量子力学总结 习题 考卷及答案

第一章

⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。

⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说：

表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=hν。

表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点：

①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。

②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 ⒑爱因斯坦光量子假说：

光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理：

当光射到金属表面上时，能量为 E= hν 的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点：

①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0 ≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。

②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。

⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：

①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性

⒘与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。

??E?h? ??????h???P?n??k???h?2????, k?n?2???

⒚光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为光谱。

⒛线状光谱：原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的。

21.标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光谱。 22.戴维逊-革末实验证明了什么？

第二章

⒈量子力学中，原子的轨道半径的含义。

⒉波函数的物理意义：某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。

⒊波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。

⒋波函数的归一化条件 ??(x,y,z,t)d??1 (2.1-7)

?2⒌态叠加原理：若体系具有一系列不同的可能状态Ψ1，Ψ2，…Ψn，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态Ψ时，体系部分地处于态Ψ1，Ψ2，…Ψn中。

⒍波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。

⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。。

⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。

⒑本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方程为该算符的本征方程。常数fn为该算符的第n个本征值。波函数ψn为fn相应的本征波函数。

⒒束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。

⒓宇称：在一维问题中，凡波函数ψ(x)为x的偶函数的态称为偶(正)宇称态；凡波函数ψ(x)为x的奇函数的态称为奇(负)宇称态。

⒔在一维空间内运动的粒子的势能为(μω2x2)/2， ω是常数，这种粒子构成的体系称为线性谐振子。

), n?0,1,2,3,??? 线性谐振子的能级为：En???(n?12⒕透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。

⒖隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。 ⒗求证：在薛定谔方程中

?2?i???(r,t)?????2?V(r)? ?(r,t) ?t?2??只有当势能V(r)为实函数时，连续性方程? w(r,t)???J?0才能成立。

?t⒘设一个质量为μ的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本征值和本征波函数分别为En,ψn，n=1，2，3，4、…。求证：

??m(x) ?n(x)dx?0， m?n

????⒙对一维运动的粒子，设Ψ1(x)和Ψ2(x)均为定态薛定谔方程的具有相同能量E的解，求证：

?1(x) ?2?1?(x)??2(x) ?(x)?常数

⒚一粒子在一维势场

?a??, x??2 ?U(x)??0， ?a?x?a

22???, x?a2?中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

??⒛体系处于ψ(x,t)态，几率密度ρ(x,t)=？几率流密度j(x,t)=？ 证明：???J

?t?x21．设粒子波函数为ψ(r,t),写出粒子几率守恒的微分表达式。 22．量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别？

答: 量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直接可测的物理意义。

23．什么是量子力学中的定态？它有什么特征？

24．设C(p,t)为归一化的动量表象下的波函数，写出 C(p,t) dp的物理意义。 25．设质量为μ粒子处于如下势垒中 ??U x?x0 U(x)??0 (1)

0 x?x?0?2若U0>0，E>0，求在x=x0处的反射系数和透射系数。 26．设质量为μ粒子沿x轴正方向射向如下势垒 ?? V x?x0 U(x)??00 x?x?0?若V0>0，E>0，求在x=x0处的反射系数和透射系数。 27．一个粒子的波函数为

?x?Aa, 0?x?a,??(b?x), a?x?b, A,a,b都是常数。 ?(x)??A (b?a)??0, 其他，??求：①归一化常数A；②画出?(x)与x关系图，并求粒子出现最大几率的点。③在0?x?a区间找到粒子的几率。在b?a和b?2a时的几率。④x的平均值。 ??28．A2?I，I为单位矩阵，则算符A的本征值为__________。

29．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。 30．力学量算符应满足的两个性质是 。厄密算符的本征函数具有 。

第三章

⒈算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。

??为厄密算符。?满足下列等式??F??? dx?F?? dx ，⒉厄密算符的定义：如果算符F则称F????式中ψ和φ为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。

⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

⒋简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。

简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。

⒌氢原子的电离态：氢原子中的电子脱离原子的束缚，成为自由电子的状态。

电离能：电离态与基态能量之差

⒍氢原子中在半径r到r+dr的球壳内找到电子的概率是：Wnl(r)dr?R2(r)r2dr　

nl 在方向(θ，φ)附近立体角dΩ内的概率是：wlm(?,?)dΩ?Ylm(?,?)dΩ　

? ?2dτ?0 式中积分是对变量变化的全部区域进行的，⒎两函数ψ1和ψ2正交的条件是：??12则称函数ψ1和ψ2相互正交。

⒏正交归一系：满足正交条件的归一化本征函数φk或φl。

?的正交归一本征波函数，λ是本⒐厄密算符本征波函数的完全性：如果φn(r)是厄密算符Fn

征值，则任一波函数ψ(r)可以按φn(r)展开为级数的性质。或者说φn(r)组成完全系。

?的本征态φ时，⒑算符与力学量的关系：当体系处于算符F力学量F有确定值，这个值就是?在φ态中的本征值。力学量在一般的状态中没有确定的数值，而有一系列的可能值，算符F这些可能值就是表示这个力学量的算符的本征值。每个可能值都以确定的几率出现。 ?B? 。 ??B?A?,B???A⒒算符对易关系：?A?与B?是可对易的； ?,B???0，则称算符A可对易算符：如果?A?与B?是不对易的。 ?,B???0，则称算符A不对易算符：如果?A⒓两力学量同时有确定值的条件：

?有一组共同本征函数φn，而且φn组成完全系，则算符? 和 G定理1：如果两个算符F对易。

?对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征函数。 ? 和 G定理2：如果两个算符F⒔测不准关系：当两个算符不对易时，它们不能同时有确定值，

2? (?F)2?(?G)2?k

4⒕量子力学中力学量运动守恒定律形式是：

???dF??F?1?F,H??0 ?dt?ti???量子力学中的能量守恒定律形式是：

??,H???0 dH?1?H?dti????⒖空间反演：把一个波函数的所有坐标自变量改变符号(如r→－r)的运算。

宇称算符：表示空间反演运算的算符。 宇称守恒：体系状态的宇称不随时间改变。 ⒗一维谐振子处在基态?(x)?(1) 势能的平均值U (2) 动能的平均值T?22??e??2x2i??t22，求：

1???2x2； 2?p2； 2? (3) 动量的几率分布函数。

?0x2ne??xdx?(2n?1)!? n?12n?12?⒘证明下列关系式：

??，p???i?????????,

??2??L,L???0, (??x,y,z)??

????????Lx,Ly??i?Lz???????????????? (??x,y,z) 综合写成 ：L?L?i?L??Ly,Lz??i?Lx ?L?，L???0，????? ??????Lz,Lx??i?Ly????????????L?L?L??0, (??x,y,z) ,y?i?z; ?,?x?y,x???i?z ?????????

?????????L???Lz,y???i?x ?Lz,x??i?y;　　　　Lx,z???i?y　y,z??i?x;　　　　?????????????????????L?L?; ?L? p?0, (??x,y,z) ,p?i?p,p??i?p?,?xyzyxz?????????????????????????L?L?L?;　　　　? ?L?;　　　　?,p?i?p,p??i?p,p?i?pyzxzyxzxyx,pz???i?py　?????????????? ?⒙量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？

⒚表示力学量的厄密算符的所有本征函数构成 ；力学量的取值范围就是该算符的所有 。

⒛厄密算符有什么性质？①试证明厄密算符的本征值必是实数。②试证明厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 21. 证明算符关系：

??L??p?x,p?2f(x)??2i?p?f(x), ?x,p?f(x)p???i????p?f(x)???L??2i?p f(x)p, p??xxxxxx?????????????22. 试证明算符Lx?ypz?zpy是厄密算符。

??和L23. 写出角动量分量Ly之间的对易关系。 x?,f(x)???i??f(x) 24. f(x)是x的可微函数，证明：?p???x?x?????各为厄密算符，试证明：A??对易。 25. AB也是厄密算符的条件是A,B与B26. 粒子在宽度为a的非对称一维无限深势阱中，其本征能量和本征波函数为：

22n(?x) (En???2n2, n?1,2,3,??? ?n(x)?2sin 0 ?x?a)

aa2?a当体系处于状态 ?(x)?Ax(a?x)时（A是归一化常数），证明：

??42①?16??；②?14??

96960n?1,3,5???n1,3,5,???n27. 氢原子处在基态?(r,?,?)?1e?a0，求：

?a0r (1) r的平均值； (2) 势能?e的平均值

r2 (3) 动量的几率分布函数。 28. 一维运动粒子的状态是

?Ax?e?x x ?0 ?(x)??? 0 其中 ??0??0 x ?

