高一下学期期中复习 - - - 基础过关题（含答案）

八一中学2012届高一下学期数学期中复习—基础过关题 2010-4-13

一．概念及公式 解三角形

a 正弦定理：

111

三角形面积公式: S?absinC? bcsinA ? acsinB222

，已知a,b和A，解三角形 在?ABC中 1（）当A为锐角时 若a?b或bsinA ?一解;若bsinA?a?b ?两解;若a?b ?一解 2）A为（直角或钝角

a ? b?一解

余弦定理： a2?b2?c2?2bccosAb2?c2?a2 b2 ?c2?a2?2accosB

c2 ?a2?b2?2abcosC

不等式

1．两个实数a与b之间的大小关系

sinA ?bc??2R(外接圆直径)sinBsinCcosA??(1)a－b＞0?a＞b；??(2)a－b=0?a=b；??(3)a－b＜0?a＜b．

2．不等式的性质

2bca2?c2?b2cosB?2aca2?b2?c2 cosC?2ab1. a?b? b?a (反对称性）2. a?b,b?c? a?c （传递性）3.a?b?a?c? b?c (移项法则）4. a?b,c?d? a?c?b?d (同向加不等号方向不变5.a?b,c?0? ac?bc (乘正不等号方向不变） a?b,c?0?ac?bc (乘负不等号方向要变）6. a?b?0,c?d?0? ac?bd (正值同向乘不等号方向7.a?b?0? an?bn (n?N且n?1（)正值乘方不等号方向)不变)不变）8.a?b?0? na?nb (n?N且n?1（)正值开方不等号方向不变）9.若a?b且ab?0? (同号取倒数不等号方向要变） 重要不等式：

①|a|≥0；a2≥0；(a－b)2≥0(a、b∈R)

a2?b2②a＋b≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)；ab?

22

2

③a?b≥ab(a、b?R?，当且仅当a=b时取“=”号)a?b22ab?()

2解不等式问题的分类

1

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(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式． (3)解一元高次不等式；(4)解分式不等式； 不等式的解法：

?b

?(a,??),a?0?

b?

（1）一元一次不等式: ax＞b的解集是：x??(??,),a?0

a?

?R,a?0且b?0??,a?0且b?0?

(2) 一元二次不等式:

二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系.

①当Δ＝b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0) (设x1＜x2；对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1，x2 ) 对应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集是：xx2， ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集是: (x1,x2).

②当Δ=b2-4ac=0时，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴有且只有一个交点(x0,0)；

对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0) 有两个相等的实数根x1=x2=x0. 对应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集是：{x|x≠x0}. ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集是：?.

③当Δ＝b2-4ac＜0时，二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)与x轴没有公共点； 对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a＞0) 没有实数根； 对应的一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集是R， ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集是：?.

(3) 分式不等式:（使用(4)中的方法，求各因式的根，画出左侧函数的正负草图，读写结论）

f(x)f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0,?0?f(x)g(x)?0 ,?0?g(x)g(x)g(x)f(x)?0?g(x)?f(x)g(x)?0 ?g(x)?0??f(x)g(x)?0 ??g(x)?022(4)一元高次不等式：穿根法（奇穿偶切）

注意：含参数的不等式ax＋bx＋c>0恒成立问题?含参不等式ax＋bx＋c>0的解集是R； 其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a>0且△<0）两种情况。

数列 等差数列（A·P） 定义 通项公式 an+1-an=d(常数，称为公差) 等比数列（G·P） an?1?q(常数，称为公比) an①an=a1qn-1 ②an=amqn-m ① an=a1+d(n-1)=dn+(a1-d) ② an=am+(n-m)d 2

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a?anSn?n12前n项和 Sn?na1?d n(n?1)d2d?n?(a1?)n222?na1,q?1?Sn??1?qn a,q?1?11?q?A为a、b的等差中项 中 项 G为a、b的等比中项 ?a?A?ta?bA? ??2b?A?t?三个数成等差.则 定义设法: a, a+d, a+2d 对称设法: a-d, a, a+d ?G2=ab?G?ab或?ab 三个数成等比,则 定义设法: a, aq, aq2 对称设法:a/q, a, aq : 设三个数 ?an?为AP， m?n?p?q?am+an=ap+aq 性 质 ?an?为G·P，且q?1， m?n?p?q? aman=apaq p、q、r成等差?ap,aq,ar成等差 p、q、r成等差? ap,aq,ar成等比 Sn,S2n?Sn，S3n?S2n成等差 Sn,S2n?Sn,S3n?S2n成等比(q??1)

二.基础过关题 第一章：解三角形

注意与其它数学知识相联系

与三角变换结合，与向量结合，已知三角函数值求角，求三角函数值，三角恒等式或三角不等式的证明，三角形中的最值问题等.

