江阴高中高三数学专题复习 转化与化归思想2013.3

江阴高中高三数学专题复习⑶ 转化与化归思想2013.3

【知识归纳】

1．数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．高考试题主要体现以下几个方面的考查：

（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等．

（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等． （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化． （4）实际问题向数学模型的转化问题． 2．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，常见的转化方法有：

（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；

（2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题；

（5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径；

（7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个特殊形式且较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化； （9）等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到转化目的；

（10）补集法：（正难则反）若过正面问题难以解决，可通过解决全集U及补集CUA获得原问题的解决． 3．注意非等价转化要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．

【基础演练】

1. 已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________． 0≤x≤

2，

2.

已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组???????????y≤2，

x≤ 2y

给定，若M(x，y)为D上的动点，

点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·

OA?的最大值为 ． 已知椭圆x24＋y2

3.2

＝1，A，B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上

有异于点A，B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为________． 4. 已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A中所有整数元素的和为28，则实数a

的取值范围是________．

5. 若x≥0，y≥0，且x＋2y＝1，则2x＋3y2的最小值是 ．

6. 已知，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝ 5，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，

则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．

【考点例析】

例题1 ⑴已知函数f(x)＝x3

＋(1－a)x2

－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调，则实数a的取值范围是________．

x2⑵若不等式108＋y24≥xy

3k对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是k∈[m，＋∞)，则正整数m

只能取________．

变式题1.已知函数f(x)＝－1

2x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不是单调函数，则t的取值范围是________．

变式题2.已知函数f(x)＝ln x－1

2ax2－2x(a≠0)存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．

变式题3.若不等式|ax3－ln x|≥1对任意x∈(0,1]都成立，则实数a取值范围是________．

例题2 已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2，a∈R.

(1)若a<0时，试求函数y＝f(x)的单调递减区间；

(2)若a＝0，且曲线y＝f(x)在点A，B(A，B不重合)处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4；

(3)如果对于一切 x1，x2，x3∈[0,1]，总存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．

2

例题3 已知中心在原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C经过点(6，1)．

2

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线l1、l2分别与椭圆交于A，B和C，D，那么是否存在常数λ使得AB＋CD＝λ·AB·CD？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．

例题4已知曲线C:y2?2x(y?0)，A1(x1,y1),A2(x2,y2),???,An(xn,yn),???是曲线C上的点，且满足0?x1?x2?????xn????，一列点Bi(ai,0)(i?1,2,???)在x轴上，且?Bi?1AiBi(B0是坐标原点）是以Ai为直角顶

点的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求A1，B1的坐标； （Ⅱ）求数列{yn}的通项公式；

1（Ⅲ）令bi?,ci?，是否存在正整数N，当n≥N时，都有

ai2的最小值并证明;若不存在，说明理由．

??2?yi?b??c，若存在，写出N

iii?1i?1nn

【方法技巧】

1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系．

2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题．

3．必须注意化归的等价性，确保逻辑上的正确．等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正．

江阴高中高三数学作业（转化与化归思想） 姓名 ．

一、填空题

12. 设x，y为正实数，a＝

x2＋xy＋y2，b＝pxy，c＝x＋y.

(1)如果p＝1，则是否存在以a，b，c为三边长的三角形？请说明理由；

11. 若tan?+ =4,则sin2?= ．

tan? x?1?0的解集为 ． 2. 不等式

2x?1实数c的取值范围是________．

4. 函数f(x)＝x＋1－x的值域为________．

(2)对任意的正实数x，y，试探索当存在以a，b，c为三边长的三角形时p的取值范围．

13. 已知函数f(x)?ax?e(a?R).

（Ⅰ）当a?1时，试判断f(x)的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f(x)有两个极值点x1,x2(x1?x2)．

（i） 求实数a的取值范围；

（ii）证明：?

2x3. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则

5. 已知函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，若1≤f(x)≤

17

对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为______． 4

6. 若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c，使f(c)>0，则实数p的取

值范围为____________．

7. 已知函数f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈[0,1]，若f(x)≤2恒成立，则a＋b的最大值为________．

?????????????8. 已知直线kx－y＋1＝0与圆C：x＋y＝4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有OM＝OA＋OB

2

2

(O为坐标原点)，则实数k＝________.

3acb

，则＋的最大值为________． 6bc

10. 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上9. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，且BC边上的高为

一动点，则CP＋PA1的最小值是________．

x2y2

11. 已知A、B为椭圆＋＝1的左、右顶点，F为椭圆的右焦点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直

43

线AP、BP分别交直线l：x＝m(m>2)于M、N两点，l交x轴于C点． (1)当PF∥l时，求点P的坐标；

(2)是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过点F？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

e?f(x1)??1． （注：e是自然对数的底数） 2

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