求：（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。

?! ） （利用公式?0xme??xdx?mm??129. 设氢原子处在状态

?(r,?,?)?53R21(r)Y10(?,?)?1R(r)Y11(?,?)?3R21(r)Y1?1(?,?) 2313试求氢原子能量、角动量平方及角动量z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

30. 量子力学中，体系的任意态?(x)可用一组力学量完全集的共同本征态?n(x)展开：

?(x)??cn?n(x)，写出展开式系数cn的表达式。

n31. 设粒子的波函数为

?bsinbx, x?2???2?b ?（x）???0， x?2??b?A．给出在该态中粒子动量的可能测量值及相应的几率振幅； B．求出几率最大的动量值。

32. 力学量算符在自身表象中的表示是一个 矩阵；同一个力学量算符在不同表象中的表示通过一个 矩阵相联系。

? ??????33. 设一力学量为F???? ??，求F的本征值和本征函数。

????2?P?，试判断 ?e? x34. 电子在均匀电场E? ?, 0, 0中运动，哈密顿量为H?2??????Lx, Ly, Lz各量中哪些是守恒量，为什么？

第四章

⒈基底：设 e1, e2, e3 为线性无关的三个向量，空间内任何向量 v 必是e1, e2, e3 的线性组合，则e1, e2, e3 称为空间的基底。正交规范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的长度等于1，这样的基底叫做正交规范基底。

⒉希耳伯特空间：如果把本征波函数Φm看成类似于几何学中的一个矢量(这就是波函数有时称为态矢量或态矢的原因)，则波函数的集合｛φm｝构成的一个线性空间。 ⒊表象：量子力学中，态和力学量的具体表示方式。

??2?和L?的共同表象中，算符L⒋设已知在L和Ly的矩阵分别为 xz?0 1 0??0 i 0?????2?2???Lx?1 0 1?； Ly?i 0 i? ??2?2?0 1 0?0 i 0?????求它们的本征值和归一化的本征函数。

第五章

(0)(0)⒈ 微扰论：由En求出En，由?n求出?n的近似求解方法。⒉斯塔克效应：在外电场中，原子光谱产生分裂的现象。 ⒊分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式。

⒋周期微扰产生跃迁的条件是： ????mk 或 ?m??k???，说明只有当外界微扰含

有频率?mk时，体系才能从?k态跃迁到?m态，这时体系吸收或发射的能量是??mk，这表明周期微扰产生的跃迁是一个共振跃迁。

⒌光的吸收现象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由较低的能级跃迁到较高的能级的现象。

⒍原子的受激辐射(跃迁)现象：在光的照射下，原子从较高的能级跃迁到较低的能级而放出光的现象。

⒎原子的自发辐射(跃迁)现象：在无光照射时，处于激发态的原子跃迁到较低能级而发光的现象。

⒏自发发射系数Amk：表示原子在单位时间内，由εm能级自发跃迁到εk能级，并发射出能量为??mk的光子的几率。

⒐受激发射系数Bmk：作用于原子的光波在????d?频率范围内的能量密度是I(?)d?，则在单位时间内，原子由εm能级受激跃迁到能级εk、并发射出能量为??mk的

光子的几率是BmkI(?mk)。

⒑吸收系数Bkm：原子由低能级εk跃迁到高能级εm、并吸收能量为??mk的光子的几率是

BkmI(?mk)。

⒒给出跃迁的黄金规则公式，简单说明式中各个因子的含义。 ⒓在H0表象中，若哈密顿算符的矩阵形式为：

?E0 0 a??1???0H?0 E2 b?

??0??a b? E3???00?E3其中E10?E2。利用微扰理论求能量至二级近似。

⒔设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02，现在受到微扰的作用。微扰矩阵元为

H12??H21??a,H11??H22??b; a, b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。

⒕质量为μ的粒子处于势能

??0, 0?x?a V（x）??

?， 其他 ?????x2，试求基态与第一激发态能量的一级修正。 中。假设它又经受微扰H?⒖一粒子在(0,2a)的一维无限深势阱中运动，若微扰为

???b, 0?x?a? H????b, a?x?2a??求近似到一级修正的粒子能量。

)的作用，求能量的一级修正。 ⒗一维无限深势阱中的粒子受到微扰H?(x)?kx(k为常数?0表象中，体系的哈密顿?为 ⒘已知在HH?E(0) 0 0???1??a 0 a???(0)H??0 E2 0???0 0 0?

???(0)a 0 2a?0 0 E?3?????(0)(0)(0)?E2?E3其中a,b为小量，a为实数，E1，求近似到二级修正的能量值。

⒙一粒子在一维无限深势阱中运动，若微扰为

?a?0, 0?x?2? V(x)???b, a?x?a

2???, x?0,x?a?b为小量，求近似到一级修正的粒子能量。 ⒚微扰理论适用的条件和情况。

第七章

⒈斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由。

⒉塞曼效应：在外磁场中，每一条光谱线劈裂成一组相邻谱线的现象。

简单(正常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为三条光谱线。 产生的条件是：当外磁场足够大时，自旋和轨道运动间相互作用可以忽略。 复杂(反常)塞曼效应：无外磁场时的一条光谱线，在磁场中将分裂为更多条光谱线。 产生的条件是：在弱外磁场中，必须考虑自旋和轨道运动间相互作用。 ⒊两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量S：

