苏教版高中数学选修2-2江苏专用阶段质量检测(二) 数系的扩充与复数的引入

(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝( )

A ．0

B ．2i

C ．－2i

D ．4i

解析：选A ∵i 2＝－1，∴1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7＝1i －1i ＋1i －1i ＝0.

2．当23

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

解析：选D ∵230，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四

象限．

3．若a 为实数，且2＋a i 1＋i

＝3＋i ，则a ＝( ) A ．－4

B ．－3

C ．3

D ．4 解析：选D ∵

2＋a i 1＋i

＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4，故选D.

4.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共

轭复数的点是( )

A ．A

B ．B

C ．C

D ．D 解析：选B 设z ＝－a ＋b i(a ，b >0)，则z 的共轭复数z －＝－a －b i ， 它对应点的坐标为(－a ，－b )，是第三象限的点．故选B.

5．已知复数z 满足(i －1)(z －i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )

A ．i －1

B ．1＋2i

C ．1－i

D ．1－2i 解析：选B 依题意可得z ＝

2i i －1＋i 3＝－2i (1＋i )(1－i )(1＋i )－i ＝－(i －1)－i ＝1－2i ，其共轭复数为1＋2i ，故选B.

6．若a 1－i

＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A ．2－i B ．2＋i

C ．5 D. 5

解析：选D ∵a ，b ∈R ，且

a 1－i ＝1－

b i ， 则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，

∴??? a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴???

a ＝2，

b ＝－1，

∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.

7．若复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( )

A ．直线

B ．正方形

C ．圆

D ．椭圆 解析：选C 设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|，∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2，

即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.

8．已知z 是纯虚数，z ＋21－i

是实数，那么z ＝( ) A ．2i

B ．i

C ．－i

D ．－2i

解析：选D 设纯虚数z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入

z ＋21－i ＝b i ＋21－i ＝(b i ＋2)(1＋i )(1－i )(1＋i )

＝(2－b )＋(b ＋2)i 2， 由于其为实数，

∴b ＝－2，∴z ＝－2i.

9．设z ＝1－i(i 是虚数单位)，若复数2z ＋z 2在复平面内对应的向量为OZ

→，则

向量OZ →的模是( )

A ．1 B. 2 C. 3 D ．2

解析：选B ∵z ＝1－i(i 是虚数单位)，

∴2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )

－2i ＝1－i. ∴向量OZ

→的模：12＋(－1)2＝ 2.故选B. 10．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( )

A ．z 对应的点在第一象限

B ．z 一定不为纯虚数

C.z －对应的点在实轴的下方

D ．z 一定为实数

解析：选C ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z －对应的点关于实轴对称，∴C 项正确．

11．已知z 1与z 2是共轭虚数，有4个命题：①z 21<|z 2|2；②z 1z 2＝|z 1z 2|；③z 1

＋z 2∈R ；④z 1z 2

∈R .其中一定正确的是( ) A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①②③

解析：选B z 1与z 2是共轭虚数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R ，b ≠0)．

①z 21＝a 2－b 2＋2ab i ，|z 2|2＝a 2＋b 2，虚数不能比较大小，因此不正确；

②z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，正确；

③z 1＋z 2＝2a ∈R ，正确；

④z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )

＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不一定是实数，因此不一定正确．故选B.

12．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则

y x ＋2

的取值范围是( )

A.? ????0，33

B.??????－33，0∪? ????0，33

C.??????－33，33

D.????

??－33，0 解析：选B ∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝

y x ＋2，则k 为过圆x 2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，

∴k ≤13

＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0.

又由对称性可得k ∈??????－33，0∪?

????0，33. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)

13．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________.

解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，

故z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.

答案：－4i

14．定义运算??????a b c

d ＝ad －bc ，则满足条件??????1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________．

解析：????

??1 －1z z i ＝z i ＋z ， 设z ＝x ＋y i ，

∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ，

∴??? x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴??? x ＝3，y ＝－1.

∴z ＝3－i.

答案：3－i

15．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．

解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.

答案：1

16．在复平面内，O 为坐标原点，向量OA

→对应的复数为－2－i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB

→对应的复数为________． 解析：复数－2－i 对应点A (－2，－1)，

点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B (1,2)，

∴OB

→对应的复数为1＋2i. 答案：1＋2i

二、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)计算：

(1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i )

. 解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i

＝2(1－2i )1－2i

＝2. (2)

4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i (5－4i )(1－i ) ＝i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )

＝i －12 ＝－12＋12i.

18．(本小题满分12分)已知复数z 1＝m －2i ，复数z 2＝1－n i ，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数．

(1)若m ＝1，n ＝－1，求|z 1＋z 2|的值；

(2)若z 1＝z 22，求m ，n 的值．

解：(1)当m ＝1，n ＝－1时，z 1＝1－2i ，z 2＝1＋i ，

所以z 1＋z 2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i ，

所以|z 1＋z 2|＝22＋(－1)2＝ 5.

(2)若z 1＝z 22，则m －2i ＝(1－n i)2，

所以m －2i ＝(1－n 2)－2n i ，

所以??? m ＝1－n 2，－2＝－2n ，解得??? m ＝0，n ＝1.

19．(本小题满分12分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)·k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：

(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数；

(4)零．

解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.

(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，

∴k ＝6或k ＝－1.

(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.

(3)当??? k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0

时，z 是纯虚数， ∴k ＝4.

(4)当?

?? k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R .

当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．

当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0.

20．(本小题满分12分)已知z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i

. (1)求|z |；

(2)若z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．

解：z ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i

＝(3－i )(2－i )5

＝5－5i 5＝1－i.

(1)∵z ＝1－i ，∴|z |＝ 2.

(2)把z ＝1－i 代入z 2＋az ＋b ＝1＋i 得，

(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ，

即a ＋b －(2＋a )i ＝1＋i ，

∴??? a ＋b ＝1，2＋a ＝－1，解得???

a ＝－3，

b ＝4，

所以实数a ，b 的值分别为－3,4.

21．(本小题满分12分)已知复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)z 为纯虚数．

(1)求复数z ；

(2)若ω＝z 2＋i ，求复数ω的模|ω|. 解：(1)(1＋3i)(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ，

∵(1＋3i)z 是纯虚数，

∴3－3b ＝0且9＋b ≠0，则b ＝1，从而z ＝3＋i.

(2)ω＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝75－i 5

， ∴|ω|＝ ? ????752＋? ????－152＝ 2. 22．(本小题满分12分)(1)已知关于x 的实系数方程x 2＋mx ＋n ＝0，若1＋2i 是方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个复数根，求出m ，n 的值；

(2)已知z ∈C ，z ＋3i ，z 3－i

均为实数，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．

解：(1)由题意得(1＋2i)2＋m (1＋2i)＋n ＝－1＋m ＋n ＋22i ＋m 2i ＝0， ∴??? －1＋m ＋n ＝0，22＋m 2＝0，

解得???

m ＝－2，n ＝3.

(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，

∵z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为实数，∴y ＝－3.

∵z 3－i ＝x －3i 3－i

＝110(x －3i)(3＋i)＝110[(3x ＋3)＋(x －9)i]为实数，∴x ＝9，∴z ＝9－3i.

∵(z ＋a i)2＝81－(a －3)2＋18(a －3)i ＝72＋6a －a 2＋18(a －3)i ，

∴由已知???

72＋6a －a 2＞0，18(a －3)＞0，

解得3＜a ＜12. 故实数a 的取值范围为(3,12)．

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