2010年中考数学专题复习教学案27 全等三角形(含答案)

全等三角形

◆课前热身

1.已知图中的两个三角形全等，则∠ 度数是（ ）

A.72° B.60° C.58° D.50°

2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ） A．7 B．9 C．12 D．9或12 3.如图，已知AB AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定

△ABC≌△ADC的是（ ）

A．CB CD B．∠BAC ∠DAC C．∠BCA ∠DCA

D．∠B ∠D 90

A

C

B

4.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC、BD交于点O，则图中全等三角形共有（ ） A．2对

B．3对 C．4对

D．5对

A

【参考答案】 1. D

2. C 分析：等腰三角形有两种情况：（1）2、2、5；（2）5、5、2；（1）不满足三角形三边关系，所以只有5、5、2；周长=12 3. C 4. B ◆考点聚焦 知识点

全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定 大纲要求

1.了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念；

2.理解全等三角形的概念和性质。掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。

3.学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。 考查重点与常见题型

论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题◆备考兵法

1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等． ”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．

2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式， 而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件． ◆考点链接

1．全等三角形:____________、______________的三角形叫全等三角形.

2. 三角形全等的判定方法有:_______、______、_______、______.直角三角形全等的判定除以上的方法还有________.

3. 全等三角形的性质：全等三角形___________，____________.

4. 全等三角形的面积_______、周长_____、对应高、______、_______相等. ◆典例精析

例1（2009山西太原）如图，△ACB≌△A C B ， BCB =30°，则

ACA 的度数为A．20° B．30° C．35° D．40°

【解析】本题考查全等三角形的性质，△ACB≌△A C B ， ∴∠ACB=∠A′CB′，

∴ ACA = BCB =30°，故选B． 【答案】B

B C

例2（2009年河南）如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

【分析】首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识。 答案：OE⊥AB． 证明：在△BAC和△ABD中，

AC=BD，

∠BAC=∠ABD， AB=BA．

∴△BAC≌△ABD． ∴∠OBA＝∠OAB,

∴OA＝OB．

又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．

(注：若开始未给出判断“OE⊥AB”，但证明过程正确，不扣分)

例3（2009年山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点． AEF 90，且EF交正方形外角 DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证

△AME≌△ECF，所以AE EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

A

D

F

A

D

F

A

D

G

G C G

图1

图2

【分析】构造全等三角形解题 解：（1）正确．

证明：在AB上取一点M，使AM EC，连接ME．

BM BE． BME 45°， AME 135°．

CF是外角平分线，

DCF 45°， ECF 135°． AME ECF．

AEB BAE 90°， AEB CEF 90°，

BAE CEF．

△AME≌△BCF（ASA）． AE EF．

（2）正确．

N A

D

C G

证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN CE，连接NE．

BN BE．

图3

N PCE 45°．

四边形ABCD是正方形，

AD∥BE． DAE BEA．

NAE CEF． △ANE≌△ECF（ASA）． AE EF．

◆迎考精炼 一、选择题

1.（2009年江苏省）如图，给出下列四组条件： ①AB DE，BC EF，AC DF； ②AB DE， B E，BC EF； ③ B E，BC EF， C F； ④AB DE，AC DF， B E．

其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ） A．1组

B．2组

C．3组

D．4组

O

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

3.（2009年广西钦州）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ） A．AB垂直平分CD

B．CD垂直平分AB

C

2.（2009年黑龙江牡丹江）尺规作图作 AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以

1

点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作

2

射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）

C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB

A

B

D

4. (2009年甘肃定西)如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（ ） A．2

B．3

C

．

D

．二、填空题

1.（2009年广东清远）如图，若

△ABC≌△A°， B 40°，则1B1C1，且 A 110

C1= ．

B

C

B1

A1

C1

2.（2009年湖南邵阳）如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上的任意一点，连结 AE、CE．请找出图中一对全等三角形为___________．

3.（2009年湖南怀化）如图，已知AB AD， BAE DAC，

B

要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是 （写出一个即可）．

B

E

F

C

A

D

4.（2009年福建龙岩）如图，点B、E、F、C在同一直线上． 已知∠A =∠D，∠B =∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件是 （写出一个即可）．

5.（2009年四川遂宁）已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个. 三、解答题

1.（2009年四川宜宾）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB,AD=CD.

求证：∠C=∠A.

2. (2009年四川南充)如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，

BF∥DE，交AG于F．

求证：AF BF EF．

A E

B

G

D

C

3.（2009年浙江丽水）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.

A

DE

4. (2009年上海市)已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，联结EF（如图所示）．

A

B

E

C （1）添加条件∠A=∠D， OEF OFE，求证：AB=DC．

（2）分别将“ A D”记为①，“ OEF OFE”记为②，“AB DC”记为③，添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③，以①为结论构成命题2．命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）．

AD AE，AB平分 DAE交 5.（2009年吉林省）如图，AB AC,AD BC于点D，

DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明． ．．

6.（2009年湖南省娄底市）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE. （1）求证：△ABE≌△ACE

（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.

B

D （第5题）

C

E A

【参考答案】 一、选择题

1. C 2. D 3. A 4. C 二、填空题

1.30 2.△ABD≌△CDB（或△ADE≌△CDE 或△ABE≌△CBE）

3.AC AE（或填 C E或 B D） 4.AB = DC（填AF=DE或BF=CE或BE=CF也对） 5.7 三、解答题

1.连接BD.在△ABD和△CBD中， ∵AB=CB,AD=CD，BD=BD， ∴△ABD≌△CBD.∴∠C=∠A. 2.证明： ABCD是正方形，

AD AB， BAD 90°． DE⊥AG，

DEG AED 90°． ADE DAE 90°．

又 BAF DAE BAD 90°，

ADE BAF． BF∥DE，

AFB DEG AED．

AFB AED

在△ABF与△DAE中， ADE BAF，

AD AB △ABF≌△DAE(AAS)．

BF AE．

AF AE EF，

AF BF EF．

3.解：是假命题. 以下任一方法均可： ①添加条件：AC=DF.

证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE. 在△ABC和△DEF中, AB=DE

， ∠A=∠FDE， AC=DF， ∴△ABC≌△DEF(SAS).

②添加条件：∠CBA=∠E. 证明：∵AD=BE, ∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠FDE， AB=DE， ∠CBA=∠E ， ∴△ABC≌△DEF(ASA).

③添加条件：∠C=∠F. 证明：∵AD=BE,

∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中，

∠A=∠FDE， ∠C=∠F ， AB=DE， ∴△ABC≌△DEF(AAS)

4.（1）∵ OEF OFE ∴OE=OF

∵E为OB的中点，F为OC的中点， ∴OB=OC

又∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC， △AOB≌△DOC ∴AB=DC （2）真，假

5.解：（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD（写出其中的三对即可）（2）以△ADB≌ADC为例证明．

证明： AD BC, ADB ADC 90°. 在Rt△ADB和Rt△ADC中，

AB AC,AD AD,

Rt△ADB≌Rt△ADC.

6.（1）证明：∵AB=AC

点D为BC的中点 ∴∠BAE=∠CAE

AE=AE

∴△ABE≌△ACE（SAS）

（2）当AE=2AD（或AD=DE或DE=1AE）时，四边形ABEC是菱形

2

理由如下：

∵AE=2AD，∴AD=DE 又点D为BC中点，∴BD=CD

∴四边形ABEC为平行四形边 ∵AB=AC

∴四边形ABEC为菱形.

△AFD≌△AFE、

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/chcm.html