S?s(s?1)?，s?s1?s2，s1?s2?1， 0

所以两个电子自旋角动量耦合的自旋总角动量只能有两个可能值。 ⒋两个电子轨道角动量耦合的轨道总角动量L：

L?l(l?1)?, l?l1?l2, l1?l2?1, l1?l2?2, ???, l1?l2

对于两个电子，就有几个可能的轨道总角动量。

⒌电子自旋角动量与轨道角动量耦合为一个总角动量J1：

J1?l1?s1, l1?s1， s1?1

2每个电子只有两个J1值。 ⒍LS耦合总角动量J：

J?j(j?1)?, j?l?s, l?s?1, l?s?2, ???, l?s

⒎jj耦合总角动量J：

J?j(j?1)?, j?j1?j2, j1?j2?1, j1?j2?2, ???, j1?j2

⒏价电子：原子最外层的电子。原子的化学性质以及光谱特性都决定于价电子。 ⒐内层电子：原子中除价电子外的剩余电子。

⒑原子实：原子核与内层电子组成一个完整而稳固的结构。 ⒒电子组态：价电子所处的各种状态。 ⒓原子态：原子中电子体系的状态。 ⒔原子态符号：用来描述原子状态的符号。

⒕原子态符号规则：用轨道总量子数l、自旋总量子数s和总角动量量子数j表示

①轨道总量子数l=0,1,2,···，对应的原子态符号为S,P,D,F,H,I,K,L,···; ②原子态符号左上角的数码表示重数，大小为2s +1,表示能级的个数。 ③原子态符号右下角是j值 ，表示能级对应的j值 。 形式为：2s?1Sj, 2s?1Pj, 2s?1Dj, 2s?1Fj,???

⒖光谱的精细结构：用分辨率足够高的仪器观察类氢原子的光谱线，会发现每一条光谱线并不是简单的一条线，而是由二条或三条线组成的结构，这种结构称为光谱的精细结构。 ⒗原子态能级的排序(洪特定则)：

(1)从同一电子组态形成的、具有相同L值的能级中，那重数最高的，即S值最大的能级位置最低；

(2)从同一电子组态形成的、具有不同L值的能级中，那具有最大L值的位置最低。 ⒘辐射跃迁的普用选择定则：

1、选择定则：原子光谱表明，原子中电子的跃迁仅发生在满足一定条件的状态之间，这些条件称为选择定则。

2、原子的宇称：如果原子中各电子的l量子数相加，得到偶数，则原子处于偶宇称状态；如果是奇数，则原子处于奇宇称状态。

3、普遍的选择定则：跃迁只能发生在不同宇称的状态间，偶宇称到奇宇称，或奇宇称到偶宇称。电子能否有跃迁首先要考虑这一条，然后按照耦合类型再有以下定则。 ⒙LS耦合选择定则：

① ?S?0，要求单一态电子只能跃迁到单一态，三重态电子只能跃迁到三重态。 ②?l?0, ?1，当?l?0时，要考虑宇称奇偶性改变的要求。 ③?j?0, ?1 ， j?0 至 j?0的跃迁是禁止的。

jj耦合选择定则： ①?j1 ?j2?0, ?1

②?j?0, ?1， j?0 至 j?0的跃迁是禁止的。

⒚全同粒子：质量、电荷、自旋等固有性质完全相同微观粒子。

⒛全同粒子的特性：全同粒子具有不可区分性，只有当全同粒子的波函数完全不重叠时，才是可以区分的。

21.全同性原理: 在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 22.对称波函数：设qi表示第i个粒子的坐标和自旋，Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数不变，则Φ是q的对称波函数。

23.反对称波函数：设qi表示第i个粒子的坐标和自旋，Φ(q1,…,qi,qj,…,t)表示体系的波函数。如果两粒子互换后波函数变号，则Φ是q的反对称波函数。

24.对称性守恒原理：描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻处于对称(反对称)的状态，则它将永远处于对称(反对称)的状态上。

25.费密子：自旋为?或?奇数倍的全同粒子。费密子的特点：组成体系的波函数是反对称

22??的，服从费密—狄拉克统计。

26.玻色子：自旋为零、?或?整数倍的全同粒子。玻色子的特点：组成体系的波函数是对称的，服从玻色—爱因斯坦统计。

27.交换简并：由全同粒子相互交换而产生的简并。

28.泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态。

29.交换能的出现，是由于全同粒子的波函数必须是对称波函数或反对称波函数的缘故。 30.交换能J与交换密度有关，其大小决定于两个电子波函数重叠的程度。重叠程度越大，交换能就越大。

