b)??72,则向量a的模为 （ ）

B．1 C．?3

A．2 B．4 C．6 D．12

7．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那么p是q成立的： （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．不同直线m,n和不同平面?,?，给出下列命题 （ ）

①

?//??m//n?m??????? ；② ；③ ；④ ??m//???n//???m,n异面??m??，

m???m//??n???m//?? 其中假命题有： （ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

9． 若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0,a2003.a2004?0，则使前n项和Sn?0 成立的最大自然数n是

A．4005

B．4006

C．4007 D．4008

x2y210．已知双曲线2?2?1,(a?0,b?0)的左，右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上，且|PF1|?4|PF2|,

ab则此双曲线的离心率e的最大值为

A．

（ ）

4 3B．

5 3C．2 D．

7 311．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯

炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ）

A．

21 40B．

17 40C．

37 D． 101201

12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的

表面积（含孔内各面）是 （ ） A．258 B．234 C．222 D．210

第Ⅱ部分（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 313．若在(1?ax)5的展开式中x的系数为?80，则a?_______

14．已知

23??2,(x?0,y?0),则xy的最小值是____________ xy134x?，则过点P(2,4)的切线方程是______________ 3315．已知曲线y?16．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”。又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约

为______________万里.

三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

求函数y?sinx?23sinxcosx?cosx的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,?]上的单调递增区间. 18．（本小题满分12分）

设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。

（1）三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率； （2）若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率. 19．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形， PA?底面ABCD,AE?PD,EF//CD,AM?EF （1） 证明：MF是异面直线AB与PC的公垂线；

P （2）若PA?3AB,求二面角E—AB—D平面角.

44

E F A D M

B C 20．（本小题满分12分）

某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：

1p?24200?x2,且生产x吨的成本为R?50000?200x（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最

5大？最大利润是多少？（利润=收入─成本）

2

21．（本小题满分12分）

设直线ay?x?2与抛物线y2?2p交于相异两点A、B，以线段AB为直经作圆H（H为圆心）. 试证抛物线顶点在圆H的圆周上；并求a的值，使圆H的面积最小. Y y2=2px B H

X

Q(2p,0) O A 22．（本小题满分14分）

552,an?2?an?1?an,(n?1,2,??) 333（1）令bn?an?1?an,(n?1,2......)求数列{bn}的通项公式；

设a1?2,a2?（2）求数列{nan}的前n项和Sn.

3

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（重庆文）参考答案

一、选择题：每小题5分，共60分.

1．D 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C 二、填空题：每小题4分，共16分.

13．－2 14．6 15．y?4x?4?0 16．4 三、解答题：共74分. 17．（本小题12分）

解:y?sin4x?23sinxcosx?cos4x?(sin2x?cos2x)(sin2x?cos2x)?3sin2x

故该函数的最小正周期是?；最小值是－2； 单增区间是[0,?],[?,?]

18．（本小题12分） 解：（I）设AK表示“第k人命中目标”，k=1，2，3.

这里，A1，A2，A3独立，且P（A1）=0.7，P（A2）=0.6，P（A3）=0.5.

从而，至少有一人命中目标的概率为 1?P(A1?A2?A3)?1?P(A2)P(A2)P(A3)?1?0.3?0.4?0.5?0.94 恰有两人命中目标的概率为

?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)61356?

??????????????????P(A1?A2?A3?A1?A2?A3?A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)????????? ?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)

?0.7?0.6?0.5?0.7?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.44 答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44 （II）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件“命中目标”

22发生的概率为0.7，故所求概率为P. 3(2)?C3(0.7)(0.3)?0.441 答：他恰好命中两次的概率为0.441. 19．（本小题12分）

（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，

故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE， 又AM∥CD∥EF，且AM=EF， 证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.

又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD， 而MF∥AE，得MF⊥面PCD， 故MF⊥PC，

因此MF是AB与PC的公垂线.

（II）解：因由（I）知AE⊥AB，又AD⊥AB，

故∠EAD是二面角E—AB—D的平面角. 设AB=a，则PA=3a.

因Rt△ADE~Rt△PDA故∠EAD=∠APD

因此sinEAD?sinAPD?20．（本小题12分）

AD?PDaa2?(3a)2?10. 10解：每月生产x吨时的利润为f(x)?(24200?12x)x?(50000?200x) 54

1??x3?24000x?50000(x?0)5

32由f?(x)??x?24000?0解得x1?200,x2??200(舍去).5 因f(x)在[0,??)内只有一个点x?200使f?(x)?0，故它就是最大值点，且最大值为：

1f(200)??(200)3?24000?200?50000?3150000(元)

5 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 21．（本小题12分）

解法一：设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足??ay?x?2,2

?y?2x.?yA?yB?2a,2消去x得 y?2ay?4?0则 ?

y?y??4.?AB

?xA?xB?4?a(yA?yB)?4?2a2,? ?(yAyB)2?4?xAxB?4?因此OA?OB?xAxB?yAyB?0,即OA?OB.

故O必在圆H的圆周上.

xA?xB?2x??2?a,H??2又由题意圆心H（xH,yH）是AB的中点，故?

y?yB?y?A?a.H?2?由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|?22xH?yH?a4?5a2?4.

从而当a=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小. 解法二：

?ay?x?2,设A(xA,yA),B(xB,yB)，则其坐标满足?2

y?2x.?2??y?2pky?4?0,分别消去x，y得?2 2??x?2(a?2)x?4?0.故得A、B所在圆的方程x2?y2?2(a2?2)x?2ay?0.

明显地，O（0，0）满足上面方程

故A、B、O三点均在上面方程的表示的圆上. 又知A、B中点H的坐标为(故 |OH|?xA?xByA?yB,)?(2?a2,a), 22222222(2?a2)2?a2

而前面圆的方程可表示为[x?(2?a)]?(y?a)?(2?a)?a

故|OH|为上面圆的半径R，从而以AB为直径的圆必过点O（0，0）.

2242 又R?|OH|?a?5a?4，

故当a=0时，R2最小，从而圆的面积最小， 解法三：同解法一得O必在圆H的圆周上 又直径

22|AB|=(xA?xB)?(yA?yB)?222222xA?xB?yA?yB?xA?xB?2xA?2xB?2xAxB?4xAxB?4.

5

上式当xA?xB时，等号成立，直径|AB|最小，从而圆面积最小. 22．（本小题14分）

解：（I）因bn?1?an?2?an?1?此时a=0.

5222an?1?an?an?1?(an?1?an)?bn 333322 故{bn}是公比为的等比数列，且b1?a2?a1?,故

332n(n?1,2,?) bn?()32n （II）由bn?an?1?an?()得

322222 an?1?a1?(an?1?an)?(an?an?1)???(a2?a1)?()n?()n?1???()2??2[1?()n]

333332n 注意到a1?1,可得an?3?n?1(n?1,2,?)

3n2n?1 记数列{n?1}的前n项和为Tn，则

3

222222Tn?1?2????n?()n?1,Tn??2?()2???n?()n两式相减得33333312222n?12n2n2n2n2n(3?n)2nTn?1??()???()?n()?3[1?()]?n(),故Tn?9[1?()]?3n()?9? 3333333333n?13(3?n)2n?1从而Sn?a1?2a2???nan?3(1?2???n)?2Tn?n(n?1)??18n?123

6

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