1.已知b?36,c?6,?B?120?,则?C?_________

,?A的角平分线AD与边BC相较于点D，求证：2.在?ABC中,若acosA?bcosB，试判断这个三角形的形状 3.在?ABC中,已知a?3,b?2,c?19,则?C?_______,4. 在?ABC中 S?ABC?________,AB?43,AC?23,AD为BC边上的中线，且?BAD?30?，则5. 在?ABC中BDAB? DCACBC=__________

a2?(b?c)2?1,则?A?________6.已知三角形的三边满足条件

bc3

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,已知sinA?2sinBcosC，试分别用正、余弦定理与和角公式两种7. . 在?ABC中方法证明?ABC是等腰三角形

8.已知三角形的两边和为4，其夹角为60?，则满足条件的三角形最小周长为____

,已知c?b(1?2cosA),求证：?A?2?B 9. 在?ABC中,sinA(cosB?cosC)?sinB?sinC,求证这个三角形为直角三角形 10. 在?ABC中11. 在?ABC中,b?4,c?3,BC边上的中线m?37，则a?_____,S?ABC?_____ 2BC值 CD12.在四边形ABCD中，?B??D?90?,?A?60?,AB?4,AD?5,求AC和

,D是BC中点，已知?BAD??C?90?，判断?ABC的形状 13. 在?ABC中14. 已知AD是?ABC的角平分线，且AC=2,AB=3?A?60?，求AD的长

abc??试判断这个三角形的形状 cosAcosBcosCAC16. 在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则的值等于 ，AC的取值范围为____.

cosA,已知15. 在?ABC中

17.在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2?c2?2b，且

sinAcosC?3cosAsinC 求,b

18. 在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA25， ?25????????AB?AC?3． （I）求?ABC的面积； （II）若b?c?6，求a的值．

19. 设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A?C)?cosB?求B.

32,b?ac，220. 如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asin?x(A>0,

?>0) x?[0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛

4

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运动员的安全，限定?MNP=120 （I）求A ,

o?的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

第二章：数列

1.等差数列-2,-1,0,?,102中，通项公式是an=______(n∈N+,n≤___), 所有项的和是____ 2.两个数4和9的等差中项是_______, 等比中项是_____ , _____.

3.等比数列{an}中，a1=3, 公比q=2, 则an=_____, 前n项和Sn=______ 4.数列{an}中，a1=1,an+1=2an-1,则a100=____,

这个数列是等差数列吗？___,如果是，公差d=___; 这个数列是等比数列吗？___,如果是，公比q=___

5. 数列{an}中，a1=2,an+1=2Sn,则a2=____;S2=___,a3=____;S3=___, a4=____; an=____ 6.等差数列{an}中，a1,a3,a4成等比数列，则公比为_____;

7.三个不同的数成等差数列，其和为6，如果将此三个数重新排列，它们又可以成等比数列，求这个等差数列。

8.有4个数，其中前3个数成等差数列，后3个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，求这4个数。 9.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn,Tn, 且

Sn3n?1a，则8=_____ ?Tn2n?3b810. 数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1, an+1=

证明：(1)数列{

n?2Sn(n=1,2,3,?). nSn}是等比数列；(2)Sn+1=4an. n11.在数列{an}中，Sn+1=4an+2，a1=1:

(1)设bn=an+1-2an,求证数列{bn}是等比数列；

(2)设cn=

an，求证数列{cn}中是等差数列； 2n(3)求数列{an}的通项公式及前n项和的公式。

12.已知等差数列{an}的首项a1=17，公差d=-0.6，此等差数列从第几项开始出现负数？ 13.已知数列{an}的前n项和记为Sn=2n2-30n:

(1)这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式； (2)求使得Sn最小的序号n的值.