31.LS耦合引起的精细结构分析。如n=3能级中，有一个p电子和d电子所引起的能级差别(原子态)。

32. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度。

33. 反常塞曼效应的特点，引起的原因。(碱金属原子能级偶数分裂；光谱线偶数条；分裂能级间距与能级有关；由于电子具有自旋。)

34. 什么是简单塞曼效应？写出与其相应的哈密顿量。

35. 在简单塞曼效应中，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 36. 写出Pauli矩阵和它们的对易关系。

37. 写出两个电子的对称自旋波函数和反对称自旋波函数。

38. 对于全同粒子体系，由于任意交换两个粒子，体系的状态 ，所以体系的状态只能用 或 波函数表示。

39. 什么是全同性原理和泡利不相容原理？二者是什么关系？

40. 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？

??????41. 若S是电子的自旋算符，求 SxSzSxSySx??

42. 证明：?x?y?z?i

?????????0 1?及S?0 -i?的本征值和所属的本征函数。 ?43. 求Sx?y????2?1 0?2?i 0?2 44. 若????x?i?y,求??;

2004年量子力学期末试题及答案

一、（20分）已知氢原子在t?0时处于状态

?1?2?0??1?12 ?(x,,0)??2(x)????1(x)????3(x)??

3?0?3?1?3?0?其中，?n(x)为该氢原子的第n个能量本征态。求能量及自旋z分量的取值概率与平均值，写出t?0时的波函数。

解 已知氢原子的本征值为

E1n???e42?2n2， n?1,2,3,? 将t?0时的波函数写成矩阵形式

? ?(x,0)??12??3?2?x??3?3?x???? ???23??1?x???利用归一化条件

?c?dx??1?*x?2?*?2??12?2?3?x3?x??x????32??3?3?*x?2??????33???1???????23?x??1??? ???124?27?9?9?9??c?29c于是，归一化后的波函数为

?19?3?2?x??23???3?x???1??72?x??2?3?x??? ?(x,0)?7?7???2???????3??????41?x?7?1?x???能量的可能取值为E1,E2,E3，相应的取值几率为

W?E41,0??7;W?E2,?0?17;W?3E?,?027 能量平均值为

E?0??4 7E121?7E2?7E3??e4?411121?161?e4 ?2?2??7?1?7?4?7?9????504?21）2）3）4）5）6） （

（ （

（ （ （

??自旋z分量的可能取值为,?，相应的取值几率为

22?? W?sz?,2????123?0????W;?sz??,?0?2??777?4 （7） 7自旋z分量的平均值为

3?4???? sz?0?????????? （8）

727?2?14 t?0时的波函数

?12?i??i???xexp?Et??xexp?Et?????22?33????7?7???????(x,t)?? （9）

??4?i?????xexp?Et??11????7?????二. （20分） 质量为m的粒子在如下一维势阱中运动?V0?0?

x?0??. ? V?x????V0, 0?x?a ?0, x?a?若已知该粒子在此势阱中有一个能量E??V0的状态，试确定此势阱的宽度a。 2解 对于?V0?E?0的情况，三个区域中的波函数分别为

??1?x??0? ??2?x??Asin?kx??? （1）

???x??Bexp???x??3其中，

k?2m(E?V0)?; ? ? 2mE? （2）

利用波函数再x?0处的连接条件知，??n?，n?0,1,2,?。 在x?a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

得到

Asin?ka?n???Bexp???a? （4）

Akcos?ka?n????B?exp???a??2?a???3?a???a????a?'2'3 （3）

于是有

tan?ka???此即能量满足的超越方程。

1当E??V0时，由于

2?mV0?tan?a????????mV0???1mV0?k? （5）

（6）

故

最后得到势阱的宽度

mV0?a?n???4 ?n?1,2,3,??

（7）

1?? ??a??n??4?mV0?（8）

三、（20分） 证明如下关系式

????j满足 ?j??j?i??j。 （1）任意角动量算符?证明 对x分量有

????j?j??j?j=i??j

???j??jxyzzyx同理可知，对y与z分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。

?n?nn是一个厄米算符，其中，?n?是任意正交归一的完备本投影算符p征函数系。

?n的矩阵元为 证明 在任意的两个状态?与?之下，投影算符p?n???nn? ?p??n的共軛算符p?n而投影算符p的矩阵元为

*?*?n?n???p????p????p?n???