14.等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知S14>0,S15<0,则在S1,S2,?中最大的是前____项的和. 15.在等比数列{bn}中，b5+b6=b7-b5=48，则S10=______

16.在等比数列{an}中，前4项和S4=40,a1+a4=28,则a6=______. 17.一个项数为偶数的等比数列，首相是1，且所有奇数项之和是85，所有偶数项之和为170，则这个数列共有______项.

18.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q. 19.在数列{an}中，a1=

11，an+1-an=2. 24n?1（1）写出数列的前四项；（2）求这个数列的通项公式

20.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+?+|x-20|,x∈N+且1≤x≤20:

(1)分别计算f(1),f(5),f(20)的值；

5

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(2)当x为何值时，f(x)取得最小值？最小值是多少？

4x21.已知函数f(x)=x:

4?2(1)a+b=1时，计算f(a)+f(b)的值；(2)设数列{an}满足an=，求此数列前1000项的和 22.在数列{an}中，a1=

16，an+an+1=n?1(n=1,2,3,?)，求此数列前n项和Sn的公式. 5523.如果a1,a2,a3,?,a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，

(1)试比较a1a8和a4a5的大小; (2)试比较a1+a8和a4+a5的大小.

24.若直角三角形的三边长成公比大于1的等比数列，则它的公比是______ 25.设{an}是等比数列，且a1=a>0，公比q>0,

求证数列{lgan}为等差数列，并求出它的首项与公差.

26.一个凸n边形的内角成等差数列，最小角为40°，公差为20°，求n.

27.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和与所有偶数项和之比为（ ）

2n?12nn?1n (B) (C) ( D)2n2n?1nn?1

?1?28.数列?an?中，a3??7,a7?1，又数列??是等差数列，则a8=（ ）

?an?1?(A)（A）0 （B）

12 （C） （D）－1 2329.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 30.已知整数对的数列如下：

（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），

（2，4），．．．. 则第60个整数对是（ ）

（A）（3，8） （B）（4，7） （C）（4，8） （D）（5，7）

31.从1?1,2?3?4?3,3?4?5?6?7?5，?中得出的一般性结论是_____________

222n，则数列{an}中的最大项是（ ）

n2?90（A）第9项 （B）第8项和第9项 （C）第10项 （D）第9项和第10项

32.数列{an}的通项式an?33.在等差数列{an}中，a1，a3，a9成等比数列，则

a1?a3?a9? .

a2?a4?a1034.等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn满足

Sn3n?1aa?，则5? ，n?_____ Tn2n?5b5bn6

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35.在数列{an}中，an+1=

2an1? (n?N),若a7=, 则an= .

22?an36.在数列{an}中,已知an?1?an?n(n?N*)，则其通项an= .

37.已知数列?an?的首项a1?2,an?1?3an?2(n?N*)，则其通项an= . 38.已知数列?an?的首项a1?2,an?1?2an?n(n?N*)，则其通项an= . 39.数列已知数列?an?的首项a1?2,an?1?3an?2n(n?N*)，求通项an. 40.已知数列{an}的前n项和Sn?n2?2n?1(n?N),，则其通项an? . 41. 已知数列{an}的前n项和Sn?2n?1(n?N),，则其通项an= . 42.在数列{an}中,已知，Sn?4an?2,求其通项an.

43.在数列{an}中,已知a1 = 1, an= Sn－1 (n?N*, n?2)，求此数列的通项公式. . 44.数列??1111，，，?，，?的前n项和为_______

3?21?22?3n?n?112310004x)?f()?f()???f()=______ 45.设f(x)?x，那么和式：f(10011001100110014?246.Sn?111???+＝_______ 1?33?5(2n?1)(2n?1)47.已知数列{an}的通项公式为an???2nn为奇数时，则S2n= .（若求Sn呢？） n?2n为偶数时48.在数列{an} 中,已知a1?1，an?1?an?2n ( n?N*),求an ，S2n .

49.数列{an}中，a1 =1，anan+1=2n (n?N*),求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn. 50.求和：

1111?3???nn

2482123n（2）?2?3???n

2222（1）1?2（3）

1111????? 1?32?43?5n?(n?2)51.已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12 (I)求数列{an}的通项公式；(II)令bn=an·3n，求数列{bn}的前n项和.

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52.数列{an}满足a1?1，且8an?1an?16an?1?2an?5?0（n?1），记bn?1an?12（n?1）.（1）求：b1，b2，b3，b4的值；（2）求数列{bn}的通项公式bn及数列{anbn}的前n项和Sn.