??nn??*????n????n?????nn?**

?n显然，两者的矩阵元是相同的，由?与?的任意性可知投影算符p是厄米算符。

*?x?mn??xmk?p?x?kn，利用??k其中，??k?x??为?x'??k?x????x'?x?证明?xpkk任意正交归一完备本征函数系。

证明

?x?mn?xp??????*?x?n?x??dx?m?x?xp??????dx?*m?x?n?x???x?x?dx'??x'?x?p?????*?x'?n?x'??dx?m?x?x?dx'??x'?x?p???

??????x???dx??x?x?dx???x???x?p*m'*k''k??kx'n?

??kkdx?*m??mkx'*''?xp?x?x?x?k?x??dx??????knx'??????x?pkn四、（20分） 在L2与Lz表象中，在轨道角动量量子数l?1的子空间中，

?、L?的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。 ?与L分别计算算符Lxzy解 在L2与Lz表象下，当轨道角动量量子数l?1时，m?1,0,?1，显然，算

?、L?皆为三维矩阵。 ?与L符Lxzy?是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是由于在自身表象中，故Lz有

?1???0 Lz??0?0??00? （1）

?0?1?0相应的本征解为

?1???Lz??; ? 1 ? ? ?0?0????0??? 0 ? ? ? 1 Lz?0; ? （2）

??0???0L; ? ? ????z???? 1 0??1???对于算符L?x、L?y而言，需要用到升降算符，即 L??1x?L??L? 2????? L?y?12iL???L??而

L??lm???l?l1???mm?1?,l?m1 当l?1,m?1,0,?1时，显然，算符L?x、L?y的对角元皆为零，并且， 1,?1L?

x1,?1?1,L?y1?1,1,1L?x1?,?11L??1?, 11 00 y,1只有当量子数m相差?1时矩阵元才不为零，即

1,?1L?x1,?01L?,x0?1?,1L?x1,0?1L?,11?,1?x21, 1,0L?y1?,?11L?y,1?1?,0i?2 1,?1L?y1,?01L?,?1i,?y021于是得到算符L?x、L?y的矩阵形式如下 ?010??0? L?x???2?101?i?;L ?i?0?0???i ???010?y?2? ???0i0??L?y满足的本征方程为 3）

4）

5）

6）

7） （ （ （0 （ （

?0???i2??0?i0i0??c1??c1???????i? ?c2????c2? （8）

???c?0???c3??3?i?2?i?2相应的久期方程为

???0i?2?0

i?20?? （9）

??将其化为

?3??2??0 （10） 得到三个本征值分别为

?1??; ? 2 ?0; ? 3 ??? （11） 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

??i??1??i??????111??1??2?; ?2?0; ??2???? 32?2?2????i1??????i? （12）

?满足的本征方程为 Lx?0??12??0?1010??c1??c1??????1? ?c2????c2?

???c?0???c3??3?（13）

相应的久期方程为

???2???20??02??

?20

（14）

将其化为

?3??2??0 （15） 得到三个本征值分别为

?1??; ? 2 ?0; ? 3 ??? （16） 将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

?1??1??1???1?1??1??1??2?; ?2?0; ???2?? 3??2?2?2????1?11?????? （17）

五、（20分） 由两个质量皆为?、角频率皆为?的线谐振子构成的体系，

???? xx（x1,x2分别为两个线谐振子的坐标）后，用微扰论加上微扰项W12求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。

提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为

mxn?1???n2?n?1?m,n?1?2?m,n?1?

??式中， ?????。

解 体系的哈密顿算符为

H??H?0?W? 其中

? H?12??p?2?p?2??122??2?x20121?x2? W???? x1x2已知H?0的解为 E0n??n?1???? n??x1,x2???n1?x1??n2?x2?其中

n1,n2,n?0,1,2,???1,2,3,?,f n将前三个能量与波函数具体写出来

E00???; ?0??0?x1??0?x2?E01?2??, ?11??0?x1??1?x2? ?12??1?x1??0?x2?E0?3??, ? 21??2?x1??0?x2? 2 ?22??0?x1??2?x2? ?23??1?x1??1?x2? 对于基态而言，n1?n2?n?0，f0?1，体系无简并。

1） 2） 3）

4）

5）

（ （ （ （ （

利用公式

?mx?n?可知

?1????0 E0??0W0?1?nn?1????m,n?1m,n?1? （6） ??22?E0????2?fn????0Wn??n?W?000 （7）

n?0??1E0?En显然，求和号中不为零的矩阵元只有

?0W??23??23W??0???2?2 于是得到基态能量的二级修正为

2 E?2??1??2?0E004??23 0?E24?8??第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为

W?1?11?E2W12W13 W21WE?1?22?2W23?0 W31W32W?1?33?E2其中

W11?W22?W3?3W1?2W0?21 W? 13?W31?W2?3W3?2?2?2将上式代入（10）式得到

?E?1?20??2?2 0?E?1?2??2?2?0 ????E?1?2?2?2?22整理之，E?1?2满足

??E?1?32???2?1??4E2?0 于是得到第二激发态能量的一级修正为

E?1???21???1??0; E?1?2; E22?23??2

（8） （9） 10）

11）

12） 13） 14） （ （ （ （ （试题编号：

重庆邮电大学2008-2009学年第二学期 量子力学试卷（期末）（B卷）（闭卷）

题 号 得 分 评卷人

一 二 2.1 2.2 2.3 2.4 总 分 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1、A,B两束光，A的波长?A?3?10?9m，B的波长?B?4?10?10m，请问哪束光的能量更高？ A .

2、微观粒子的波函数?应满足的三个标准条件是 单值性，连续性，有限性 . 3、一粒子的波函数?(x)?3x2e?x，请问该粒子是否处在动量的本征态？ 否. 4、粒子穿过方势垒，请问透射系数随着势垒的加高减小还是增大？减小..

5、假如两力学量算符具有共同的本征函数，则此这个算符是否对易？对易.

???,y?,L?]?i?L?，[L?]?i?z[L?. 6、对易关系 2,Lz]?0，[Lxyzx???7、已知?x,px?,则. ?x??p??i?x?2??8、算符在其自身表象中的表示是否为对角矩阵？ 是 .

?10?9、已知泡利算符分量?z??，?x, ?y的矩阵表达式 ??01??01??0?i?分别为?x???，?y??i0?. 10????10、写出氧原子（原子序数z?8）的电子排布:1s22s22p4.

二、解答题（本大题共6小题，共70分）

??,x?0,?1、(10分)一粒子在一维势场U(x)??0,0?x?a中运动，求粒子的能级和对应的

??,x?a?波函数。

解：一位无限深势阱中，定态薛定谔方程

d2?(x)2??2(U?E)?(x) （1） （2分） 2dx?d2???, 这是没有 在阱外，x?0, x?a,U(x)??，若波函数?(x)?o, 由(1)式得2dx意义的。因此, 在阱外必有?(x)?0。 （2分）

2在阱内, 0?x?a,U(x)?0,令k?2?E,由 (1)式得 2?d2?2?k??0. (2) 2dx上式的通解是 ?(x)?Asinkx?Bcoskx, (3)

A,B是两个待定常数.由于?(x)在边界处连续,有B??(0)?0,且

Asinka??(a)?0.

由于A?0,否则只能有零解,故k?na?a,n?1,2,?.将粒子波函数?(x)?Asinkx代入

归一化条件

???(x)?(x)dx?1,积分得A?02, 所以, 归一化波函数为 a ?n(x)?2n?xsin. (4) （5分） aa?2?2粒子能量为 E?n. (5) （3分）

2?a22???2x2、(10分)粒子状态处于一维谐振子的基态 ?(x,t)?e?1/2x和动量的几率分布函数。（利用积分公式：?e??xdx????222i??t2 试求平均值

?） ?解：平均值x为

x???(x)x?(x)dx??????*???????2xe?1/222i??t2???2xx1/2e?22i??t2dx （4分）

????????xe??xdx?022ipx1因为动量的本征函数为?p(x)?e? ，所以

2??* c(p)??p(x)?(x)dx

??1??2???????1 e2??2iix??t?Px2?edx

1?2???????? e1ii??2x2??t?Px22?edx

i??t1e22?????e??? e1ipp2??2(x?2)2?222??2??dx

1?2???12???e??e?p2i??t?222??2???? e1ip??2(x?2)22??dx

?i??t2??222?p22??222??ei??t21?e???p2 （4分）

动量几率分布函数为

?(p)?c(p)?21???e?p2?2?2 （2分）

3、(20分)有二个物理量，它们的矩阵表示为：

?010??100???????Lx?101L?000, z????2?2???010?00?1???(1)如果测量Lz，得到的可能的值是什么？ 解：Lz的久期方程为

???2 000??000???2??，?3?? 22?0??.(????).(??)?0 22 ??1?0，?2??的本征值为0， ∴Lz?? （3分） ，?22(2)求Lz的本征函数。

?的本征方程 解：Lz?a1??100??a1????????000a??a2? （1分） 2?????2?????a??00?1??a3??3??a1????的本征函数。 其中???a2?设为Lz?a??3?当?1?0时，有

?100??a1??0????????000a2???0? ???2???????00?1??a3??0??a1??0??????0??0? ?a1=a3?0 ??2??????a3??0?