第三章 不等式

1.证明下列不等式，并说明式中等号成立的条件

（1）a2?b2?5?2?2a?b?； （2）a2?b2?2?a?b?1?；

a2?b2?a?b?（3）ab?bc?cd?da?a?b?c?d （4）? ??2?2?222222.已知xy?0，x?y，试比较loga(3x2?4xy?y2)与loga(2x2?6xy)?a?0,a?1?的大小。

3.（1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时，扇形的周长最小？ （2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时，扇形的面积最大？

x2?x?44.求函数y?x?1(x?1)的最小值及相应的x的值。

5.已知0????22?sin2??2?，求函数f????sin2?的最小值以及相应的?的值。

6.求下列函数的定义域：

（1）y?2?x?x2； （2）y?（3）y?ln(x2?5x?4)?ln?x?5?

21?x?lg(x2?x)； 1?x7.解下列不等式：

(3x?2)(x?2)(2x?2)(x?2)6x2?17x?12?0? （1） （2） 222x?5x?2(x?4)(x?4)28.解下列不等式：

（1）?x?1??x?a??0 （2）x2?2ax?1?0 （3）22x?2x?1?3?0 （4）2?lgx??lgx?1?0 9.（1）求函数f(x)?2x2?2x?12的最小值以及相应的x的值；

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（2）求函数f(x)?x2?3x?22的最小值以及相应的x的值。

10.挂在墙上的一幅画的上边沿A离地面a m，画的下边沿B离地面b m，某人的眼睛C离地面c m （c

3x2?2x?211.求正整数k的值，使对任意实数x，代数式2的值恒大于k。

x?x?112.甲、乙两地相距S km，汽车从家底匀速行驶到乙地，速度不超过c km/h.已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：km/h）的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元（a15.（1）m是什么实数时，关于x的方程x2?2(m?1)x?3m2?11有两个不相等的

实根？

（2）m是什么实数时，关于x的方程mx2?(1?m)x?m?0有两个不相等的实

根？

（3）关于x的方程2x2?7mx?5m2?1?0的两个根中，一个比2大，另一个

比2小求实数m的取值范围。

16.（1）不等式mx2?(1?m)x?1?0对任意实数x都成立，求实数m的取值范围。 （2）不等式(m?1)x2?(1?m)x?m?0对任意实数x都成立，求实数m的取值范围。

17.甲、乙两人完成某项工作，甲单独完成比乙单独完成快15天。如果单独工作10天后，再由乙单独工作15天，所完成的工作量不少于这项工作总量的2/3.问甲单独工作最多需要所少天能完成任务？

18.王宏同学将过年时父母给的压岁钱100元，按一年定期存在妈妈处，并约定以银行的年存款利率的5倍付息。到期后连本带利取出，王宏同学用其中20元帮助本班的特困生买书，剩余的部分又按原规定存在妈妈处。如果第二年到期后本利总额不低于99元，问银行的年存款利率不低于多少？ 19.若a?20.3,b?0.32,c?log0.32，则 （ ）

A．a?b?c B. a?c?b C. c?a?b D. c?b?a

120.若0?x?1，则x,,x,x2从小到大的排序是_______________.

x9

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a?b2aba2?b221.已知a,b?R?，则下列各数a,b,ab,从小到大的顺序是 . ,,2a?b222.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=(x?)(y?21x1)的最小值为 . y23.不等式ax+ bx + c＞0 的解集为（-

1，2），对于系数a、b、c，有如下结论： 2①a＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是_____________.

24.已知a,b∈R，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________. 25.已知两个正变量x,y满足x+y=4,使不等式是 .

26.不等式(x-2)2 (3-x) (x-4)3 (x-1)≥0的解集为 . 27.方程x2+(k-2)x+5-k=0的两根都大于2，求实数k的取值范围.

28.在三角形ABC中，角A，B，C的对边长分别为a,b,c.证明：ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2(ab+bc+ca). 29.解关于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0

14??m恒成立的实数m的取值范围xya(x?1)?1(a?R).

x?2x2?8x?20?0对一切x恒成立，求实数m的范围. 31.若不等式

mx2?mx?130.解关于x的不等式：

32.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围； (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围. 34.已知正项数列{an}满足a1=P(0

aa1a2a3???????n?1. 234n?110

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