由归一化条件

?0?2?? 1?(0,a2,0)?a2??a2，所以a2?1

?0????0???∴ ?1??1? （2分）

?0???当?2??时，有 2?a1??100??a1?????????000 ??a2??2?a2? 2??00?1??a??a????3??3?

?a1??a1????? ?0???a2? ?a2?0,a3?0

??a??a??3??3?由归一化条件

?a1?2??* 1?(a1,0,0)?0??a1，所以a1?1

?0???

?1??? ∴ ?2??0? （2分）

?0??? 当?3???时，有 2?a1??100??a1?????????000a??a2? 2?????2?2????a?00?1???3??a3??a1???a1????? ?0????a2? ?a1?0,a2?0

??a???a??3??3?由归一化条件

?0?2?? 1?(0,0,a3)?0??a3，所以a3?1

?a??3?

?0??? ∴ ?3??0? （2分）

?1???(3)求Lx的本征值。 解：Lx的久期方程为

??

?2???20?2???0???3??2??0

?20 ??1?0，?2??，?3???

?的本征值为0，?，?? （3分） ∴Lx

(4)求Lx的本征函数。

?的本征方程 解：Lx?a1??010??a1???????? ?101??a2????a2?

2??a?????010??a3??3??a1???? 其中设Lx的本征函数???a2?. （1分）

?a??3?当?1?0时，有

?010??a1??0????????101 ???a2???0? 2???????010??a3??0??a2??0?????? ?a1?a3???0? ?a3??a1，a2?0

2???0??a2????a1??? ∴ ?0??0?

??a??1? 由归一化条件

?a1???12?**1????(a,0,?a)0?2aa? . 取 ??0011112??a??1???1?2? ???1??0? （2分）

???1???2??? 当?2??时，有

?010???a1? ????a1????2?101???a2????a?010????a3???2?

?a3????1a??22?? ??1?a??a2?2(a?a??1???2a?113)?????a2???a2?2a???3 ?1??a3???a3?a1?2a2????a1?? ∴ ?????2a1?

??a?1?? 由归一化条件

?a1 1?(a***????211,2a1,a1)?2a1??4a1. 取 a1???a??21???1??2? ∴?2??1???。 ?2???1???2?? 当?3???时，有

?010??a?a1? ??2?101???1??a??????a?2?2?

??010????a??3??a?3?2分）

（

???? ????????2???a???1?1(a1?a3)????a2??2???a3????1?a2?2?1a1?a2??2a1???a2??2a3 ?a?a1??3 ∴ ????a1??????2a1? ???a1????a1???12***由归一化条件 1?(a1,?2a1,a1)??2a1??4a1. 取 a1?

2???a1????1??2???1??。 ∴?3???2????1????2?

?/的4、(10分)设一体系未受微扰作用时有三个能级：E10,E20，现在受到微扰H?ab?作用，微扰矩阵元为H/???，a和b都是实数，用微扰公式求能量E1,E2至

?ba?二级修正值。

?|2?ab??|Hmn(0)???解：因为H??（2分） ?，由微扰论公式En?En?Hnn(0)(0)baE?Em??nm/可得

???E1?E?H1101m2?1|2?1|2?|Hm?|Hm0?E1?a??00E10?EmE10?Emm?22?E10?a?02?||H21b0?E?a?100E10?E2E10?E2?2|2?2|2?|Hm?|Hm0?E2?a??0000E2?EmE2?Emm?12 (4分)

???E2?E?H22m20?E2?b??||H12a0?E?b?200E2?E10E2?E10 (4分)

5、(10分)证明轨道角动量满足L2?L2z?L?L???Lz.（其中L??Lx?iLy）

2L2z?L?L???Lz?Lz?(Lx?iLy)(Lx?iLy)??Lz22?L2z?Lx?iLxLy?iLyLx?Ly??Lz22?L2z?Lx?i(LxLy?LyLx)?Ly??Lz22证明：?L2z?Lx?i.i?Lz?Ly??Lz22?L2z?Lx??Lz?Ly??Lz22?L2z?Lx?Ly

?L26、(10分)简述量子力学的基本假设。

答：(1) 微观体系的状态用波函数完全描述。（2分） (2) 体系的状态波函数满足薛定鄂方程：i?????.（2分） ?H?t(3) 力学量与力学量算符关系的假设：力学量用厄密算符表示，它的本征函数组成完全系，

?的本征函数?(n)展开，当体系处于波函数?(x)时，?(x)可用某力学量算符F?所得的数值必是算符F?的本征值之一?，测得?的几率?(x)??cn?n，测量力学量Fnnn为cn.（4分）

(4) 全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态.（2分）

2

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